Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Сборник-АГ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

5.ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

5.1.Сфера. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.

Рисунки всех поверхностей второго порядка приведены в [1].

В декартовой системе координат XYZ уравнение сферы S(R; M 0 ) радиусом R c центром в точке M 0 = (x0 , y0 , z0 ) имеет вид

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 .	(5.1)
Каноническое уравнение сферы S(R;O) радиусом R с центром в точке
O = (0,0,0):
x2 + y2 + z 2 = R2 .	(5.2)
5.1. Составить уравнение сферы радиусом R = 3, касающейся плоскости
P : x + 2y + 2z +3 = 0 в точке M1 = (1,1,−3).
∆ Центры M 0′ и	M0″искомых сфер

nлежат на прямой L, перпендикулярной к плоскости Р и проходящей через точку

M1 (рис. 5.1). Параметрические уравнения этой прямой имеют вид

M0/ M1

M0//

L x =1 + t , y =1+ 2t , z = −3 + 2t (5.3)

(направляющий вектор a прямой L есть вектор нормали плоскости

P : a = n = (1,2,2) . По формуле рас-

стояния от точки до плоскости получаем:

Рис. 5.1


			3 = ρ = x + 2y + 2z +3 = 1+t + 2 + 4t −6 + 4t +3 ,
12 + 22 + 22					3
т.е.		t	=1 t = ±1. Отсюда, согласно (5.3), центрами сфер служат точки

M 0	′ = (2,3,−1) и M 0			″ = (0,−1,−5) . По формуле (5.1) записываем уравнения
искомых сфер: (x − 2)2 + ( y −3)2 + (z +1)2 = 9 и					x2 + ( y +1)2 +

+(z + 5)2 = 9 . ▲

5.2.Составить уравнение сферы S, проходящей через окружность С:

(x +1)2 + ( y −2)2 +(z −2)2 = 49,

2x + 2 y − z + 4 = 0

и точку A = (1,−2,0) .

∆	Окружность С задана пересечением сферы S						: (x +1)2 + ( y − 2)2 +
					+ (z − 2)2 = 49		1
					+ (z − 2)2 = 49		с центром в точке O и
							1
				радиусом 7 с плоскостью
	C				P : 2x + 2y − z + 4 = 0 (рис. 5.2). Прове-
O1	Q			ряем, что A C (рис. 5.2). Центр
		O		O = (x, y, z) лежит на перпендикуляре к
		O		O = (x, y, z) лежит на перпендикуляре к
	M			плоскости Р, проходящей через центр
S1				плоскости Р, проходящей через центр
S1				O1 = (−1,2,2) сферы S1. Параметриче-
			S	O1 = (−1,2,2) сферы S1. Параметриче-
			S	ские уравнения этого перпендикуляра
				ские уравнения этого перпендикуляра
				O1O с направляющим вектором
	Рис. 5.2				n	= (2,2,−1) имеют вид

x = −1 + 2t, y = 2 + 2t, z = 2 −t.			(5.4)
Пусть R – радиус искомой сферы S. Тогда с учетом (5.4) получим
R2 =	OA	2 = (2 − 2t)2 + (−4 − 2t)2 + (−2 +t)2 = 9t 2 + 4t + 24.	(5.5)

Найдем теперь центр расстояния O1Q от центра O1 сферы S, до плоскости P : O1Q = 4 / 3. Так как O1M = R1 = 7 , то из ∆O1QM находим радиус r ок-

ружности С : r 2 = R 2	−	O Q	2	= 49 −16 / 9 = 425 / 9 . Из ∆QMO находим,

1		1

что R2 = r 2 + OQ 2 = 425 / 9 + OQ 2 , где OQ - расстояние от точки О до плоскости Р. С учетом (5.4) это расстояние равно

2(2t −1) + 2(2t + 2) +t − 2 + 4

9t + 4

2 , будем

В таком случае, согласно (5.5) и равенству R2 = 425 / 9 +

иметь

(9t + 4)2

9t 2 + 4t + 24 =

425

t = −

Отсюда и из (5.4) получаем координаты центра О искомой сферы

S : x = −27 / 2 , y = −21/ 2 , z = 33 / 4 . По формуле (5.5) находим

R2 = 5609 /16 . Следовательно, S : (x + 27 / 2)2 + ( y + 21/ 2)2 +

+ (z −33/ 4)2 =

5609

▲

5.3. Через точки пересечения прямой L : x = −5 + 3t, y = −11 + 5t, z = 9 − 4t и сферы S : (x + 2)2 + ( y −1)2 + (z + 5)2 = 49 проведены касательные плоскости P1 и P2 к этой сфере. Составить их уравнения.

