Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Сборник-ЛА.pdf

Скачиваний:

111

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

5. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов

5.1. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов и их матриц

Понятия собственных векторов и собственных значений матриц и их свойства. Характеристическое уравнение матрицы. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов (симметрических матриц)

Пусть А: Rn → Rn – линейный оператор. Ненулевой вектор x Rn называется собственным вектором (СВ) оператора А (матрицы А), если опера-

тор А (матрица А) переводит вектор x ≠ 0 в коллинеарный ему вектор λx :

= λ

(5.1)

Число λ при этом называется собственным значением (СЗ) оператора А (матрицы А).

Множество СЗ матрицы А образует ее спектр.

СВ и СЗ матрицы А обладают следующими свойствами:

1º. Если x - СВ матрицы А с СЗ λ, то и вектор k x , k ≠ 0, тоже СВ матрицы А с тем же СЗ λ.

Число k всегда можно выбрать таким, что ||k x || = 1, т.е. k = 1/|| x ||.

СВ x , для которого || x || = 1, называется нормированным. 2º. Если матрица А невырождена, то все ее СЗ отличны от нуля.

3º. Если x - СВ невырожденной матрицы А с СЗ λ, то x - СВ матрицы А-1 с СЗ λ-1 = 1/λ.

4º. Если x - СВ матрицы А с СЗ λ, то x - СВ матрицы Ак, k > 1 с СЗ λк.

Отсюда, как следствие, вытекает следующий факт: если Рк (х) = а0хк + +а1хк-1 + … + ак – многочлен и x - СВ матрицы А, то x - СВ матрицы Рк(А) с СЗ Рк(λ), где Рк(А) – многочлен от матрицы Рк(А).

5º. СВ матрицы А, отвечающие попарно различным СЗ, линейно независимы.

Следствие. В пространстве Rn матрица А не может иметь более n СВ с различными СЗ.

6º. Если x1, x2 , …, xn – СВ матрицы А с одним и тем же СЗ λ, то и ли-

нейная комбинация λ1 x1 + λ2 x2 + … + λn xn тоже является СВ матрицы А с СЗ λ.

7º. Собственные значения подобных матриц совпадают.

8º. СЗ λ ортогональной матрицы удовлетворяют условию |λ| = 1 = > λ = = ± 1.

Для отыскания СЗ матрицы А нужно составить характеристическое уравнение (ХУ) матрицы. Если А – n × n – матрица, то ее ХУ имеет вид (Е

– единичная n × n – матрица):

	a11 − λ	a12	...	a1n
	a11 − λ	a12	...	a1n
\|A – λE\| = 0 <=>	a21	a22 − λ	...	a2n	= 0.	(5.2)
\|A – λE\| = 0 <=>	...	...	...	...	= 0.	(5.2)
	...	...	...	...
	an1	an2	...	ann − λ

Координаты СВ x = (х1, х2, …, хn)Т, отвечающего СЗ λ, находятся из системы

(a11 − λ)x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,

a21x1

+ (a22

− λ)x2 +... + a2n xn

= 0,

(A – λE) x

= 0

(5.3)

<=>

..........................................................

+ a

+... + (a

− λ)x

= 0.

n1 1

Многочлен от λ n-й степени в левой части равенства (5.2) называется

характеристическим многочленом и обозначается Р(λ).

Если λ1, λ2, …, λn – СЗ матрицы А, то λ1 · λ2 … λn = |A|, λ1 + λ2 + … + λn = = а11 + а22 + … + аnn = SРА, где SРА – след матрицы А.

Справедливо еще одно свойство СВ и СЗ матрицы А.

9º. Если λ – СЗ матрицы А кратности k и ранг матрицы А – λЕ равен r = n – k, то СЗ λ отвечает k = n – r линейно независимых собственных векторов.

Для симметрической матрицы А (АТ = А) справедливы:

Теорема 5.1. Собственные векторы симметрических матриц, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.

Теорема 5.2 (о полноте собственных векторов). У каждой симметрической матрицы А в n-мерном евклидовом пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов. Соответствующие им собственные значения являются действительными числами.

Если матрица А – симметрическая и имеет кратные СЗ, то задача отыскания "недостающих" СВ упрощается тем, что эти векторы попарно ортогональны. Поэтому такие "недостающие" СВ, отвечающие кратному СЗ λ, можно найти исходя из ортогональности СВ.

5.1. Найти СЗ и СВ матрицы:

2 − 2 3				0 1		0	3	0
а) А = 1	1		1 ; б) А = 0 0			1	3	0
а) А = 1	1		1 ; б) А = 0 0			1	; в) А =	.
	3						0	3
1	3		−1	1	−3 3
∆ а) Составляем ХУ (5.2) матрицы А:
\|А - λЕ\| =		(2 −λ)	−2	3	= – λ3 + 2λ2 + 5λ – 6 = 0 <=>
		(2 −λ)	−2	3
		1	(1−λ)	1
		1	3	(−1−λ)

<=> (λ – 1)(λ – 2)(λ – 3) = 0 => λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3 – СЗ матрицы А. 1. При λ = 1 система (5.3) имеет вид

x1 − 2x2 +3x3					= 0,	x	= −x		,
x1	+ x3 = 0,							3
						<=> 1
x	+3x	2	− 2x	3	= 0.	x2 = x3.
1

Таким образом, СЗ λ1 соответствует СВ

	x	− x	3	−1
	1		3
x 1	1
x 1	= x2	= x3		= х3 1	.

	x3	x3		1

Здесь х3 – произвольное действительное число. Положив его, в частности,

равным единице, получим СВ x1 = (–1, 1, 1)Т. 2. Аналогично при λ = 2 имеем систему

4x1 − 2x2 +3x3 = 0,

=11x

x1 +3x2 + x3 = 0,

<=>

+3x

+ x

= 0.

x3 = −14x2.

Таким образом, получаем:

11x

x 2

= x2

= х2

−14

−14x2

При х2 = 1 получим СВ

2 = (11, 1, -14)Т.

3. При λ = 3 имеем:

− x1 − 2x2 +3x3 = 0,

= x

x1 − 2x2 + x3 = 0,

<=>

+3x

− 4x

= 0.

x3 = x1,

т.е. вектор

x 3

х1

является собственным. При х1 = 1 он имеет вид x 3 = (1, 1, 1)Т.

Итак, матрица А имеет СЗ λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, а соответствующие им

нормированные СВ имеют вид
		1		−1		, 1		, 1	T		2			, 1		, −14	T
	x
										, x
			=		3		3			, x		= 11	318		318			,
					3		3		3				318		318		318

	3		1		1	, 1	T
x	3			,			T
x		=		,			.
			3		3		3

б) ХУ матрицы А

− λ

= λ2(3 – λ) + 1 - 3λ = –(λ – 1)3 = 0

|А – λЕ| =

0 − λ

−3 3 − λ

имеет трехкратный корень λ = 1. Составив систему (5.3), будем иметь:

−1 1 0 x

− x

+ x

= 0,

−

1 1 x2

<=>

− x2 + x3 = 0,

−

−3x2 + 2x3 = 0.

3 2 x3

Ранг матрицы этой системы, очевидно, равен 2. Значит, она имеет n–r =

= 3 – 2 = 1 линейно независимое решение

х2 = х3, х1 = х2 = х3 =>

=(х1, х2, х3)Т=(х3, х3, х3)Т = х3 (1, 1, 1), х3 R, х3 ≠ 0.

Положив х3 = 1,

получим,

что

матрица А имеет единственный СВ

= (1, 1, 1)Т, соответствующий трехкратному СЗ

λ = 1.

в) ХУ

−λ

= (3 – λ)2 = 0 имеет двукратный корень λ = 3. При этом

0 3 −λ

λ система (5.3) принимает вид

0 = 0,

0 = 0.

Она удовлетворяется при любых х1, х2 R. Значит, любой вектор (х1, х2)Т, где х1 и х2 не равны одновременно нулю, является СВ матрицы А. В частности, в

качестве линейно-независимых СВ можно взять векторы x1=(1, 0), x2 =(0, 1).

▲

5.2. Найти СЗ и СВ симметрической матрицы

0	1	1	0

А = 1	0 1		0	.
1	1	0	0
0	0	0	−1

∆ Имеем |А - λЕ| = 0 => λ1 = 2, λ2 = λ3 = λ4 = –1. Для λ1 = 2 найдем СВ x1= = (0, 1, 1, 0)Т. Для λ2 = –1 – СВ x2 = (0, –1, 1, 0)Т. СВ x3 и x4 , отвечающие СЗ

λ3 = λ4 = –1, найдем из условий ортогональности

2 ,

2 . Пусть

= (х1, х2, х3, х4)Т. Тогда из условий

получим

систему

(x, x )

= x1 + x2 + x3 = 0,

2 ) = −x

(

+ x

= 0,

общее решение которой

−

x =

х2 1

+ х4

Отсюда при х4 = 0, х2 = 1 получаем СВ

3 = (–2, 1, 1, 0)Т, а при х2=0, х4=

= 1 – СВ

4 = (0, 0, 0, 1)Т. Нетрудно видеть, что

4 .

