11. Производная функции, заданной параметрически.

Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть y=f(x), где х - независимая переменная. Тогда оп определениюdy=f'(x)dx(1) Гдеdx=x.dyназывается также первым дифференциалом функции. Покажем, что формула (1) сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функциейx=(x),t- независимая переменная.y=f((t))F(t),dy=F'(t)dt. Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции:

F'(t) = f'((t))'(t).

dy=f'((t))'(t)dt.

Но, так как x=(t), тоdx='(t)dt,dy=f'(x)dx, то есть формула 1 остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, тоdx=x, если жеx=(t), тоdy='(t)dtx.

Из формулы (1) получаем, что f'(x) = , (2) то есть производная функцииf(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента также и в том случае, когда аргумент является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией какой-то независимой переменной.

В качестве следствия из формулы (2) выведем формулу производной функции, заданной параметрически.

Пусть xиyзаданы как функции независимой переменнойt, которую мы назовём параметром.

x=(t),y=(t) (3)

пусть параметр tтакже изменяется на некотором промежутке и пустьt=^-1(x). Таким образом, уравнения (3) задают функциюf(x). Такое задание функции называется параметрическим. Выведем формулуf'(x). По формуле (2):f'(x)=, ноdy='(t)dt,dx='(t)dtf'(x) =.

f'(x) =(4)

Уравнение (3) и формула (4) допускают простую физическую интерпретацию. Пусть t-время, (x,y)- координаты точки. Тогда уравнения (3) задают движение точки на плоскости, при это графикy=(x) является траекторией точки.

(рисунок)

=(t)(t)вектор скорости. Докажем, что этот вектор направлен по касательной к траектории. В самом деле,tg=. = f'(x) tg = f'(x). А это и означает, что вектор скорости направлен по касательной.

Пример:x=cost(costесть(t)),y=sint(sintесть(t)), 0 <t<.. Функцияx=costимеет обратную:t=arccosx, и эти уравнения задают параметричскую функциюy=f(x). По формуле (4):f'(x) = =(0 <t<).

1. f'(x) = =.

2. В данном случае f(x) можно найти в явном виде:

y = sin(arccos x) = (естьf(x))

f'(x) =(-2x) =.

12. Формула Лейбница.

Производные высших порядков.

Пусть функция y=f(x) имеет производнуюf'(x) на некотором промежутке, тогда производнаяf'(x) сама является функцией, заданной на этом промежутке. Пустьf'(x) имеет производную в некоторой точке х из этого промежутка, тогда эта производная называется второй производной (производной более высокого порядка) функцииy=f(x) в точке х. Обозначение: (f'(x))' =f''(x),y''(x), (x). Производные более высоких порядков вводятся по индукции: третья производная - производная от второй,n2y⁽ⁿ⁾(x) = [y^(n-1)(x)]'. Физический смысл производной второго порядка х -время.y=f(t) - путь пройденный за времяx.f'(x) =v(x) – скоростьf''(x) =v'(x) =a(x) - ускорение. Геометрический смысл второй производной:

(рисунок)

(рисунок)

(рисунок)

1) y=x^.y' =x^.y'' =(- 1)x^-2.…

y⁽ⁿ⁾=(- 1) …(-n+ 1)x^-n.

Отметим, что если -m-натуральное число, то (y^m)^(m)=m(m- 1) … 1 =m!. (y^m)⁽ⁿ⁾= 0n<m.

2) y=a^x.y' =x^lna,y'' =a^x(lna)²,y⁽ⁿ⁾=a^x(lna)ⁿ. В частности, (e^x)⁽ⁿ⁾=e^x.

3) y=sixx,y' =cosx=sin(x+),y'' =cos(x+) =sin(x+2)…

y⁽ⁿ⁾ = (sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x +n)

4) (cosx)⁽ⁿ⁾ =cos(x+n) - докажите сами.

Две формулы, для производных n- го порядка.

1)[u(x)v(x)]⁽ⁿ⁾= [(u+v)']' = [u' +v']' = (u')' + (v')' =u⁽²⁾+v⁽²⁾.

3. (uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + u^(n-1)v' +u^(n-2)v'' + … + u^(n-k)v^(k) + uv⁽ⁿ⁾ =

= u^(n-k)v^(k), (формула Лейбница) (1),

где =, 0! = 1,v⁽⁰⁾ =v, совпадает с формулой разложения (u+v)⁽ⁿ⁾= u^(n-k)v^(k) - бином Ньютона, лишь вместо степеней стоят производные соответствующих порядков. Как и бином Ньютона, формула Лейбница доказывается по индукции.

Докажем формулу Лейбница по методу индукции. При n = 1 эта формула принимает вид, что совпадает с правилом дифференцирования произведения. Пусть для некоторогоnформула (1) верна. Продифференцируем ее и объединим слагаемые, стоящие в правой части, следующим образом

(2)

(При этом мы воспользовались тем, что 1 = ). Для любогоk, не превосходящегоn, справедливо

.

Пользуясь этой формулой, перепишем (2) в виде

(3)

Тем самым доказана справедливость формулы (1) для номера (n +1). Вывод формулы Лейбница завершен.

Пример: (x² e^3x)⁽¹⁰⁾ = (e^3x)⁽¹⁰⁾x² + (e^3x)⁽⁹⁾2x +(e^3x)⁽⁸⁾2 = e^3x3¹⁰2x² + 10e^3x3⁹2x + 45e^3x3⁸2

= e^3x3⁹(3x² + 20x + 30).