∆ Найдем точки А и В пересечения прямой L со сферой S (рис. 5.3). Из параметрических уравнений L и уравнения

сферы имеем (3t −3)2 + (5t −12)2 +

					+ (−4t +14)2 = 49 t = 2,		t	2	= 3.
				1				2	= 2
L	A	B		Отсюда и из уравнений прямой при t					= 2
L	O	B		получаем A = (1,−1,1) , а при t = 3 – имеем
	O			получаем A = (1,−1,1) , а при t = 3 – имеем
	P1		P2		B = (4,4,−3). Так как центр сферы

					O = (−2,1,−5), то OA = (3,−2,6)		и
					O = (−2,1,−5), то OA = (3,−2,6)		и
						= (6,3,2) - нормальные векторы каса-
					OB	= (6,3,2) - нормальные векторы каса-
				тельных плоскостей P1 и P2 , проходящих
				через А и В соответственно. Теперь уже не-
	Рис. 5.3			трудно составить уравнения этих плоско-
стей:
	P1 : 3(x −1) − 2( y +1) + 6(z −1) = 0 3x − 2y + 6z −11 = 0;
	P2 : 6(x −1) +3( y +1) + 2(z −1) = 0 6x +3y + 2z −5 = 0.						▲
	5.4. Составить уравнение сферы, точки A = (1,3,−4) и B = (3,−1,2) ко-

торой являются концами одного из диаметров сферы. 5.5. Найти координаты центра и радиус сферы: 1) x2 + y2 + z 2 − 4x − 4 y − 4z = 0;

2) 2x2 + 2 y2 + 2z 2 + 4x +8y +12z + 3 = 0.

5.6. Найти координаты центра и радиус окружности:

x2 + y2 + z2 −12x + 4 y + 24 = 0;2x + 2 y + z +1 = 0.

5.7. Сфера, центр которой лежит на плоскости 2x + 4y − z −7 = 0, касается плоскостей x + 2y − 2z − 2 = 0 и x + 2y − 2z + 4 = 0. Составить уравнение этой сферы.

5.8.Доказать, что плоскость 2x −6y +3z − 49 = 0 касается сферы

x2 + y2 + z 2 = 49 . Найти координаты точки касания.

5.9.Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере

x2 + y2 + z 2 −10x + 2 y + 26z −113 = 0 и параллельных прямым

x +5

y −1

z +13

x + 7

y +1

z −8

−3

− 2

5.10.Составить параметрические уравнения диаметра сферы

x2 + y2 + z 2 − 2x − 6 y + z −11 = 0, перпендикулярного плоскости

5x − y + 2z −17 = 0.

5.11. Составить уравнение сферы с центром в точке M 0 = (4,5,−2), зная,

что шар x2 + y2 + z 2 − 4x −12 y +16 = 0 касается ее внутренней стороны.

В декартовой системе координат XYZ эллипсоид с полуосями а, b, си цен-

тром в точке M 0 = (x0 , y0 , z0 )

имеет уравнение

(x − x0 )2

( y − y0 )2

(z − z0 )2

=1.

(5.6)

Каноническое уравнение эллипсоида с полуосями а, b, с и центром в точ-

ке O = (0,0,0):

=1.

(5.7)

Уравнение касательной плоскости, проведенной к эллипсоиду (5.7), имеет

вид

x0 x

y0 y

z0 z

=1.

(5.8)

5.12. Установить, что плоскость x − 2 = 0 пересекает эллипсоид по эллипсу; найти его полуоси и вершины.

∆ Решив совместно уравнение плоскости и эллипсоида, получим

y2 / 9 + z 2 / 3 =1 - эллипс, лежащий в плоскости x = 2 с полуосями a = 3,

b= 3 и вершинами в точках (2,3,0), (2,−3,0), (2,0, 3) , (2,0,− 3) . ▲

5.13.Найти проекцию сечения эллипсоида x2 /12 + y2 / 4 + z 2 / 3 =1 плоскостью 2x −3y + 4z −11 = 0 на плоскость XY.

∆ Для нахождения искомой проекции исключим переменную z из систе-

мы

x2 /12 + y2 / 4 + z2 / 3 =1,	x2 + 3y2 + 4z2 =12,
2x −3y + 4z −11 = 0.	z = (11 −
		2x + 3y) / 4.