Итак,

=(–2, 1,

для матрицы А СВ x

= (1, 1, 1, 0) ,

= (0, –1, 1, 0) , x

, x

= (0, 0, 0, 1)

попарно ортогональны. ▲

1, 0)

100

eλ1t ,...,eλn t , где λ1, …, λn – по-

5.3. Найти СЗ и СВ матриц

	2 1 1		1 0 0		1 1 −1		−1 −7 −16
а)	1 2 1 ; б)		0 1 0 ; в)		2 0 3	; г)		4 15 27	;


	0 0 1		0 0 0		0 0 4		−2 7 −11
	0 0 1		1 −4 −8
д) 0 1 0 ; е)			−4 7 −4 .
				−4 1
	0 0 0		−8	−4 1
5.4. Показать, что матрицы
	2 2 1			2	1 −1
А = 1 3 1		и В = 0			2 −1


	1 2 2			−3	−2 3

имеют одинаковые СЗ, но не являются подобными.

5.5. Пусть λА – СЗ матрицы А, а x – СВ матрицы В = А + α Е, где Е – n × n– единичная матрица, α R. Чему равно при этом СЗ λВ матрицы В?

5.6. Найти СЗ и СВ оператора дифференцирования D, как линейного преобразования каждого из следующих линейных пространств действитель-

ных функций, n N:

а) пространство всех многочленов степени не выше n;

б) пространство всех тригонометрических многочленов f(t) = a0 + a1cos t+ + b1 sin t + … + an cos nt + bn sin nt;

в) линейная оболочка системы функций парно различные числа;

г) пространство всех функций вида eλ0t Р(t), где Р(t) – любой многочлен степени не выше n, λ0 ≠ 0 – фиксированное число.

5.7.* Найти СЗ и СВ оператора дифференцирования в пространстве функций, бесконечно дифференцируемых на R.

5.2. Диагонализация матриц

Приведение матрицы к диагональному виду. Канонический вид матрицы самосопряженного оператора

Для линейного оператора А: Rn → Rn справедлива

101

Теорема 5.3. Для того чтобы матрица А линейного оператора А в некотором базисе имела диагональный вид, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов матрицы А. При этом в указанном базисе матрица

λ1	0 ...	0
А = Λ = diag (λ1, λ2, …, λn) = 0	λ2 ...	0	,	(5.4)
	0 ...
0	0 ...	λn

где λ1, λ2, …, λn – собственные значения матрицы А.

Вид матрицы (5.4) называется каноническим.

Если Т – матрица, столбцами которой являются СВ x1, x2 , …, xn матрицы А, то приведение А к диагональному виду (диагонализация матрицы А) осуществляется по формуле

Λ = Т-1АТ.

(5.5)

Имеет место

Теорема 5.4. Если λi – СЗ n × n – матрицы А кратности ki, i = 1, m , k1 +

+ k2 + … + km = n, и rang (А – λiE) = n – ki = ri, то матрица А приводится к диагональному виду.

Следствие. Если все СЗ матрицы различны, то она диагонализируется. Симметрические матрицы всегда диагонализируются.

Алгоритм приведения матрицы А к диагональному виду:

1.Решая ХУ |A – λE| = 0, находим собственные значения λi матрицы А.

2.Находим rang(А – λiЕ) и проверяем выполнимость теоремы 5.4.

3.Если условия этой теоремы выполнены, записываем диагональный вид матрицы, расположив по ее главной диагонали ее собственные значения, причем каждое СЗ повторяется столько раз, какова его кратность.

Если же требуется найти базис, в котором матрица А имеет диагональный вид и матрицу перехода Т, то поступаем следующим образом:

1.Находим СВ матрицы А.

2.Составляем матрицу Т, столбцами которой служат СВ матрицы А.

3.Находим А-1.

102

4. По формуле Λ = Т-1АТ получаем искомую матрицу.

В ОНБ самосопряженный оператор А имеет симметрическую матрицу А. У каждой симметрической матрицы имеется n попарно ортогональных СВ. В базисе из этих векторов матрица диагонализируется. Если все эти ортогональные СВ нормировать, то получим ОНБ, матрица перехода к которому ортогональная, т.е. Т-1 = ТТ. Поэтому формула 5.5 диагонализации симметрической матрицы принимает вид

Λ = ТТАТ. (5.6)

Здесь Т – матрица, столбцами которой служат ортонормированные СВ матрицы А.

Алгоритм диагонализации симметрических матриц следующий:

1.Находим СЗ и ортогональные СВ матрицы А. Нормируем СВ.

2.Составляем матрицу перехода Т, столбцами которой служат ортонормированные СВ матрицы А.

3.По формуле Λ = ТТАТ получаем искомую диагональную матрицу.

5.8. Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица, и в случае приводимости записать ее диагональный вид:

2	1	1	3 12		−4
а) А = −1 2		2 ;	б) А = −1	−3 1 .
	0			12
1	0	0	−1	12	6

∆ а) Находим СЗ матрицы А:

\|А – λЕ\| =			(2 −λ)		1	1	= –λ(λ – 2)2 = 0 => λ1,2 = 2, λ3 = 0.
			(2 −λ)		1	1
			−1		(2 −λ)	2
				1	0	−λ
Для двукратного (k = 2) СЗ λ = 2 находим r = rang (А – 2Е) =
0	1	1				0		1	1
= rang −1	0	2			= rang	−1		0	2 = 2.
	0
1	0		−2 -II			0 0			2

Так как 2 = r ≠ n – k = 3 – 2 = 1, то данная матрица не приводится к диагональному виду.

б) Следуя алгоритму, получаем:

103

1. \|А – λЕ\| = 0 <=>	(3 −λ)	12	−4	= 0 =>
	(3 −λ)	12	−4
	1	(−3 −λ)	1
	−1	12	(6 −λ)

=> λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3.

Согласно следствию из теоремы 5.4, матрица А приводится к диагональному виду.

1. Для каждого λi, i = 1, 2, 3, решаем системы

								(3 −λi )x1 +12x2 − 4x3										= 0,
								x1 −(3 + λi )x2 + x3 = 0,												=>
								x1 −(3 + λi )x2 + x3 = 0,												=>

								− x1 +12x2 + (6 −λi )x3 = 0.
	1				Т	2			Т			3					Т
	1				Т	2			Т		x	3					Т
=> x		= (–2, 1, 2) , x					= (–8, 3, 7) ,				x		= (–3, 1, 3) – СВ матрицы А.
			−2 −8 −3												2		3	1
		2. Т =		1	3		1	, \|T\| = 1.				3. Т-1 =			−1		0	−1 .

				2	7		3										−2 2
				2	7		3								1		−2 2
						2		3 1 3 12 −4 −2 −8 −3													1 0 0
		4. Λ = Т-1АТ =				−1 0 −1			· −1				−3 1			·	1	3	1		= 0 2 0	. ▲

							1										2	7	3
							1	−2 2	−1 12 6								2	7	3		0 0 3
		5.9. Найти ортогональную матрицу, приводящую матрицу
										3			−1	2
								А =					3
								А =		−1			3	2
												2	2
												2	2	0

кдиагональному виду.

∆В соответствии с алгоритмом диагонализации симметрических матриц имеем:

1. |А – λЕ| =

(3 −λ)

−1

λ1 = −2,

−1

(3 −λ) 2

= (λ + 2)(λ – 4)

= 0 =>

−λ

λ2,3 = 4.

