21. Ограниченность непрерывной на сегменте функции (1-ая теорема Вейрштрасса).

Теорема 7.2.(первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.

Доказательство.

(здесь рисунок)

Допустим, что f(x) не ограничена на этом сегменте, то естьнатуральногоnx_n[a,b]:

 f(x_n)>n. (1)

Рассмотрим последовательность {x_n}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть c. Так как все[a,b], то иc[a,b], значит,f(x) непрерывна в точкеc(по условию), поэтомуf(с). С другой стороны, в силу (1) >k_n, и значит, последовательность - бесконечно большая, то есть, эта последовательность расходится. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно,f(x) ограничена на [a,b].

Теорема доказана.

//Замечание. Для интервала теорема 7.2 неверна.

Например, f(x) =на интервале 0 <x< 1 непрерывна, но не является ограниченной на этом интервале. Вопрос: в каком месте не пройдет доказательство теоремы 7.2, если рассматривать интервал, а не сегмент.

Пусть f(x) огр. на множествеX. Тогда она имеет на этом множестве точные грани:

f(x) =M,f(x) =m.

Если в каких-то точках f(x) принимает значенияMиm, то говорят, что функция достигает на множествеXсвоих точных граней.

Пример. y = ,X= {0 <x1}. (здесь рисунок)

f(x) = 1, f(x) = 0, ноf(x) не достигает своей точной нижней грани. Пусть теперьf(x) непрерывна на [a,b], тогда по теореме 7.2 она ограничена на этом сегменте и, следовательно, имеет точные грани.

f(x) =M, f(x) =m.

22. Достижение точных граней непрерывной на сегменте функцией (2-ая теорема Вейерштрасса).

Теорема 7.3.(вторая теорема Вейерштрасса) Непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте своих точных граней.

Доказательство. Проведем доказательство для точной верхней грани. Допустим, чтоf(x), непрерывная на сегменте [a,b], не принимает ни в одной точке значения

M= f(x), тогдаx[a,b]:f(x) <M.

Введем функцию: F(x) => 0 и непрерывна на [a,b]. По теореме 7.2,A> 0,x[a,b] :F(x) =A.x[a,b]:f(x)M- <M.

Но это противоречит тому, что M– наименьшая из верхних граней функции на [a,b]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, функция достигает на сегменте [a,b] своей точной верхней грани.

Теорема доказана.

//Замечание 1. Для интервала или полусегмента теорема неверна (см. пример перед теоремой).

//Замечание 2. Если f(x) достигает на множествеXсвоей точной верхней грани, то она имеет на этом множестве максимальное значение, то есть f(x) =f(x), в противном случае функция не имеет на множествеXмаксимального значения. То же самое отн. кminиinf. Из теоремы 7.3 следует, что еслиf(x) непрерывна на сегменте [a,b], то она имеет на этом сегменте максимальное и минимальное значения. Ограниченная, но разрывная на сегменте функция может не иметь на этом сегменте минимального и максимального значения.

Пример. (здесь рисунок)

f(x) =. f(x) =1, минимального значения нет.

23. Теорема Кантора.

Непрерывность f(x) в точкеx' означает, что> 0> 0,x'', : <.

Определение.Функцияf(x) называется равномерно непрерывной на множествеX, если> 0> 0,x' иx''X, : <.

//Замечание. Из определения следует, что, во-первых, равномерная непрерывность – свойство функции на множестве, в отличие от обычной непрерывности – свойства функции в точке. И во-вторых, отличие равномерной непрерывности от обычной непрерывности на множестве состоит в том, что при обычной непрерывности функции на множестве X(то есть при непрерывности в каждой точке)x’Xпо заданномунайдется нужное(то есть такое, что из (1) следует (2)), так что=(, x’), а при равномерной непрерывности по заданномунайдется нужное, общее для всехx’X.

Примеры.

1. f(x) =xравномерно непрерывна на (-,).

В самом деле, > 0 возьмем=(тем самымзависит только оти не зависит отx).

Если x''-x'<=, тоf(x'')-f(x')=x''-x'<, а это и означает по определению, что данная функция непрерывна на всей числовой прямой.

2. f(x) =наX= {0 <x1}.

Эта функция непрерывна на (0, 1), но не является равномерно непрерывной.

(здесь рисунок)

В самом деле, возьмем = 1 и возьмемx' = ,x'' =. Тогда> 0N:x' -x''<, но при этомf(x') -f(x'')=n- (n+2)= 2 >= 1. Тем самым, для указанногоне найдется нужного. Это и означает, что данная функция не является равномерно непрерывной на [0, 1].

Теорема 7.4 (Кантора). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.

Доказательство.

Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b]. Допустим, что она не является равномерно непрерывной на этом сегменте. Тогда> 0 - такое, что> 0x' иx''[a,b],x''-x'<, ноf(x'') -f(x'). Возьмем какую-нибудь последовательность {_n}+0 (_n> 0).

В силу нашего предположения, _nx_n' иx_n''[a,b],

x_n''-x_n'<, (1)

f(x_n'') -f(x_n'). (2)

Рассмотрим последовательность {x_n'}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пустьс[a,b]. Потомуf(x) непрерывна в точкеc. В силу (1) подпоследовательностьс, а так какf(x) непрерывна в точкеc, тоf(c) -f(c) = 0. С другой стороны, в силу неравенства (2)> 0. Полученное доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно,f(x) равномерно непрерывна на [a,b].

Теорема доказана.

//Замечание. Для интервала или полусегмента теорема неверна (см. пример выше).

24. Достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на (a,b) и пустьc(a,b).

Определение. Говорят, чтоf(x) возрастает в точкеc, еслиокрестность точкис, в которойf(x) > f(c) приx>c, в которойf(x) < f(c) приx<c. Аналогично определяется убывание функции в точкеc.

(здесь рисунок)

В точке cданная функция возрастает, в точкеd- убывает.

Теорема 7.5. Еслиf(x) дифференцируема в точкеcиf'(c) > 0 (< 0), тоf(x) возрастает (убывает) в точкеc.

Доказательство.

По определению производной, f'(c) = . В свою очередь, по определению предела> 0> 0 - такое, что <при 0 <x-c<, илиf'(c) -  < < f'(c) +в-окрестности точкиc(x c). Рассмотрим случай, когдаf'(c) > 0.Возьмем=f'(c). Из подчеркнутого неравенства следует, что > 0 в-окрестности точкиc(x c).

в-окрестности точкиc(x c).

Это и означает, что то f(x) возрастает в точкеc.

Теорема доказана.

//Замечание. Условие f'(c) > 0 является только достаточным, но не необходимым условием возрастания функции в точкеc.

Примеры.

1. f(x) =x³.