8x2 + 21y2 −12xy − 44x + 66 y + 73 = 0 . ▲

5.14. Доказать, что эллипсоид x2 / 81 + y2 / 36 + z 2 / 9 =1 имеет одну общую точку с плоскостью P : 4x −3y +12z −54 = 0, и найти ее координа-

ты.

∆ Покажем, что плоскость Р является касательной к данному эллипсоиду. Согласно (5.8), уравнение касательной плоскости имеет вид x0 x / 81 +

+ y0 y / 36 + z0 z / 9 =1. Уравнение плоскости Р приведем к виду 272 x −

−181 y + 92 z =1. Если плоскость Р касается эллипсоида, то должны иметь ме-

сто равенства

	x0	=	2	,	y0	= −		1	,	z0	=	2	x0	= 6 ,	y0 = z0 = 2 .
81			27		36		18			9		9

Итак, в точке					(6,−2,2) плоскость Р касается данного эллипсоида. ▲

5.15. Найти центр и полуоси эллипсоида:

а) 4x2 + 9 y2 + 36z 2 +8x + 36 y − 72z + 40 = 0; б) 3x2 + 4 y2 + 6z 2 − 6x +16 y −36z + 49 = 0.

5.16.Найти точку пересечения эллипсоида x2 / 81 + y2 / 36 + z 2 / 9 =1 и прямой x 3−3 = y−−64 = z +4 2 .

5.17.Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат и который проходит через:

а)	эллипс x2 / 8 + y2 =1 и точку M = (2,0,1);
б)	эллипс y2 / 25 + z 2 / 2 =1 и окружность x2 + y2 = 25.

5.18. Составить уравнения касательных плоскостей к эллипсоиду

4x2 +16 y2 +8z 2 =1 параллельно плоскости x − 2y + 2z +17 = 0 и найти расстояние ρ между указанными плоскостями.

5.19. Составить уравнение поверхности, сумма расстояний от каждой точки которой до точек F1 = (0,0,−4), F21 = (0,0,4) равна 10.

Каноническое уравнение эллиптического параболоида:

x2	+	y2	= 2 pz, p > 0.
a2		b2

При a = b параболоид (5.9) называется параболоидом вращения. Каноническое уравнение гиперболического параболоида:

x2	−	y2	= 2 pz, p > 0 .
a2		b2

В (5.9) и (5.10) осью симметрии параболоидов является ось Z. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида –

x2	+	y2	−	z2	=1;
a2		b2		c2

двухполостного гиперболоида –

(5.9)

(5.10)

(5.11)

x2	+	y2	−	z2	= −1.	(5.12)
a2		b2		c2

Осью симметрии гиперболоидов (5.11) и (5.12) является ось Z.

5.20. Показать, что плоскость y = −6 пересекает гиперболический пара-

болоид x2 / 5 − y2 / 4 = 6z по параболе. Найти ее параметр, вершину и ось

симметрии.

∆ При y = −6 из уравнения параболоида получаем:

x2	= 6z + 9 x2 = 30(z +	3	)
5		2

- парабола с параметром p =15, вершиной в точке A = (0,−6,−3/ 2) и осью

симметрии z = −3 / 2 . ▲

5.21. Определить тип поверхности и найти ось ее симметрии: x2 + z 2 + 2 y =1.

∆ Преобразуем уравнение поверхности к виду x2 + z2 = −2( y − 12) - эл-

липтический параболоид с осью симметрии y =1/ 2, вершина которого находится в точке A = (0,1/ 2,0) и «чаша» которого развернута в отрицательном направлении оси Y ( p = −1 < 0) . ▲

5.22. Найти уравнения проекций на координатные плоскости сечения параболоида y2 + z 2 = x плоскостью x + 2y − z = 0.

∆ Для получения уравнения проекции сечения на плоскость XY исключим из уравнений параболоида и плоскости переменную z:

y2 + z2 = x x2 + 5y2 + 4xy − x = 0, z = 0

. z = x + 2 y

Аналогично, исключив из этих уравнений переменную y (переменную х), получим уравнение проекции сечения на плоскость XZ (на плоскость YZ):

x2 − 2xz + 5z2 − 4x = 0 , y = 0 и y2 + z 2 + 2 y − z = 0, x = 0, соот-

ветственно. ▲

5.23. При каких m плоскость P : x + mz =1 пересекает двуполостный ги-

перболоид y2 + x2 − z 2 = −1: а) по эллипсу; б) по гиперболе.