2. Для λ1 = –2 и λ2 = 4 находим соответствующие

1 = (1, 1, –2)Т,

2 =

=(2, 0, 1)Т. Поскольку

1 и

2 , то в качестве

3 можно взять

x3 = [ x1, x2 ] = (1, –5, –2) Т. Отсюда получаем нормированные СВ

104

					1							2							1
					6							2							30
			1		6					2		5					3		30
			1						x	2		5				x	3
	1		x		1		2				=			3					−5
	1	=	x		1	, v	2	=				0	, v	3	=				−5
v		=	\|\| x1 \|\|	=		, v		=	\|\| x2 \|\|			0	, v		=	\|\| x3 \|\|		=		.
			\|\| x1 \|\|		6				\|\| x2 \|\|			1				\|\| x3 \|\|			30
					−2							1							− 2
					−2							5							− 2
					6							5							30
					6														30

3 – 4. Составляем матрицу перехода Т (искомую ортогональную матрицу и матрицу ТТ):

		1	2	1			1	1	−2
		6	5	30			6	6	6
Т =	1		0	−5	=> ТТ =	2		0	1	.
		6		30			5	−5	5
		−2 1		−2			1	−5	−2
		6	5	30			30	30	30
		6	5	30			30	30	30

5. Диагональная матрица

−2	0	0
Λ = ТТАТ = 0	4	0 . ▲
	0
0	0	4

5.10. Выяснить, диагонализируется ли матрица, и в случае положительного ответа записать ее канонический вид:

1	0	1	1	0	0		10	−3	−9
а) 0	1	0 ; б)	−1 1		2 ; в) 1 −1 ; г)		18	7	18 .
	0			0		−4 4		−6
0	0	2	3	0	1		18	−6	−17

5.11. Найти ортогональные матрицы, приводящие данные симметрические матрицы к диагональному виду:

				0	0
а) 5	6 ;		2	0	0
		б)	0 0		−2	.
		б)	0 0		2	.
6	0			−2	2
				−2
			0		3
			0	2	3
				2

5.12. Данные симметрические матрицы привести к диагональному виду:

1	2	1	7	−2	0	1	2	2	0	2	5
а) 2	−5 2 ; б)		−2 6 −2 ; в)			2	1	2 ; г)	2	−3	−2 .
	2			−2			2			−2
1	2	1	0	−2	5	2	2	1	5	−2	0

105

5.13. Найти матрицу ортогонального проектирования векторов пространства R3 на 1) прямую x = z = 0; 2) прямую x = y = z; 3) плоскость x + y + + z = 0; 4) плоскость, натянутую на векторы (порожденную векторами) a =

=(–1, 1, –1) и b = (1, –3, 2). Найти СЗ и собственные подпространства (т.е. множества, порожденные собственными векторами матрицы) этих матриц и диагонализировать их.

5.3. Квадратичные формы

Квадратичная форма и ее матрица. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра знакоопределенности. Закон инерции. Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго порядка

Квадратичной формой (КФ) от n переменных х1, х2, …, хn называется выражение вида

Q( x ) = Q(х1, х2, …, хn) = a11x12 + a12x1x2 + a13x1x3 + a1nx1xn + a21x2x1 +

+ a22x22 + a23x2x3 + … + a2nx2xn + … + an1xnx1 + an2xnx2 + … + annxn2 =

n	n
= ∑ ∑aij xi x j ,
i=1	j=1

где aij R – коэффициенты КФ, причем aij = aji , x = (х1, х2, …, хn) Rn. Матрица

	a11	a12	...	a1n
А =		a22	...
А =	a21	a22	...	a2n
		...	...
	...	...	...	...
	an1	an2	...	ann

(5.7)

(5.8)

называется матрицей КФ. Она симметрическая, так как aij = aji . КФ полностью определяется своей матрицей, и наоборот, любая КФ однозначно определяет симметрическую матрицу. С помощью матрицы А КФ записывается в векторно-матричном виде

) = Q (

, А

) = (А

) =

T А

(5.9)

106

Говорят, что КФ (5.7) имеет канонический вид, если все aij = 0, i ≠ j, т.е. канонический вид КФ следующий:

											n
		Q(		) = a11x12 + a22x22						+ … + annxn2 = ∑aii xi2 .		(5.10)
		Q(	x	) = a11x12 + a22x22						+ … + annxn2 = ∑aii xi2 .		(5.10)
											i =1
Канонической КФ (5.9) соответствует диагональная матрица
					a11			0 ...		0
					0			a22 ...		0		(5.11)
		А =									= diag (a11, a22, …, ann).	(5.11)
								... ...		...
					...			... ...		...
					0			0 ...		ann
Нахождение канонического вида КФ называется приведением КФ к
каноническому виду.
Если Q(		) = (А			,		),		Rn КФ с n ×n – матрицей А, заданная в ОНБ
Если Q(	x	) = (А		x	,	x	),	x	Rn КФ с n ×n – матрицей А, заданная в ОНБ

{u1, u2 , …, un } = {u } , а { v } = { v1, v2 , …, vn } – новый ОНБ в Rn и Т – матрица перехода от {u } к { v }, то в базисе { v } принимает вид

Q( x ') = ( x ', ТТАТ x '),

т.е. матрицей КФ в ОНБ { v } является матрица ТТАТ. Справедлива

Теорема 5.5. КФ в ОНБ, состоящем из СВ матрицы А, имеет канонический вид

Q(x′) = λ1x1′2 + λ2 x2′ 2 +... + λn x1′n2	n
Q(x′) = λ1x1′2 + λ2 x2′ 2 +... + λn x1′n2	= ∑λi x'i2 ,	(5.12)

i=1

где λi – CВ матрицы А, i = 1, n , x ' = (х1', …, xn').

Алгоритм приведения КФ к каноническому виду тот же, что и алгоритм диагонализации симметрических матриц.

Для КФ справедлива

Теорема 5.6 (закон инерции КФ). Если КФ приводится к сумме квадратов (к каноническому виду) в двух разных базисах, то число положительных квадратов, так же как и число отрицательных квадратов, в обоих случаях одно и то же.

107

Другим методом приведения КФ к каноническому виду является метод Лагранжа, состоящий в последовательном выделении в КФ полных квадратов. Суть его поясняют примеры 5.17 и 5.18.

Важным в теории КФ является понятие знакоопределенности. КФ Q( x ) = Q(х1, х2, …, хn) называется положительно-определенной, если для любой ненулевой совокупности значений переменных х1, х2, …, хn имеем Q( x ) > 0, и

отрицательно-определенной, если Q( x ) < 0. Матрица А, соответствующая положительно-(отрицательно-) определенной КФ, называется положительно- (отрицательно-) определенной матрицей. Положительно- и отрицательно-

определенные КФ называются знакоопределенными.

КФ Q( x ) называется неотрицательно- (неположительно-) определен-

ной, если Q( x ) ≥ 0 (Q( x ) ≤ 0), x Rn .

Справедлива

Теорема 5.7. Для того чтобы КФ Q( x ) = x ТАx была положительно-

(отрицательно-) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все СЗ λ1, λ2, …, λn матрицы А были положительными (отрицательными).

Следствие. Если КФ знакоопределенна, то ее матрица невырождена.

Главными минорами матрицы (5.8) КФ называются определители

		a11	a12		a11	a12	a13

∆1 = а11, ∆2	=			, ∆3 =	a21	a22	a23	, …, ∆n = \|А\|,
		a21	a22		a31	a32	a33

т.е. миноры, стоящие в левом углу матрицы А. Справедлив

Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определен-

ности КФ или матрицы. Для того чтобы КФ была положительноопределенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительными. Для того чтобы КФ была отрицательно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы главные

108

миноры нечетного порядка были отрицательными, а четного порядка – положительными.

Итак,
Q(		) > 0		<=> ∆1	> 0, ∆2	> 0, …, ∆n > 0;
	x
Q(			) < 0	<=> ∆1	< 0, ∆2	> 0, …, (–1)n∆n > 0.	(5.13)
	x
КФ применяются для упрощения кривых второго порядка в R2 и поверхно-
стей второго порядка в R3.
В ПДСК общий вид кривой второго порядка следующий:
				а11х2 + 2а12ху + а22у2 + а13х + а23у + а33 = 0.			(5.14)

Каждое уравнение (5.14) определяет в R2 либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу (без учета вырожденных случаев). Уравнение (5.14) преобразуется к каноническому виду только в специально выбранной системе координат.

Алгоритм приведения кривой (5.14) к каноническому виду следующий: 1. Выписываем матрицу КФ Q(х, у) = а11х2 + 2а12ху + а22у2:

a	a	, а12	= а21.
А = 11	12	, а12	= а21.
a21	a22

2.Находим СЗ λ1 и λ2 и нормированные СВ v1 = (α1, β1)T v2 = (α2,β2)Т этой матрицы (λi2 + βi2 ≠ 0, i = 1, 2).

3.Составляем матрицу

		1		2	α			α
		1		2
	v		v				1		2
Т =					=	β1		β2		.
↓			↓			β1		β2

4. Вводим новую систему координат X'Y' по формулам

x	x'	<=>	x =α1x'+α2 y',	(5.15)
	= Т

y	y'		y = β1x'+β2 y'.

Преобразование (5.15) осуществляет поворот осей координат Х и Y на некоторый угол или является зеркальным отражением.

5.Переменные х и у из (5.15) подставляем в уравнение (5.14), после чего

внем исчезнет член с произведением ху.

109

6. В полученном таким образом новом уравнении выделяем полные квадраты (x' + a)2 и (y' + b)2 и вводим новую систему координат XY по фор-

мулам x = x' + a, y = y' + b, чем фактически осуществляется перенос систе-

мы координат в новое начало 0 = (–a, –b). При этом уравнение кривой в сис-

теме XY примет канонический вид λ1 x2 + λ2 y2 + а33 = 0.

