4. Непрерывность сложной функции.

Непрерывность сложной функции.

Пусть аргумент tфункцииy=f(t) является функцией аргументаx:t=(x). В этом случае говорят, что переменнаяуявляется сложной функцией от аргументахили у является суперпозицией функцийfи.

y=f((x)).

Пример:

y=sin() - сложная функция.

y=sint, гдеt=.

Теорема 3.3

Если t=(x) непрерывна в точкеа(а) =b, и функцияf(t) непрерывна в точкеb, то сложная функцияf((x)) непрерывна в точкеа.

Доказательство:

По определению непрерывности нужно доказать, что > 0> 0: |f((x)) -f((a)) | <при

| x-a| <.

Зададим произвольное > 0.

Так как f(t) непрерывна в точкеb, то> 0: |f(t) -f(b) | <при |t-b| <. Отсюда следует, что

| f((x)) -f((a)) | <при |(x) -(a) | <.(1)

В свою очередь, так как (x) непрерывна в точкеa,

то для указанного > 0: |(x) -(a) | <при |x-a| <.(2)

Из (1)и(2)следует, что |f((x)) -f((a)) | <, если |x-a| <, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

5. Теорема о существовании, строгой монотонности и непрерывности обратной функции.

Пусть функцияу=f(x) определена на множествеХ, и пустьY- множество её значений. Пусть каждое своё значение функция принимает только в одной точке. В таком случае говорят, что функцияу=f(x) осуществляет взаимно однозначное отображение множестваХна множествоY. Поставим в соответствие каждомууYто числохХ, для которогоf(x) =у. Тем самым на множествеYбудет определена функция. Она называется обратной по отношению к функцииу=f(x) и обозначаетсях=(у). Отметим, что обратной для функциих=(у) является функцияy=f(x), поэтому функцииy=f(x) их=(x) называются взаимно обратными.

Примеры.

1) y=,X= [0, +),

x=,Y= [0, +).

(рисунок)

2) y=,X= (-,).

Эта функция обратной не имеет.

(рисунок)

Теорема 3.5

Пусть функция y=f(x) определена, непрерывна и строго монотонна на [a,b].

Тогда множеством её значений является сегмент Y= [f(a),f(b)], на сегментеYсуществует обратная функциях=(у), строго монотонная и непрерывная.

Доказательство.

(рисунок)

Пусть y=f(x) возрастает на [a,b].

1. В силу следствия из теоремы 3.4функцияy=f(x) принимает любое значение междуf(a) иf(b), а так какy=f(x)-ворастающая функция, то у неё нет значений, меньшихf(a), и значений, большихf(b). Тем самым, множество её значенийY= [f(a),f(b)].

2. Так как y=f(x)- возрастающая функция, то каждое значениеyYфункция принимает только в одной точке. Отсюда следует, что на сегментеYсуществует обратная функциях=(у).

3. Докажем, что х=(у)возрастает на сегментеY.

Возьмём и Y, <Требуется доказать, что<,

То есть, что <. Так какf() =,f() = , то если предположить, что, в силу возрастания функцииf(x) получимf()f(), то есть, что противоречит неравенству <. Таким образом() <(), то есть обратная функция возрастает на сегментеY.

4. Остаётся доказать непрерывность обратной функции на сегменте Y.

Возьмём произвольную точку (f(a),f(b)) и докажем непрерывность обратной функции в точке . Непрерывность в точкахf(a) иf(b) доказывается аналогично.

(рисунок)

По определению непрерывности нужно доказать, что > 0> 0: | (y) - () | <

при | y- | <, или |(y) - | <при |y- | <. Иначе говоря, нужно доказать, что значения обратной функции лежат в- окрестности точки для значений аргументауиз- окрестности точки.

