2). Третье достаточное условие экстремума и перегиба.

Теорема 9.9.Пусть

- n  1 – целое число

- функция имеет производную порядкаn в некоторой окрестности точкиси производную порядкаn + 1 в самой точке с

- справедливы следующие соотношения:

(1)

Тогда, если nявляетсячетнымчислом, график функцииимеет перегиб в точкеM(c, f(c)). Если жеnявляетсянечетнымчислом и, кроме того,, функцияимеет локальный экстремум в точкес, точнее, локальный минимум прии локальный максимум при.

Доказательство. (для случая перегиба)

Пусть n является четным числом. При n = 2 теорема совпадает с Теоремой 9.8, так что нужно провести доказательство только для четного .

Пусть . Из условияи изТеоремы 8.9, примененной к функции, вытекает, что эта функция либо возрастает, либо убывает в точкес. Т.к. , то и в том, и в другом случаенайдется достаточно малая окрестность точки с, а пределах которой справа и слева от с имеет разные знаки.

Заметив это, разложим в окрестности точкиспо формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

(2)

где лежит междусиx. Из (1) и (2) следует

(3)

Так как в пределах достаточно малой окрестности точки с функция имеет разные знаки приx < c и приx > c и т.к.всегда лежит междусиx, то мы получим, что и (а в силу четностиnи вся правая часть (3)) имеет разные знаки приx < c и приx > c. Но тогда и левая часть (3), т.е. в пределах достаточно малой окрестности точкисимеет разные знаки приx < c и приx > c. В силу Теоремы 9.7 это означает, что график функции имеет перегиб в точке .

Теорема доказана.

33. Асимптоты графика функций.

Определение 1. Говорят, что прямая x = a являетсявертикальной асимптотойграфика функции, если хотя бы одно из предельных значений

или

равно +или -.

Пример. График функции имеет вертикальную асимптотуx = 0, т.к. (рисунок).

Предположим далее, что функция определена для сколь угодно больших значений аргумента. Для определенности будем рассматривать сколь угодно большиеположительныезначения.

Определение 2.Говорят, что прямая

(1)

является наклонной асимптотой графика функции при, если функцияf(x) представима в виде

, где (2)

Теорема 9.10. Для того, чтобы график функции имел принаклонную асимптоту (1), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения

и (3)

Доказательство.

1). Необходимость. Пусть график функции имеет приасимптоту (1), т.е. дляf(x) справедливо представление (2). Тогда

,

2). Достаточность. Пусть существуют предельные значения (3). Второе из этих предельных значений дает право утверждать, что разность является бесконечно малой при. Обозначив эту бесконечно малую через, получим дляf(x) представление (2).

Теорема доказана.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается Теорема 9.10 и для случая .

33. Критерий Коши сходимости числового ряда.

1. Понятие числового ряда.

Рассмотрим бесконечную числовую последовательность и образуем из элементов этой последовательности выражение вида

(1)

Выражение (1) принято называть числовым рядомили просторядом.

Сумму первых nчленов данного ряда будем называтьn-йчастичной суммойданного ряда и обозначать символомS_n, т.е.

.

Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм этого ряда. При этом пределSпоследовательности частичных суммназываетсясуммойданного ряда:

.

В случае, если не существует, ряд называетсярасходящимся.

2. Критерий Коши сходимости ряда.

Так как вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости его частичных сумм, то мы получим необходимое и достаточное условие сходимости данного ряда, сформулировав критерий сходимости Коши для последовательности его частичных сумм. Для удобства приведем формулировку критерия Коши для последовательности. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для  > 0 нашелся номер N такой, что для всех n  N и для всех натуральных p (p = 1, 2, 3,…) .

В качестве следствия из этого утверждения мы получим следующую основнуютеорему.

Теорема 13.1. (критерий Коши для ряда).Для того, чтобы рядсходился, необходимо и достаточно, чтобы для для > 0 нашелся номер N такой, что для всехn  N и для всех натуральных p

. (2)

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что величина под знаком модуля в неравенстве (2) равна разности частичных сумм .

Теорема доказана.

Из Теоремы 13.1можно извлечь два важных следствия.

Следствие 1. Если ряд сходится, то последовательность является бесконечно малой.

Доказательство. Достаточно доказать, что для  > 0 найдется номер N такой, что для всех n  N . Это неравенство непосредственно вытекает изнеравенства (2), справедливого для любого p = 1, 2, 3,…, и из Теоремы 3.13 .

Следствие 2. (необходимое условие сходимости ряда). Для сходимости ряда необходимо, чтобы последовательность членов этого ряда являлась бесконечно малой ().

Доказательство. Достаточно доказать, что для данного сходящегося ряда и для  > 0 найдется номер N₀ такой, что при n  N₀ .

Пусть дано > 0. ПоТеореме 13.1найдется номерNтакой, что приn  N и для любого натурального pвыполняется неравенство (2). В частности, приp= 1

(при ) (3)

Если теперь взять номер N₀ равным N₀ = N + 1, то при n  N₀ в силу (3) получим , что и требовалось доказать.