7. Строим все системы координат XY, X'Y', XY и в последней системе – искомую кривую.

Поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в ПДСК XYZ имеет вид

а11х2 + а22у2 + а33z2 + 2а12ху + 2а13хz + 2a23yz + a14x + а24у + a34z +
+ а44 = 0.	(5.16)

Каждое уравнение (5.16) определяет в R3 одну из поверхностей – эллипсоид, параболоид, гиперболоид, цилиндр, конус (без учета вырожденных случаев).

Алгоритм приведения уравнения (5.16) к каноническому виду тот же,

что и для кривых второго порядка.

Единственным отличием является тот

факт, что ортогональная матрица Т п.3 алгоритма теперь имеет три столбца:

α1 α2

α3

α1

α2

α3

Т =

β2

β3

β1

β2

β3

- нормированные

β1

;

v =

СВ матрицы

А =

, а12

= а21,

а13 = а31, а23 =

а32 КФ Q (x, y, z) = а11х

a21

a22

a23

a32

a33

a31

+ а22у2 + а33z2 + 2а12ху + 2а13хz + 2a23yz уравнения (5.16). При этом формулы (5.15) переходят в формулы

x	x'	x =α1x'+α2 y'+α3z',
		<=> y = β1x'+β2 y'+β3z',
y	= Т y'

z	z'	z = γ1x'+γ2 y'+γ3z'.

110

5.14.Для квадратичной формы а) 2х2 – 4ху + 3у2;

б) 3х2 – 4ху + 6xz + 10 yz

выписать матрицу А, найти ранг квадратичной формы (матрицы).

∆ а)		2	− 2
	А =		3	.
	− 2

Так как |А| = 6 – 4 = 2 ≠ 0, то ранг квадратичной формы равен 2.

			3			− 2	3
б) Имеем						0
б) Имеем	А = − 2					0	5 .
			3			5
			3			5	0
Так как \|А\| ≠ 0, то ранг А = 3. ▲
5.15. По данной матрице
2	−1				1	2	−1
2	−1	, б)			2	−3 0
а) А =		, б)			2	−3 0
−1	3
				−1 0			3
				−1 0			3

написать соответствующую ей квадратичную форму. Является ли квадратичная форма положительно-определенной?

∆ а) Имеем

Q (х, у) = 2х2 – 2ху + 3у2;

а11 = 2 > 0, |А| = 2 · 3 – 1 = 5 > 0. Матрица А положительно определена, форма тоже.

б) Квадратичная форма с данной матрицей имеет вид

Q (x, y, z) = x2 + 4xy – 2xz – 3y2 + 3z2;

1 2

а11 = 1 > 0, 2 −3 = –7 < 0 – форма не является знакоопределенной. ▲

5.16. Записать в матричном виде квадратичную форму

Q (x, y, z) = x2 – 3y2 + 3z2 + 8xy + 2xz.

∆ Матрица А данной квадратичной формы равна

111

1 А = 4

Следовательно, согласно (5.9),

Q (x, y, z) = (x, y, z)

−3 0 .

1	4
	−3
4	−3
	0
1	0

1	x
0		.▲
	y


3	z

5.17. Привести квадратичную форму а) Q (х, у) = х2 + у2 + 3ху;

б) Q (x, y, z) = x2 – 8xy – 16xz + 7y2 – 8yz + z2

к каноническому виду с помощью ортогональной матрицы и найти эту матрицу. Является ли квадратичная форма положительно-определенной?

∆ а) Матрица квадратичной формы имеет вид

	1	3

		2
А =	3		.
		1

2

Составляем характеристическое уравнение

1 − λ				3
1 − λ			2		= 0
	3		2
		1	− λ

2
2

или λ2 – 2λ – 1,25 = 0. Его корни λ1 = 2,5, λ2 = – 0,5.

Полагая λ = 2,5, для определения соответствующего собственного вектора получаем систему уравнений

–1,5 х + 1,5у = 0,

1,5 х – 1,5 у = 0,

откуда находим х = у = с, т.е. x1 = i + j = (1, 1).

Аналогично для λ = –0,5 получаем систему уравнений

1,5х + 1,5 у = 0,

112

или х = с, у = – с, с R и второй собственный вектор x2 = i − j = (1, –1)

Нормируя эти векторы, получаем:
		1				1
1		2		2			2
1	=	2	, a	2	=		2	.
a	=	1	, a		=		1	.
		1				−	1
		2				−	2
		2					2

Координаты этих векторов определяют ортогональную матрицу

	1	1			1	−	1
	2	2	и Т-1		2	−	2	,
Т =	2	2	и Т-1	= ТТ =	2		2	,
	1	1			1	− 1
	2	2			2		2
	2	2			2		2

которая приводит квадратичную форму к каноническому виду. В базисе a1 , a2 имеем матрицу квадратичной формы:

	1	1				1		1			2,5	2,5	1	1
А' = Т-1 АТ =	2	2	1	1,5		2		2	=		2	2	2	2	=
А' = Т-1 АТ =	2	2				2	−	2	=		2	2	2	2	=
	1	− 1	1,5	1		1	−	1		− 0,5		0,5	1	− 1
	2					2					2		2
	2	2				2		2			2	2	2	2
				= 2,5			0	.
					0		−0,5

Таким образом, в новых координатах квадратичная форма принимает канонический вид

Q (x', y') = 2,5 (x')2 – 0,5(y')2,

при этом старые координаты х, у выражаются через новые x', y' по формулам

х =	1	x' +	1	y',	y =	1	x' –	1	y'.
	2		2			2		2

Так как второе собственное значение у данной квадратичной формы отрицательно, λ2 = –0,5, то квадратичная форма не является положительноопределенной.

б) Матрица А данной квадратичной формы равна

	1	− 4	−8
		7
А = − 4			− 4 .
	−8	− 4	1

113

Ее характеристическое уравнение
	1 − λ	− 4	−8
	1 − λ	− 4	−8
\|А - λЕ\| =	− 4 7 − λ − 4			= 0
	−8	− 4	1 − λ
имеет корни λ1 = – 9, λ2 = λ3 = 9.
При λ1 = – 9 координаты x, y, z собственного вектора						1 находим из сис-
При λ1 = – 9 координаты x, y, z собственного вектора					x	1 находим из сис-
темы
10х – 4у – 8z = 0,			5x – 2y – 4z = 0,
–4x + 16y – 4z = 0,	или		x – 4y + z = 0,
–8x – 4y + 10 z = 0			4x + 2y – 5z = 0.

Ранг матрицы этой системы равен двум, и она эквивалентна системе

5x – 2y – 4z = 0, x – 4y + z = 0.

Отсюда находим х = –18с, у = – 9с, z = –18с, т.е. x1 = (–18с, – 9с, –18с)Т = – 9с(2, 1, 2)Т, c R.

Значит, можно положить x1 = (2, 1, 2)Т. Пронормировав, получим a1 = (2/3, 1/3, 2/3)Т.

	–8x – 4y – 8z = 0,
Для λ2 = λ3 = 9 имеем систему	–4x – 2y – 4z = 0,
	–8x – 4y – 8z = 0.

Ранг матрицы этой системы равен единице. Значит, имеется два свободных неизвестных. Имеем уравнение 2х + у + 2z = 0, находим у = –2x – 2z, x и z – произвольные постоянные из R.

Таким образом, имеем решение

= y

= − 2x − 2z

− 2x

+ − 2z .

При х = 1 и z = 0 получим вектор

= (1, –2, 0)Т. Чтобы найти

3 , ис-

пользуем условие ортогональности x2 и x3 =(x,y,z,)T=(x,–2y–2z,0)T:

114

										х + 4х + 4z = 0 => х = – 4z/5.
Положив, например,									z = – 5, получим вектор													3 = (4, 2, –5) Т. Пронормировав
Положив, например,									z = – 5, получим вектор												x	3 = (4, 2, –5) Т. Пронормировав
	2				3								3			1		2		Т				3		4		2		5	Т
векторы x	2	и x			3	, получим a							3	= (		1	, –	2	, 0)	Т	, a			3	= (	4	,	2	,–	5	Т	.
векторы x		и x				, получим a								= (			, –	5	, 0)		, a				= (	5	,	5	,–	3	)	.
																5		5							3	5	3	5		3	5
Таким образом, матрица перехода
				1				2			3			2			1		4
			a	1			a	2		a	3				3			5	23 5
Т =												= 1			3		−2	5	23 5				.
															3		0	5	3		5
														2	3		0		−5	3	5
															3					3	5

Канонический вид формы: Q (x', y', z') = – 9 (x')2 + 9(y')2 + 9(z')2.