Возьмем произвольное > 0 столь малым, чтобы -и +[a,b]. Пусть

f(-) =,f(+) =. Так как функцияy=f(x) - возрастающая, то <<. А так как обратная функцияx=(y) также возрастающая, то<(y) <при

<y<, то есть значения обратной функции лежат в- окрестности точкидля значений аргументаy(,).

Возьмём - окрестность точки, принадлежащую интервалу (,). Тогда, согласно доказанному, значения обратной функции для значений аргументаyиз этой- окрестности лежат в- окрестности точки, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

6. Доказать, что = 1 (первый замечательный предел).

= 1 (первый замечательный предел).

Доказательство:

sinx<x<tgxпри 0 <x< . Разделив наsinx, получим 1 < < . Отсюдаcosx< < 1 при 0 <x< . Входящие в эти неравенства функции - чётные, поэтому эти неравенства верны также при -<x< 0. Приx0cosx1, так как сosx- непрерывная функция. Следовательно, по теореме о двух милиционерах 1 прих0, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Следствие 1.

sinx=x+ о(х) прих0. В самом деле, так как = 1, тоsinx~x

при х0, и ,следовательноsinx-x=o(x), откудаsinx=x+ о(х) прих0:

(рисунок)

Следствие 2.

cosx= 1 - +o(x²) прих0.

Доказательство:

=== 1. Отсюда следует, что

1 - cos~ прих0, поэтому 1 -cosx-=o(x²) прих0, или

cosx= 1 - +o(x²) прих0.

Следствие 3.

tgx=x+o(x) прих0.

Примеры:

1. == =12.

2) ;

1) первая попытка:

==- чему равен предел этой дроби, сказать нельзя.

2) вторая попытка:

.

7. Доказать, что (1 +х)^1/х =е. (второй замечательный предел.

(1 +х)^1/х =е.(это неопределённость типа 1^).

Доказательство:

По определению, е = .

Неверное доказательство теоремы:

Положим=х, тогда= (1 +х)^1/х , иx0 приn.

Поэтому (1 + х)^1/хeприх.

Это доказательство неверно, так как здесь x0 определённым способом

(x= , гдеn- натуральное число), а нужно рассматривать произвольное стремлениеxк нулю.

Верное доказательство.

Введём функцию f(x) = (x1).

При nx<n+ 1:f(x) = , поэтому f(x) =e.

Воспользуемся неравенствами: [x]x< [x+1] = [x] + 1. Отсюда приx1 имеем:

<а, следовательно, 1 + < 1+1 +.

Поэтому

или

.

Отсюда следует, что =е.

Положим у= . Тогдаy+0, еслих+и мы получаем,

что (1 +у)^1/у=еили

(1 +х)^1/х=е.(1)

Рассмотрим теперь (1 +х)^1/х. Положиму= -х. Тогдаy+0, если х-0.

(1 + х)^1/х= (1 -у)^-1/у==.

Положим =z. Тогдаz+0, еслиy+0 иy= ,=+1.

Таким образом, (1 + х)^1/х==(1 +z)^1/z+1. Еслих-0, тоz+0, поэтому

(1 + z)^1/z+1= e.

Итак, (1 +х)^1/х =е.(2)

Из (1)и(2)следует, что (1 +х)^1/х =е.

Теорема доказана.

Примеры:

1. = log_a[(1+x)^1/x] =log_a e= , так как (1+x)^1/x eприx0.

Отсюда следует, что log_a(1+x) ~ прих0.

Поэтому log_a(1+x) - =о(х) прих0, то естьlog_a(1+x) = +о(х) прих0. В частности, еслиа=е, то получаемln(1+x) =х+о(х). 2) . Обозначима^х- 1 =у. Тогдаy0 прих0,х=log_a(1+x). == =lna, так как (1 +y)^1/y еприy0. Итак, =lna. Отсюда следует, чтоа^х- 1 ~xlnaприх0.

Поэтому а^х=1 +xlna+o(x) прих0, в частности,е^х=1 +x+o(x).