∆ Спроектируем сечение гиперболоида плоскостью Р на плоскость Y (см. задачу 5.20), получим кривую y2 + (m2 −1)z 2 − 2mz + 2 = 0. В уравнении этой кривой выделим полный квадрат

y2 + (m2 −1) z

−

− 2.

(5.13)

−1

m2 −1

Если в (5.13) m2 /(m2 −1) > 2,

m2 −1 > 0 1 < m <

2 , то (5.13) является

уравнением эллипса

(z − m /(m2 −1))2

(2 − m2 ) /(m2 −

1) (2 − m2 ) /(m2 −1)2

с полуосями

a = 2 − m2

b =

2 − m2

и центром O = (0,0m /(m2 −1)). При

m2 −1

m2 −1 < 0,

(5.14)

или

m2 /(m2 −1) − 2 > 0

m2 /(m2 −1) − 2 < 0

равенство (5.13) является уравнением гиперболы. Нетрудно получить, что первая система неравенств из (5.14) несовместна, а вторая система выполняется

при m <1.

Итак, при 1 < m < 2 плоскость Р пересекает гиперболоид по эллипсу, а при m <1 - по гиперболе. ▲

5.24. Написать уравнение параболоида, вершина которого находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью Y и который содержит точки

A1 = (1,−2,1) , A1 = (−3,−3,2).

∆ Так как Y - ось симметрии параболоида, то его каноническое уравнение имеет вид x2 / a2 + z 2 / b2 = 2 py , где a,b, p - неизвестные параметры, причем p ≠ 0. Отсюда


									x2			z2
										+			= 2 y .					(5.15)
										+			= 2 y .					(5.15)
									a2 p			b2 p
Так как A1 и A2 - точки параболоида, то из (5.15) получаем систему
		1				1
				+				= −4
		2		+		2		= −4						1			1
	a p b p										a2 p =			1	,	b2 p = −	1	.
	a p b p
		9				4								2			6
		9				4								2			6
				+				= −6
	a	2	p	+	b	2	p	= −6
	a		p		b		p

Отсюда и из (5.15) получаем уравнение искомого параболоида: x2 −3z 2 = y . ▲

5.25. Составить уравнение плоскости P n = (2,−1,−2) и касающейся

параболоида x2 / 3 + y2 / 4 = 2z . Найти точку касания. 5.26. Определить тип поверхности:

а) 2x2 + y2 − z 2 +16x − 2 y + 4z +17 = 0; б) x2 + 2 y2 − 4z 2 − 6x + 4 y + 32z − 49 = 0 ; в) x2 + 2 y2 + 6x −18 y +8z + 49 = 0;

г) 2x2 −3y2 +12x +12 y −12z − 42 = 0 .

5.27. Определить тип поверхности при всевозможных значениях λ :

а) λx2 + y2 + z 2 = λ; б) x2 + λ( y2 + z 2 ) =1.

5.28. Установить, какая линия является сечением гиперболического параболоида x2 / 2 − z 2 / 3 = y плоскостью 3x −3y + 4z + 2 = 0 и найти ее центр

5.29.Доказать, что эллиптический параболоид x2 / 9 + z 2 / 4 = 2 y имеет одну общую точку с плоскостью 2x − 2y − z −10 = 0 и найти ее координаты.

5.30.Найти точки пересечения поверхности S и прямой L:

а) S : x2 /16 + y2 / 9 − z 2 / 4 =1; L : x / 4 = y /(−3) = (z + 2) / 4.

б) S : x2 / 5 + y2 / 3 = z ; L : (x +1) / 2 = ( y − 2) /(−1) = (z +3) /(−2) .

5.31. Установить, при каких m плоскость x + my − 2 = 0 пересекает поверхность x2 / 2 + z 2 / 3 = y : а) по эллипсу; б) по параболе.

5.2. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Поверхности вращения.

В декартовой системе координат XYZ уравнения а) F1(x, y) = 0;

б) F2 (x, z) = 0; в) F3 ( y, z) = 0 определяют цилиндрическую поверхность с образующими параллельными а) оси Z ; б) оси Y; в) оси Х (рис. 5.4).

Кривые F1(x, y) = 0, F2 (x, z) = 0, F3 ( y, z) = 0 называются направляющими цилиндрических поверхностей.

