Замечание. Для интервала доказательство аналогично.

Лемма 2. Пусть функция имеет производную f’(x) в некоторой окрестности точки с, причем эта производная непрерывна в точке с.

Тогда, если график функции имеет перегиб в точке , то в пределах достаточно малой-окрестности точки с этот график слева и справа от с лежит по разные стороны от касательной, проведенной через точку .

Доказательство. Выберем  > 0настолько малым, чтобы на каждом из интервалов играфик имел определенное направление выпуклости (различное на интервалах и). ПрименяяЛемму 1 к функции по каждому из интервалов идокажемЛемму 2.

Лемма доказана.

Лемма 2 позволяет установить необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой в данной точке функции.

Теорема 9.6. (необходимое условие перегиба графика функции). Если функция имеет в точкес вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке , то.

Доказательство. Пусть Y– текущая координата касательной, проходящей через точку . Рассмотрим функцию

,

равную разности f(x) и линейной функции . Эта функция, как и функцияf(x) имеет в точке с вторую производную. По Лемме 2 в малой окрестности точки с график лежит слева и справа отс по разные стороны от касательной, проходящей через точку , следовательно, функцияF(x) в малой окрестности точкисимеет слева и справа от нееразные знаки.

Стало быть, функция F(x) не может иметь в точке с локального экстремума.

Предположим теперь, что . Тогда, поскольку, выполняются условияи функция в силуТеоремы 9.2 имеет в точке с локальный экстремум. Полученное противоречие доказывает, что предположение является неверным, т.е..

Теорема доказана.

Тот факт, что обращение в нуль второй производной является лишь необходимым условием перегиба графика дважды дифференцируемой функции, вытекает, например, из рассмотрения графика функции . Для нееобращается в нуль в точкеx= 0, но ее график не имеет перегиба в точкеМ(0,0).

33. Достаточные условия перегиба графика функции.

1). Первое достаточное условие перегиба.

Теорема 9.7.Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точкис и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производнаяимеет разные знаки слева и справа отс, то график этой функции имеет перегиб в точке .

Доказательство. Во-первых, имеет касательную в точке, т.к. из условия теоремы вытекает существование конечной производнойf’(c). Далее, из того, что слева и справа отс имеет разные знаки, и из Теоремы 9.4 заключаем, что направление выпуклости слева и справа от с является различным.

Теорема доказана.

2). Второе достаточное условие перегиба.

Теорема 9.8.Если функция имеет в точкес конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям ,, то график этой функции имеет перегиб в точке.

Доказательство. Из условия и изТеоремы 8.9 (Теорема 8.9. Если функция f(x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с.) вытекает, что либо возрастает, либо убывает в точкес. Так как , то в обоих случаях найдется такая окрестность точкис, в пределах которой имеетразные знаки слева и справа от с. Но тогда по предыдущей теореме график функции имеет перегиб в точке.

Теорема доказана.