Квадратичная форма не является положительно определенной, так как

λ1 = – 9 < 0. ▲

5.18. Методом выделения полных квадратов (методом Лагранжа) привести к каноническому виду квадратичную форму:

а) Q(x, y) = х2 – у2 – 4ху;

б) Q(х1, х2, х3) = х12 – 3х1х2 + 4х1х3 + 2х2х3 + х32.

∆ а) Имеем, группируя члены, содержащие х и у: Q(x, y) = х2 – у2 – 4ху = (х2 – 4ху) – (у2) =

= (х – 2у)2 – 4у2 – (у2) = (х – 2у)2 – (5у2).

Положив х' = х – 2у, у' = у, получим канонический вид квадратичной формы: Q(x', y') = (х')2 – 5(у')2.

б) Выделим слагаемые, содержащие х1, и представим квадратичную форму в виде

Q = (х12 – х(3х2 – 4х3) + (1/4)(3х2 – 4х3)2) – (1/4)(3х2 – 4х3)2 + 2х2х3 + х32 =

=(х1 – (3/2)х2 + 2х3)2 – (9/4)х22 + 8х2х3 – 3х32 = (х1 – (3/2)х2 + 2х3)2 –

– (9/4)(х22 – (32/9)х2х3 + (256/81)х32) + (64/9)х32 – 3х32 =

=(х1 – (3/2)х2 +2х3)2 – (9/4)(х2 – (16/9)х3)2 + (37/9)х32.

Переход к новым переменным по формулам

у1 = х1 – (3/2)х2 + 2х3, у2 = х2 – (16/9) х3, у3 = х3

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду:

115

Q (у1, у2, у3) = у12 – (9/4)у22 + (37/9)у32. ▲

5.19. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму Q (х1, х2, х3) = 4х1х2 – 5х2х3.

∆ Поскольку отсутствует коэффициент при квадрате переменной, то сначала применим преобразование

х1 = (1/2)(у1 – у2), х2 = (1/2)(у1 + у2), х3 = у3.

В результате получим квадратичную форму

Q (у1, у2, у3) = у12 – (5/2)у1у3 – у22 – (5/2) у2у3 =

=у12 – 2 · (5/4) у1у3 + (25/16) у32 – (у22 + 2 · (5/4)у3у2 + (25/16)у32) =

=(у1 – (5/4)у3)2 – (у2 + (5/4)у3)2.

Сделав замену z1 = у1 – (5/4)у3, z2 = у2 + (5/4)у3, z3 = у3, получим каноническую форму квадратичной формы

Q(z1, z2, z3) = z12 – z22 + 0·z32.

Итак, линейное преобразование

z1 = x1 + x2 – (5/4)x3, z2 = –x1 + x2 + (5/4)x3, z3 = x3

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду. ▲ 5.20. С помощью теории квадратичных форм исследовать кривую второ-

го порядка и построить ее:

х2 + у2 + 4ху + 4х + 2у – 5 = 0.

∆ Для матрицы квадратичной формы
1	2
А =
2	1

характеристическое уравнение
\|А – λЕ\| =	1 − λ	2	= (1 – λ)2 – 4 = 0
\|А – λЕ\| =	1 − λ	2	= (1 – λ)2 – 4 = 0
	2	1 − λ

имеет корни λ1 = –1, λ2 = 3. Им отвечают собственные векторы u1 = (–1, 1)Т, u2 = (1, 1)Т.

Нормируя собственные векторы, получаем

116

																							−1											1
																	1						2							2
																																		2
																			=							,		a			=			2	.
																a			=				1			,		a			=			1	.
																							1											1
																								2										2
Таким образом, матрица перехода Т к новому базису имеет вид
																										1				1
																								−		2				2
																					Т =					2				2		.
																										1				1
																										2				2
																										2				2
Теперь вводим замену переменных
								х = –					1			x' +						1		y',					y = 1					x' +		1 y'.
														2								2											2			2
Подставим эти х и у в исходное уравнение кривой:
		(–	1		x' +		1	y')2 + (							1 x' +								1 y')2 + 4(–									1	x' +		1	y')( 1 x' +		1 y') +
			2				2								2								2									2			2	2		2
+			4		y' –		4	x' + 2							x' +				2				y' – 5 = 0.
			2				2						2						2
											′		2							′		2	+		2x		′	+ 3			2y		′	−5 = 0 или
Отсюда находим − (x )														+ 3( y )									+		2x			+ 3			2y			−5 = 0 или
								3(y' + 22 )2 – (x' – 22 )2 = 6.
		Введя замену								= y' +								22 ,						= x' –				22 , получим уравнение гиперболы
		Введя замену							y	= y' +								22 ,					x	= x' –				22 , получим уравнение гиперболы
										(		)2						(			)2
3 (		)2 – (				)2 = 6 =>					y					–				x				= 1– в системе координат
	y			x
																																					XY (рис. 5.1).
																			6																		XY (рис. 5.1).
								2											6

117

		Y
X	X'	Y	Y'
		O	X
		O = O'	X
		Рис. 5.1
5.21. Привести к каноническому виду уравнение поверхности
	x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 2yz + 6xz – 2x + 6y + 2z = 0.
∆ Матрица квадратичной формы

					1		1	3
		А =			1		5	1


					3 1 1
имеет характеристическое уравнение
			1 − λ				1			3
			1 − λ				1			3
\|А – λЕ\| =				1			5 − λ			1			= (λ – 3)(λ – 6)(λ + 2) = 0.
				3			1		1 − λ
Таким образом, СЗ матрицы					λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = –2.
Соответствующие собственные векторы равны
		1						1						1
		1 = −1			,		2 =	2		,		3 =			0	.
	u	1 = −1			,	u	2 =	2		,	u	3 =			0	.


		1						1							−1

Нормированные векторы образуют матрицу Т:

118

						x =	1		x'+		1		y'+		1	z',
	1	1	1	x	x'			3				6			2
	3	6	2	x	x'			1				2
	3	6	2					1		x'+		2		y',
Т = −	1	2	0	=> y	= Т y'	= y = −			3	x'+			6	y',
	3	6	−1						3				6
	1	1	−1	z	z'		1				1				1
	3	6	2				1		x'+		1		y'−		1	z'.
						z =		3	x'+			6	y'−		2	z'.
								3				6			2

Сделав замену в уравнении, получим:

3(х')2 + 6(y')2 – 2(z')2 + 2x' + 8y' + (8/3)z' + (10/9) = 0 <=> 3(x' + 1/3)2 = 6(y' + + 2/3)2 – 2(z' – 2/3)2 = 1.

Введем замену x = x' + 1/3, y = y' + 2/3, z = z' – 2/3.

В системе координат X, Y, Z уравнение поверхности приводится к кано-

−

ническому виду 3 (

)2 + 6 (

)2 – 2 (

)2 = 1 <=>

=1 - однополо-

стный гиперболоид. ▲

5.22.Написать матрицу квадратичной формы:

а) 2х2 – 3у2 + 6ху;

б) х2 + 2ху – 6yz + z2 + 4xz; в) – 3х2 + 4ху – 8xz + у2 – 3z2.

5.23.По матрице написать квадратичную форму:

− 2		3	1		2	−1	0		4	−1
				2	0	3		4	2	3
а)			, б)				, в)				.
	3	1
			−1 3			− 2	−1 3			−3

5.24. Является ли положительно или отрицательно определенной квадратичная форма:

а) 2х12 + 3х22 + х32 – 4х1х2 + 2х1х3 – 2х2х3; б) 9х2 + 20у2 + 20 z2 – 40yz;

в) х12 + х22 + х32 + 4х1х2 + 6х1х3 + 4х2х3;

г) –х12 – 4х22 – 2х32 – 2х1х2 – 2х1х3 – 2х2х3?

119

5.25. Привести квадратичную форму а) 17х12 + 12х1х2 + 8х22;

б) –3х12 + 9х22 + 3х32 + 2х1х2 + 8х1х3 + 4х2х3

ортогональным преобразованием к каноническому виду.

5.26. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа:

а) х12 + 2х1х2 + 2х1х3 – 3х22 – 6х2х3 – 4х32; б) х12 + 2х22 + 2х32 + 3х42 + 219х2 + 2х2х3 + 2х3х4;

в) х12 + 4х1х3 + х22 + 2х2х3 + 4х32.

5.27. Привести к каноническому виду уравнение

17х2 + 12ху + 8у2 + 20 5 х + 20 = 0

и построить фигуру, определяемую этим уравнением.

120

Приложение

Самостоятельная работа «Линейная алгебра»

Структура

1.Решить систему по формулам Крамера и результат проверить матричным методом.

2.Элементарными преобразованиями вычислить ранг матрицы А.

3.Найти общее решение и ФСР однородной системы.

4.Проверить совместность системы. Найти ФСР соответствующей однородной системы и общее решение неоднородной системы.

5.Доказать линейность оператора A : R3 → R3 , найти его матрицу в базисе {i , j, k}, область значений и ядро.