Эллиптическим, гиперболическим и параболическим цилиндрами называются поверхности, заданные соответственно уравнениями

x2	+	y2	=1,	x2	−	y2	=1;	y2 = 2 px .
a2		b2		a2		b2

Z Z

F3(x,y)=0

		Y	F2(x,y)=0		Y
		Y	0	Y	Y
	0		0	Y	0
	0				0
X		F1(x,y)=0			X

Рис. 5.4

В плоскости XY их направляющими являются эллипс, гипербола и парабола соответственно. При a = b цилиндр x2 + y2 = a2 называется круговым.

Пусть направляющая цилиндрической поверхности задана пересечением

двух поверхностей
F1(x, y, z) = 0 , F2 (x, y, z) = 0,	(5.16)

а образующие ее – параллельны вектору a = (m, n, p) . Для составления урав-

нения такой цилиндрической поверхности нужно исключить переменные x, y, z из уравнений ее образующей (X − x) / m = (Y − y) / n = (Z − z) / p,

проходящей через точку (X,Y,Z) и уравнений (5.16). Здесь X,Y,Z – текущие координаты цилиндрической поверхности.

5.32. Какая поверхность определяется уравнением

9x2 +18 y − 4 y2 +16 y −153 = 0?

∆ Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная z, то это – ци-

линдрическая поверхность с образующими, параллельными оси Z. Выделив в уравнении полные квадраты, получим

9(x +1)2 − 4( y − 2)2 =144 (x 16+1)2 − ( y −362)2 =1

- гиперболический цилиндр, ось симметрии которого проходит через точку (−1,2,0) параллельно оси Z. ▲

5.33. Составить уравнение цилиндра, направляющая которого есть линия пересечения гиперболоида x2 − y2 = z и плоскости x + y + z = 0, а обра-

зующие перпендикулярны к плоскости направляющей.

∆ Вектором, параллельным образующим цилиндра, служит нормальный вектор n = (1,1,1) плоскости x + y + z = 0. Запишем уравнение образующих,

проходящих через точку M = (x, y, z) цилиндра параллельно вектору n в па-

раметрическом виде: X = x + t , Y = y +t ,		Z = z + t . Исключим теперь
x, y, z,t из системы
z = x2 − y2 ,	Z −t = ( X −t)2 − (Y −t)2 ,
x + y + z = 0,			X +Y + Z
x + y + z = 0,			X +Y + Z
	t	=
	t	=	3
x = X −t, y = Y −t, z = Z −t			3

X 2 −Y 2 − 2XZ + 2YZ + X +Y − 2Z = 0

или в обычных обозначениях переменных

x2 − y2 − 2xz + 2 yz + x + y − 2z = 0. ▲

5.34. Составить уравнение круглого цилиндра, проходящего через точку A = (2,−1,1), если его осью служит прямая L: x = 3t +1, y = −2t − 2,

z = t + 2.

∆ Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно прямой L с направляющим вектором пря-

мой a = (3,−2,1) (рис.5.5):

A		L 3(x − 2) − 2( y +1) + z −1 = 0
		L 3(x − 2) − 2( y +1) + z −1 = 0
	ā	3x − 2y + z −9 = 0. Находим точку О
0	ā
0
P		пересечения прямой L c плоскостью
		P : O = (1,−2,2) . Отсюда OA = 3 . Со-

ставим уравнение с центром и радиусом

Рис. 5.5

R = OA = 3 : (x −1)2 + ( y + 2)2 +(z − 2)2 = 3. Тогда направляющей искомого цилиндра служит окружность С:

(x −1)2 + ( y + 2)2 +(z − 2)2 = 3,

3x − 2 y + z −9 = 0.

Исключив теперь переменные x, y, z (см. задачу 5.34) из уравнений окружно-

сти С и уравнений образующих цилиндра X 3− x = Y−−2y = Z 1− z , получим уравнение цилиндра 5x2 +8y2 + 5z 2 + 4xy +8xz + 6x + 24 y −

−6z − 63 = 0. ▲

5.35.Определить вид поверхности:

а)	x2 + y2 − 4x + 6 y + 9 = 0; б) x2 − y2 + 4x −5 = 0;
в)	y −3x2 + 6x −1 = 0 .

5.36. Доказать, что линия пересечения двух параболических цилиндров y2 = x , z2 =1 − x лежит на круговом цилиндре. Каково его уравнение?

5.37. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору a = (2,−3,4) , а направляющая задана уравнениями x2 + y2 = 9,

z=1.

5.38. Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность

x2 + ( y + 2)2 + (z −1)2 = 25 , x2 + y2 + z 2 =16

а) на плоскость YZ; б) на плоскость XZ.

5.39. Составить уравнение поверхности, каждая точка которой одинакова удалена от прямой x = a , y = 0 и плоскости YZ.

5.40 . Составить уравнение цилиндра, образующие которого перпендикулярны к плоскости x + y − 2z −5 = 0 и цилиндр описан около сферы:

5x2 + 5y2 + 5z 2 − 2xy + 4xz + 4 yz − 6 = 0 .

5.41 . Составить уравнение цилиндра, описанного около двух сфер:

(x − 2)2 + ( y −1)2 + z 2 = 25 , x2 + y2 + z 2 = 25 .

Конической поверхностью с вершиной в точке M 0 и направляющей L

		называется поверхность, образованная прямыми,
		проходящими через M 0 и пересекающими L
L	M0	(рис. 5.6). В декартовой системе координат XYZ
	M	каноническое уравнение конуса второго порядка
	M	есть
		есть

Рис. 5.6

−

= 0 .

(5.17)

Пусть M 0 = (x0 , y0 , z0 ) - вершина кону-

са, а направляющая его задана пересечением двух

поверхностей (5.16).

Для составления уравнения такого конуса

нужно исключить переменные x, y, z из уравне-

X − x0

Y − y0

Z − z0

ний образующих

= =

x − x0

y − y0

z − z0

конуса и уравнений (5.16) его на точке конуса

N = ( x, y, z ) L .

Рис. 5.7

5.42. Составить уравнение кругового конуса с вершиной в начале координат, осью симметрии которого служит ось Z, если точка A = (3,−4,7) лежит на этом конусе.

∆ Согласно (5.17) канонический вид искомого кругового конуса S есть

x2 + y2

+ y

Так как A S , то 9 +16 =

49. Следовательно,

S : 49(x2 + y2 ) = 25z 2 .

▲

5.43. Составить уравнение конуса с вершиной в точке M 0 = (3,−1,2) , на-

правляющая L которого задана уравнениями x2 + y2 − z 2 =1, x − y + z = 0 .

∆ Запишем параметрические уравнения образующей конуса, проходящей

через M 0

и N = (x, y, z) L :

X = 3 + (x −3)t ,

Y = −1+ ( y +1)t ,

Z = 2 + (z − 2)t .

Исключим теперь x, y, z,t

из системы

2 + y2 − z2 =1,

x2 + y2 − z

2 =1,

x − y + z = 0,

X −3

x − y + z = 0,

+ 3,

X = 3 + (x −3)t,

Y = −1 + ( y

+1)t

y =

Y +1

−1,

Z = 2 + (z − 2)t

Z + 2

− 2

t =

− X +Y − Z

X −3

Y +1

+ 3

−1

−

− 2

+ 2

( X + 3Y −3Z )2 + ( X + 5Y + Z )2 − (−2X + 2Y + 4Z )2 = (6 − X +Y − Z )2 .

M 0 M1

Вернувшись к обычным обозначениям переменных x, y, z и произведя необхо-

димые преобразования, получим следующее уравнение конической поверхности:

5x2 + 29 y2 − 7z 2 + 38xy − 2xz − 22 yz +12x −12 y +12z −36 = 0. ▲

5.44. Прямая L :	x −2	=	y +1	=	z +1	является осью круглого конуса S с
			−2		−1
2

вершиной, лежащей в плоскости YZ. Составить уравнение конуса, если точка M1 = (1,1,−5 / 2) лежит на его поверхности.

∆ Пусть M 0 - вершина конуса. По условию она является точкой пересе-

чения оси конуса L c плоскостью YZ. Тогда ее координаты находятся из системы x = 0 (уравнение плоскости YZ),

x − 2

y +1

z +1

, т.е. M 0

= (0,1,0) .

ā=(2,-2,-1)

− 2

−1

Составим теперь уравнение образующей

ā1

M 0 M1 конуса (рис. 5.8):

Рис. 5.8

y −1

−5 / 2

−5

Направляющий вектор этой образующей a1 = (2,0,−5). Ясно, что направляющей конуса служит окружность С – линия пересечения сферы с центром в точке A = (2,−1,−1), касающейся образующей в некоторой точке M 2 , и плоскости, перпендикулярной к оси L и проходящей через точку M 2 .