6.Найти преобразование, выражающее x1, x2 , x3 через x1′′, x2′′, x3′′.

7.Матрица А линейного оператора А задана в базисе {e1,e 2 ,e 3}. Найти

матрицу этого оператора в базисе {u1,u 2 ,u 3}.

8.Диагонализировать матрицу и указать базис, в котором она принимает диагональный вид.

9.Исследовать кривую второго порядка и построить ее в системе X O Y .

														Вариант 1
	3x			+	2x			+ x =10,													1	4		3	2	1
	3x			+	2x		2	+ x =10,													0 1 −1 − 2 2
1.		1					2	3										2.	A =		0 1 −1 − 2 2
1.	4x1 + x2 + 2x3 =12,																	2.	A =			9		5	2		.
								+ x3 =14.													2	9		5	2	4
	5x1 + 3x2							+ x3 =14.														7		7	6
																					2	7		7	6	0
		3x1 + x2 −8x3 + 2x4 + x5 = 0,																		3x	+ 2x			−3x	+ 4x		=1,
		3x1 + x2 −8x3 + 2x4 + x5 = 0,																		1			2	3		4
3.		2x1 − 2x2 −3x3 − 7x4 + 2x5 = 0,																4.	2x1 + 3x2 − 2x3 + 2x4 = 2,
3.		2x1 − 2x2 −3x3 − 7x4 + 2x5 = 0,																4.
	x		−11x			2		−12x	+ 34x				4	−5x	=	0.			4x1 + 2x2					−3x3	+ 2x4 =3,
		1				2		3					4	5								4x2 + x3			+ 4x4 =1.
5. А – проектирование на плоскость y − z = 0 .																						4x2 + x3			+ 4x4 =1.
5. А – проектирование на плоскость y − z = 0 .
6. x1′ = 4x1 + 3x2 + 5x3,															x1′′ = −x1′ + 3x2′ − 2x3′ ,
	x2′ = 6x1 + 7x2 + x3,														x2′′ = −4x1′ + x2′ + 2x3′ ,
	x3′ =9x1 + x2 +8x3.														x3′′ =3x1′ − 4x2′ + 5x3′.
			1 2 3							u	1 = e1 + 2e 2 + 3e 3,
7. A =			0 4					−1 ,	u		2			= 2e1 −3e 2 − e 3,
												3				2	3
												3				2	3
										u				=	e + 2e .
			2 0 3							u				=	e + 2e .

131

	2 − 2		3
8.	A = 1	1	1	.	9. 11x2 − 20xy − 4 y2 − 20x −8 y +1 = 0 .

		3
	1	3	−1

Вариант 2

	5x1 + 4x2 + 3x3 = 4,											1	−1 2				4
	5x1 + 4x2 + 3x3 = 4,
1.	6x + 5x			2		+ 2x	=3,			2. A = 4 0						4	9		.
		1		2		3						3		1		2	5
						+ 5x3 = 6.						3		1		2	5
	9x1 +8x2					+ 5x3 = 6.								3		− 2
												1		3		− 2	−3
	7x1 + 2x2 − x3 − 2x4 + 2x5 = 0,											x − x				+ 2x	+ 2x			= 2,
	7x1 + 2x2 − x3 − 2x4 + 2x5 = 0,											1		2		3		4
3.		x1	−3x2			+ x3 − x4 − x5 = 0,				4.		3x1 − 2x2 − x3 − x4 = −1,
3.		x1	−3x2			+ x3 − x4 − x5 = 0,				4.
		2x	+ 5x		2	+ 2x	+ x	4	+ x = 0.		5x1 −3x2					− 4x3	− 2x4 = −4,
		1			2	3		4	5		7x − 4x				2	− 7x	−5x		4	= −7.
												1			2	3			4

5. А – проектирование на плоскость y = x

3 .

6. x1′ = x1 − x2 − x3,

x1′′ =9x1′ + 3x2′ + 5x3′ ,

x2′ = −x1 + 4x2 + 7x3,

x2′′ = 2x1′

+ 3x3′ ,

x3′ =8x1 + x2 − x3.

1 =

x3′′ =

e 3,

x2′ − x3′.

1 −1 2

7. A =

3 ,

2 =

e 2 + e 3,

= e

+ e

1 1 1

9. 5x2 − 2xy + 5y2 + 2x + 2 y + 5 = 0 .

8. A =

1 5 1 .

Вариант 3

+ x

+ 2x

=3,

1 3 5

− 2

2x1 + 5x2 + 4x3 =1,

2. A = 3

−1 2 3 .

x1 +8x2 + 3x3 = 4.

−1 2

2 1 2

x1 + x2 +10x3 + x4 − x5

= 0,

2x + 7x

+ 3x + x

= 6,

5x1 − x2

+8x3 − 2x4 + 2x5 = 0,

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4,

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2,

3x1 −3x2

−12x3 − 4x4 + 4x5 = 0.

x − 2x

− x

+ x

= −2.

132

5. А – проектирование на плоскость x − y = 0 .

6.x1′ = 7x1

	x2′ =			4x2
	x3′ =3x1 + x2.
		1	1	1
7.	A =		1
7.	A =	0	1	2 ,
			0
		0	0	3
		2	1	1
8.	A =	1	2	1 .

			0
		0	0	1

+ 4x3,	x1′′ =	x2′ − 6x3′ ,
−9x3,	x2′′ =3x1′	+ 7x3′ ,
	x3′′ = x1′ + x2′ − x3′.

u1 = 2e1 + 3e 2 , u 2 = − e1 + e 2 ,

u 3 =3e1 − 2e 2 + e 3.

9. 4x2 − 4xy + y2 − 2 5x + 3 5y + 12920 = 0 .

			Вариант 4
	x1 + x2 + 3x3 = 2,				4	9	0	7	2
						1	6	0	3
1.		+ 6x3 =5,	2. A =	−1
	4x1 + x2				0	−1	2	1		.
		+ 2x3 =3.							−3
	8x1 + 3x2				4	−3	−1	9	6

6x1 −9x2 + 21x3 −3x4 −12x5 = 0,

3.− 4x1 + 6x2 −14x3 + 2x4 +8x5 = 0,−3x + − x = 0.

2 4 − 4x57x32x1

	9x			−3x			2		+ 5x			+ 6x			4			= 4,
		1					2			3					4
4.	6x1 − 2x2 + 3x3 + 4x4 =5,
4.		3x		− x		2			+ 3x			+ x	4		= −8,
			1			2				3			4
	3x			− x	2			+ 2x			+ 2x			4		= −1.
		1			2				3					4
5. А – проектирование на плоскость y + z = 0 .
6. x1′ =									2x2 ,											x1′′ = −3x1′		+ x3′ ,
	x2′ = −2x1 + 3x2 + 2x3,																			x2′′ =		2x2′ + 3x3′ ,
	x3′ = 4x1 − x2 + 5x3.																			x3′′ =		− x2′ + 3x3′.
			1 1 −1											u1 = 2e1 + 5e 2 + 6e 3,
7. A =			2 0 3							,					u		2 = e1 + 2e 2 + 5e 3,
																		3	1	2	3


															u = e + 3e + 2e .
			0 0 4												u = e + 3e + 2e .

133

4	−1	− 2
8. A = 2 1		− 2 .	9. x2 − 4xy + y2 −10x − 6 y + 25 = 0 .

	−1	1
1	−1	1

			Вариант 5
		x1 + x2 + x3 =3,			−1	−3 − 2		1	−3
					4	1	2	4	−1
1.		2x1 + 5x2 + 3x3 =1,	2.	A =						.
						9	−1	− 2 6
				− 6
	3x1 + 2x2 + 2x3 =8.				4	6	1	12
									−3

2x1 − x2 + 2x3 − x4 + x5 = 0,

3.x1 +10x2 −3x3 − 2x4 − x5 = 0,4x1 +19x2 − 4x3 −5x4 − x5 = 0.

	3x		+ 2x			2		+ 2x	+ 2x		4	= 2,
		1				2		3			4
4.		2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 =3,
4.		9x		+ x	2			+ 4x	−5x	4		=1,
		1			2			3		4
	2x		+ 2x				2	+ 3x	+ 4x		4	=5.
		1					2	3			4

5. А – проектирование на плоскость x + y = 0 .
6. x1′ =3x1 − x2 + 5x3,																			x1′′ = 4x1′ + 3x2′ + x3′ ,
		x2′ = x1 + 2x2 + 4x3,																	x2′′ =3x1′ + x2′ + 2x3′ ,
	x3′ =3x1 + 2x2 − x3.																		x3′′ = x1′ − 2x2′ + x3′.
			1 2					3					u	1 =					e 2 ,
7. A =			0 1					− 2 ,				u		2 = e1 + e 2 ,
															3			1		2		3
													u		3	= e		1	+ e	2	+ e	3	.
			0 0					5					u			= e			+ e		+ e		.
				1			− 4		−8
8. A =			− 4 7 − 4 .																9. 5x2 + 4xy +8y2 − 6x +8 y −9 = 0 .