Для отыскания координат точки M 2 проведем плоскость, перпендикуляр-

ную к M 0 M1 и проходящую через точку А. Ее уравнение
2(x −1) −5(z +1) = 0				2x −5z −9 = 0.
Пересечением этой плоскости с образующей M 0 M1 является точка
M 2 = (18 / 29,1,−45 / 29) .Отсюда радиус искомой сферы AM =					180 / 29 .
Следовательно, уравнение сферы с центром в точке Аесть
(x − 2)2 + ( y +1)2 + (z +1)2 =180 / 29 ,					(5.18)
а уравнение плоскости, проходящей через M 2 , перпендикулярной к L, -
2(x −	18	) − 2( y −1) −(z +	45	) = 0 58x −58y − 29z − 23 = 0.	(5.19)
			29
29

100

Составляем теперь параметрические уравнения образующей конуса, про-

ходящей через точки M 0 и M

= (x, y, z) C :

X = xt,

Y −1

Y =1 + ( y −1)t,

+1,

(5.20)

Z = zt

z =

Подставим (5.20) в (5.19), получим t =

(2X − 2Y − Z + 2)

. Отсюда и из

(5.20) находим

x =

81X

y =

81(Y −1)

+1,

z =

81Z

(5.21)

29a

где a = 2X − 2Y

− Z + 2.

После подстановки (5.21) в уравнение сферы (5.18) и перехода к обычным обозначениям переменных x, y, z получим следующее уравнение:

35x2 + 35 y2 −52z 2 − 232xy −116xz +116 yz + 232x −

−70y −116z +35 = 0. ▲

5.45. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющая которого дана уравнениями

x2 − 2z +1 = 0 , y − z +1 = 0.

5.46. Определить тип поверхности:

а) x2 + y2 − z 2 − 2x − 4 y + 2z + 4 = 0 ;

б) 9x2 − 36 y 2 + 4z 2 −18x +144 y − 8z −131 = 0 .

5.47 . Ось Y является осью круглого конуса с вершиной в начале коорди-

нат; его образующие наклонены под углом 60o к оси Y. Составить уравнение конуса.

5.48. Источник света, находящийся в точке M = (5,0,0) освещает сферу

x2 + y2 + z 2 = 9. Написать уравнение проектирующего конуса и найти форму

его тени на плоскости YZ.

Поверхностью вращения называется поверхность, полученная вращением кривой Г вокруг некоторой оси. В сечении поверхности вращения, перпендикулярном оси вращения, всегда получается окружность.

101

Если кривая Г задана уравнением F(x, z) = 0 в плоскости XZ, то уравне-

ние поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси Z, имеет вид

F(± x2 + y2 , z) = 0 ,

(5.22)

а вокруг оси Х- F(x,± y2 + z2 ) = 0 .

Если кривая Г , заданная уравнением F(x, y) = 0 , вращается вокруг оси Х (оси Y), то уравнение соответствующей поверхности вращения имеет вид

F(x,± y2 + z2 ) = 0 , (F(± x2 + y2 , y) = 0).

Если кривая Г , заданная уравнением F(x, y) = 0 , вращается вокруг оси Y

(оси Z), то уравнение соответствующей поверхности вращения определяется соотношением

F( y,± x2 + z2 ) = 0 , (F(± x2 + y2 , z) = 0).

5.49. Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы x2 / a2 − z 2 / c2 =1, y = 0, вокруг оси Z.

∆ Используя (5.22), заменим в уравнении данной гиперболы х на

x2 + y2 и получим (x2 +y2 )	2	− z2		2	=1. ▲
a	2		c	2
a			c

5.50.Составить уравнение поверхности, образованной вращением кривой z = x2 , y = 0 : а) вокруг оси Х; б) вокруг оси Z.

5.51.Показать, что поверхность x2 a2 − ( y2 +z2 ) b2 =1 есть поверхность

вращения с осью Х. Написать уравнение кривой в плоскости z = 0 , вращением которой получена эта поверхность.

102

ЛИ ТЕ Р А Т У Р А

1.Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика/ Основы аналитической геометрии и алгебры. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной/ – Мн.: Выш. шк., 1992. – 384 с.

2.Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.- М.: Наука, 1987. – 496 с.

3.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. – 240 с.

4.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. –

М.: Наука, 1970. – 336 с.

5.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. – М.: Высш.шк., 1997 – 304 с.

111

О Т В Е Т Ы

↑↑

; 2)

↑↓

;

↑↑

=1;

;

1.8.

5)(

) <π / 2;

↑↑

≠

; 7)

. 1.9.