				−8			− 4
				−8			− 4		1
																		Вариант 6
	x1 + 2x2 + x3 = 2,																						1	2	−3	− 4
	x1 + 2x2 + x3 = 2,
1.	3x			+ 3x	2			+ 2x		= 6,													2. A = 1	−3 2		3	.
		1			2			3															3	− 4	1	2
		2x1 − 4x2 + x3 =9.																					3	− 4	1	2
		2x1 − 4x2 + x3 =9.																						−1	−1
																							2	−1	−1	−1
	5x			− 2x	2			+ 3x	3	− 4x		4			− x			= 0,
		1			2				3			4				5
3.	x1 + 4x2 −3x3 + 2x4 −5x5 = 0,
		6x		+ 2x		2			− 2x		4	− 6x					= 0.
			1			2					4					5

134

		4x1 − 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7,
		2x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2,
4.		2x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2,
4.
	16x1 − 7x2 +16x3 +18x4 = 20,
		4x	− x	2	+ 2x + 2x	4	= 2.
		1		2	3	4

5. А – проектирование на плоскость y − z = 0 .
6. x1′ = 4x1 + 3x2 + 2x3,																										x1′′ = x1′ − 2x2′ − x3′ ,
		x2′ = −2x1 + x2 − x3,																								x2′′ =3x1′ + x2′ + x3′ ,
		x3′ =3x1 + x2 + x3.																								x3′′ = x1′ + 2x2′ + 2x3′.
			1 0 0														u		1 = 2e1 + e 2 − e 3,
7. A =			2 1 0 ,													u			2				=3e1			+ 4e 3,
																					3				1		3

																	u							= e		+ e		.
			3 2 1														u							= e		+ e		.
					2			1				1
8. A =			−1 2 2 .																				9. 5x2 + 4xy +8y2 −32x −56 y +80 = 0 .

					1			0
					1			0				0
																									Вариант 7
		x		+ 2x						+		4x		=1,														1	1	− 4	1
		x		+ 2x				2		+		4x		=1,														1 2		−3 5
1.		1						2					3															1 2		−3 5
1.		x1		+ 4x2 + 6x3 = 0,																								2. A =	− 2	4	.
				+8x2 + 4x3 = −2.																								3	− 2	4	4
	2x1			+8x2 + 4x3 = −2.																									3	− 7
																												2	3	− 7	6
		12x1 − x2 + 7x3 +11x4 − x5 = 0,
3.
3.	24x1 − 2x2 +14x3 + 22x4 − 2x5 = 0,
		x		+ x		2		+ x					− x		4	+ x								= 0.
		1				2					3				4							5
		5x			−3x			2			+ 2x			+ 4x						4				=3,
			1					2					3							4
4.		4x1 − x2 + 3x3 + 7x4 =1,
4.		8x			− 6x				2		− x			−5x				4				=9,
			1						2				3					4
	7x			−3x			2			+ 7x				+17x								4		= 0.
		1					2						3									4
5. А – проектирование на плоскость x − z = 0 .
6. x1′ = 4x1 + 3x2 +8x3,																										x1′′ = −x1′ +8x2′ − 2x3′ ,
		x2′ = 6x1 + 9x2 + x3,																								x2′′ = −4x1′ + 3x2′ + 2x3′ ,
	x3′ = 6x1 + x2 +8x3.																									x3′′ =3x1′ −8x2′ + 5x3′.

135

			1						0 2								u			1 = 2e1 + e2 − e 3,
7. A =				0					1		3 ,							u			2 =3e1						+ 4e 3,
																						3				1		3
																		u				3		= e		1	+ e	3	.
			− 2					−3 1										u						= e			+ e		.
				3				12			− 4
8. A =			−1 −3 1										.												9. 6xy −8y2 +12x − 26 y −11 = 0 .

								12				6
			−1					12				6
																								Вариант 8
	x		+		2x			+		2x		= 2,																			1	1			−1		1
	x		+		2x	2		+		2x		= 2,																			2	−1 3 − 4
1.		1				2				3																					2	−1 3 − 4
1.		2x1 + x2							+ 4x3 =1,																					2. A =		1			1		.
																															4	1			1		− 2
	3x1 + 4x2 + 6x3 = 4.																															2			0
																															5	2			0		−1
	x1 + 2x2							+ x3 + 4x4							+ x5 = 0,																2x	− x			+ 3x		+ 4x			=5,
	x1 + 2x2							+ x3 + 4x4							+ x5 = 0,																1			2		3		4
3.								+ 3x3 + x4 −5x5 = 0,																							4x1 − 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7,
3.	2x1 − x2							+ 3x3 + x4 −5x5 = 0,																						4.	6x1 −3x2 + 7x3 +8x4 =9,
	x		+		3x	2		− x			− 6x			4	− x								= 0.								6x1 −3x2 + 7x3 +8x4 =9,
		1				2				3				4						5										8x − 4x			2		+ 9x		+10x		4	=11.
																															1		2		3				4
5. А – проектирование на плоскость y 3 + z = 0 .
6. x1′ = x1 −3x2 + 4x3,																										x1′′ = 4x1′ + 5x2′ −3x3′ ,
	x2′ = 2x1 + x2 −5x3,																									x2′′ = x1′ − x2′ −3x3′ ,
	x3′ = −3x1 + 5x2 + x3.																									x3′′ = 7x1′ + 4x3′.
			1 2							3					u1 = 2e1 + e 2 + 3e 3,
7. A =			2 −					3		−1 ,						u			2 = e1								+ 2e 3,
																				3					1				3

										2						u								= e			+ e			.
			0 1							2						u								= e			+ e			.
			1		0				1
8. A =			0 1 0 .															9. 4x2 − 4xy + y2 − 2x −14 y + 7 = 0 .


			0		0 2
																								Вариант 9
		3x		+ 4x					+ x			=1,																			1	1			2	2
		3x		+ 4x			2		+ x			=1,																			2	3			5	3
1.		1					2			3																					2	3			5	3
1.		x1 + x2 + x3 = 2,																												2. A =		6			6	.
								+ 2x3 = 7.																							4	6			6	8
	2x1 − x2							+ 2x3 = 7.																								2			7
																															3	2			7	9

136


			2x			− x		2		+ 3x	− x	4		− x = 0,
				1				2		3		4		5
3.			x1 + 5x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0,
	x			+	16x		2		− 6x		+ 4x		4	+ 7x =	0.
		1					2			3			4	5

−

7x1 −5x2 − 2x3 − x4 =8, 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = −3, 2x1 − x2 − x3 − 2x4 =1,

− x1	+ x3 + 24x4 =1.

5. А – проектирование на плоскость x + z = 0 .

6. x1′ =3x1

+ 5x3,

x1′′ = 2x1′ − x2′ −5x3′ ,

x2′ = −x1 + x2 + x3,

x2′′ = 7x1′ + x2′ + 4x3′ ,

x3′ =

3x2 − 6x3.

x3′′ = 6x1′ + 4x2′ − 7x3′.

u1 =

e 2 + e 3,

A =

−1

− 2

−3 ,

u 2 = e1

+ e 3,

= e

+ e

− 4

−1

A =

−1 2 −1 .

9. 3x2 + 2xy + 3y2 + 6x − 2 y −5 = 0 .

−1

Вариант 10

− 4x

+ 3x =5,

2 −1 3 − 2 4

2x1 − 7x2 + 2x3 =3,

2. A = 4

− 2 5 1 7 .

3x1 −8x2 + 4x3 =9.

−1 1 8 2

8x1 + x2 + x3 − x4 + 2x5 = 0,

3.3x1 −3x2 − 2x3 + x4 −3x5 = 0,5x1 + 4x2 + 3x3 − 2x4 + 5x5 = 0.

x1 + 2x2 + 4x3 −3x4 =5,

−2x3 +24x3 −6x3 3x43x1 +4x1 +3x1 + 4x45x2 19x48x25x2 +−+ =8,= −1,= 29.

5. А – проектирование на плоскость y + z 3 = 0 .

6. x1′ = x1 + 2x2 + 2x3,			x1′′ =3x1′ + x2′ ,
x2′	= −3x2 + x3,		x2′′ = x1′ − 2x2′ − x3′ ,
x3′	= 2x1	+ 3x3.	x3′′ =	3x2′ + 2x3′.

137

	2		5 6		u1 =				2e 2 + e 3,
7.	A = 1		2 5 ,		u	2 = e1					+ e 3,
						3		1		2

					u		= e		+ e		.
	1		3 2		u		= e		+ e		.
		3	−1	2
8. A = −1 3 2 .									9. 5x2 + 6xy + 5y2 −16x −16 y +16 = 0 .

		2	2
		2	2	0

Вариант 11

		x	− 2x		+ x = 7,		1
		x	− 2x	2	+ x = 7,		2
1.		1		2	3	2.	2
1.		x1	−3x2		− x3 = 2,	2.	A =
			−9x2		− 6x3 =1.		5
	5x1		−9x2		− 6x3 =1.
							7

x1 + 3x2 − x3 +12x4 − x5 = 0,

3.2x1 − 2x2 + x3 −10x4 + x5 = 0,+ + 2x = 0.

4x23x1

		2x − 4x				2	+ 5x	+ 3x	4		= −3,
			1			2	3		4
4.		3x1 − 6x2 + 4x3 + 2x4 =1,
4.	4x		−8x	2		+17x		+11x		4	= −17,
		1		2			3			4
		x	− 2x		2	+13x		+ 9x	4		= −18.
		1			2		3		4

5. А – проектирование на плоскость x		3 + z = 0 .
6. x1′ = 2x1 + x2 ,	x1′′ = 2x1′	+ x3′ ,
x2′ =3x1 + 5x2 ,	x2′′ = x1′ − x2′ + 3x3′ ,
x3′ = x1 + x2 − x3.	x3′′ = −5x1′ + x2′ + x3′.

3	5	−1
−1	−3	4
			.
1	−1	7

7	9	1

1		2	2		u	1 = e1 + e 2 + e 3,
7. A = 2		1	− 2 ,		u		2 =	e 2 + e 3,
				3				2
				3				2
		− 2	1		u =			e .
2		− 2	1		u =			e .
	1	0	0
8. A = −1 1 2 .					9. 3x2 − 2xy + 3y2 − 4x +12 y +10 = 0 .

	3	0
	3	0	1

138

		Вариант 12
	x1 + x2 + x3 = 6,	3	−1	3	2	5
	x1 + x2 + x3 = 6,
1.	2x1 + x2 − x3 =1,	2. A = 5	−3	2	3	4	.
3x1 + 5x2 −3x3 = 4.			−3	−5 0
3x1 + 5x2 −3x3 = 4.		1	−3	−5 0		− 7
		7	−5	1	4	1

7x1 −14x2 + 3x3 − x4 + x5 = 0, 3. x1 − 2x2 + x3 −3x4 + 7x5 = 0,

5x1 −10x2 + x3 + 5x4 −13x5 = 0.

5. А – проектирование на плоскость

	5x1 −3x2 − 4x3 − 2x4 = −4,
4.		2x1 − x2 −3x3 −3x4 = −3,
		3x	− 2x	2	− x		− x		4	= −1,
		1				3
		4x −3x			2	+ x		+ x		4	=1.
			1			3

x 3 + y = 0 .

6. x1′ = x1		+ 2x3,							x1′′ = 2x2′ − x3′ ,
	x2′ = −x1 + x2 − x3,								x2′′ = x1′ + x2′ + 3x3′ ,
	x3′ = 2x1 − x2.								x3′′ = − x2′ + x3′ .
	0 1 1			u		1 = 4e1 + e 2 + 3e 3,
7. A = 1 0 0 ,				u	2 =3 e1				+ 2e 3,
					3			1		3
				u	3		= 2e	1	+ e	3	.
	1 1 0			u			= 2e		+ e		.
	10	−3	−9
8	. A = 18 7 18			.					9. x2 + 6xy + y2 + 4 2x +8 2 y −1 = 0 .

		− 6	17
	18	− 6	17

Вариант 13

x1 −3x2 +8x3 =5,

1.2x1 − 7x2 + 9x3 =1,3x1 − 6x2 + 7x3 = 4.

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 − x5 = 0,

3.2x1 − 2x2 −5x3 −3x4 + x5 = 0,3x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 − x5 = 0.

	3	4	−1	2

2. A = −1 0			7	1 .
	2	4	6
	2	4	6	3
	7	12	11	8

139

	2x1 − 2x2 − x3 + x4 =1,
4.	x1 + 2x2 + x3 − 2x4 =1,
4.	4x	−10x		2	−5x	+ 7x	4		=1,
	1			2	3		4
	2x −14x		2		− 7x	+11x		4	= −1.
	1		2		3			4

5. А – проектирование на плоскость x 3 − z = 0 .

6.	x1′ =			x3,
	x2′ = x1 − x2 ,
	x3′ =		x2.
		1	2	3
7.	A =	2 −3 −1 ,

			1	2
		0	1	2
		6	−5	−3
8. A =
8. A =		3	−5 − 2 .
			− 2	0
		2	− 2	0

x1 − 7x2 + 4x3 = 4,

1.2x1 − 6x2 + 3x3 = 6,4x1 −9x2 + 2x3 = 7.

x1′′ =3x1′ − x3′ ,

x2′′ =	2x2′ ,
x3′′ = x1′ + x2′ − x3′ .
u1 = e1	+ e 3,

u 2 = − e1 + 2e 2 , u 3 =3e1 + 4e 2.

9. 5x2 +12xy + 3 13x −36 = 0 .

Вариант 14

	4	1	2	5

2. A = −1 1			3	8	.
	2	0	1	3
	2	0	1	3
	5	2	6	16

		x		+ x			+ x	− x			− x				= 0,							x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0,
3.			1			2	3		4					5							4.		x1 − 2x2 −3x3 − 4x4 = 2,
3.	2x1 + x2 − 2x3 − x4 − 2x5 = 0,																				4.			2x2 + 3x3 + 4x4 = −1,
	x		+ 2x		2		+ 5x	− 2x			4		− x =				0.							2x2 + 3x3 + 4x4 = −1,
	1				2		3				4				5								x	+ 4x	2	+ 6x +8x	4	= −1.
																							1		2	3	4
5. А – проектирование на плоскость x − 3z = 0 .
6. x1′ = x1 + 2x2 ,																			x1′′ = − 4x2′ ,
	x2′ =			− x2 + x3,															x2′′ =					3x3′ ,
	x3′ =						− x3.												x3′′ = x1′ + x2′ − 2x3′ .
			1 1 1							u1 = 2e1 −3e 2 ,
7. A = 1 2 3 ,										u	2 = −e1 + e 2							,
												3				1		2		3
										u		3		=	3e	1	− 2e	2	+ e	3	.
			1 3 6							u				=	3e		− 2e		+ e		.

140

2		0	0
			− 2 2		9. x2 − 2xy + y2 + 4x − 4 y + 4 = 0 .
8. A = 0		1	− 2 2	.	9. x2 − 2xy + y2 + 4x − 4 y + 4 = 0 .
0	−	2	3
		2

												Вариант 15
	x1 + x2 + 2x3 =1,																	1		2		5	3
	x1 + x2 + 2x3 =1,																			3		−1	2
1.			+ 6x2 + 3x3 = 2,														−1			3		−1	2
1.	4x1		+ 6x2 + 3x3 = 2,												2. A =			1	12 13				13	.
			+ 4x2 +8x3 =3.															1	12 13				13
	8x1		+ 4x2 +8x3 =3.															1		7		9	8
																		1		7		9	8
	2x1 + x2 −3x3 + x4							− x5 = 0,									5x	+ 6x				− 2x	+ 4x				=5,
	2x1 + x2 −3x3 + x4							− x5 = 0,									1			2		3			4
3.			− x2 + 2x3 − x4					+ 2x5 = 0,									2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 2,
3.	3x1		− x2 + 2x3 − x4					+ 2x5 = 0,							4.		7x1 + 9x2					−3x3	+ 6x4 = 7,
	x − 2x			2	+ 5x	+ 2x	4	+ 3x			5	= 0.					7x1 + 9x2					−3x3	+ 6x4 = 7,
	1			2	3		4				5						5x	+	9x		2	−3x	+ 6x			4	=5.
																	1				2	3				4
5. А – проектирование на плоскость y 3 + z = 0 .
6. x1′ = x1 + x2 ,														x1′′ =		− x2′ + 2x3′ ,
	x2′ =			x2 − x3,										x2′′ = 2x1′ − x2′ ,
	x3′ = 2x1				−3x3.				u1 = e1,					x3′′ = 2x1′ − x2′ + x3′.
		1			0 2				u1 = e1,
7. A =			0		1	3 ,		u 2 = 2 e1 + e 2 ,
										3			1	2	3


								u =3e + 2e + e .
		− 2			−3 1			u =3e + 2e + e .
			2		2	− 2
8.	A =		2		5 − 4 .							9. 3x2 + 2 2xy + 4 y2 + 6x + 2 3y −1 = 0 .

					− 4
		− 2			− 4	5

141

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб58Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб71Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб111Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб21Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб31Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб24Шилкин Тесты.PDF