. 1.12. 0.

1.13. γ =α − β . 1.14.

1 + λ + µ

. 1.15. 1)

= (−1,4,3) ; 2)

= (1,2,5) ;

λ(1 + µ)

);

= (2,−2,1) ;

= (5,−2,−1) . 1.16. 1)

,− 1

, 1

2)15;

);

3)3; (− 2

); 4) 29;

(− 4

,0,

,−2

,− 2

1.17. α = 2,

β = 3,

γ = 5 .

1.20. arccos

. 1.21. (

2,1,−1) .

1.22.(4,−3) .

1.23. Fx = 7,

= −1;

F = 5

2 .

1.31.

26,

17 и

41.

1.32. A = (8,3),

B = (−2,−1) .

1.33. M = (196 65 ,112 65).

1.34.

( x 1+x

2 +x 3, y1+y1+y3, z1 +z2 +z3 )

3 . 1.35. (8,2;6,2) .

1.36. x = 7,

y = 8 . 1.38. −125 253 ;

ϕ =180o − arccos(125 253),

a + b

= 20.

1.42.

( 14)(2a2 + 2b2 − c2 ) . 1.43. −17 2 . 1.44.

p =

13,

q = 2

13 ,

( p, q) =1,

ϕ = arccos( 126). 1.45. ϕ =180o −arccos(7 9) . 1.46. 0.

1.48.

λ .

1.49. 90o .

1.51. 7.

1.52. A = π / 2,

B = C =π / 4 .

1.53.

= (−4,−6,12). 1.54.

3 . 1.55. 1) (2

3 , 2 3 , 2 3 );

(−2,0,−2) .

1.56. (1, 12 , −12). 1.57. (2,−3,0). 1.58. (−7 3 )(2,2,1) . 1.59. (2,3,−2) .

1.60. b1 = (0,2,0), b2 = (85 , 6 5 ,0). 1.61.

1 = (

5 5 ,0, −2

5 5 ),

2 =

= (−

5 5 ,0, 2

5 5 ). 1.64. а) − 24;

б) −cos 2α ;

в) 6

−5

;

г) sin(α − β) ;

д) −b3 ; е) 0. 1.65. а) −12 ;

б) 48;

в) 24;

г) 2; д) −4

;

е)

(a2 −b2 )(3 −

2a) −1;

−

ж) 2 cos

sin α

; з) −(a2 −b2 ) ×

×(b +2a) . 1.66. а) x = 5, y = −4; б)

x = 4 a ,

y =1;

в)

x = m,

y = 2m − n . 1.67. а) x = 5,

y = 6, z =10 ; б) x = −1,

y = 0,

z =1;

в) x = y = z = 0; г) x = 2, y = −1, z = −3; д) x =1, y = −1, z = 2.

103

1.73. (10,2,14) . 1.75.

= (−1,−1,−1)

. 1.76. 5 . 1.77. 9 . 1.78. 1) − 2

;

2) (3 4 )

. 1.79. a = b = c =1; ϕ = π 2 . 1.80.

1.81. 248 / 273 . 1.82.

3 /11 . 1.83. (45,24,0) . 1.85. 1/ 2 .1.86.

(−7,14,−7) .

1.87.

или

. 1.94. Левая.

1.95. Нет. 1.98. Нет.

1.99. Да. 1.100. α =14 . 1.102.

= (12,−3,−4) .

[

] +

[

] +

[

]

1.103.

t ,

t R, t ≠ 0 .

(a, b, c)

2.9. x + y −10 = 0; 1/ 2 . 2.10. а) ϕ = 45o ; б) arctg(16 /11).

2.11. 7x + y +18 = 0. 2.12. (−2,−1) . 2.14. x − y + 2 = 0 . 2.15. 17 .

2.16. 3x + 2 y = 0, 2x −3y −13 = 0. 2.17. (2,1); (4,2); (−1,7); (1,8) .

2.18. (11,−11) . 2.19. 7x − 2 y −12 = 0, 5x + y − 28 = 0, 2x −3y −18 = 0 .

2.20. 4x + y −3 = 0. 2.21. P = (2,−1) . 2.22. 2x + y −16 = 0,

2x + y +14 = 0, x − 2 y −18 = 0 . 2.23. ( 2 +1)x + ( 2 −1) y −10 = 0 ,

( 2 −1)x + ( 2 +1) y +10 = 0 , x − y −10 = 0 . 2.24. 4x −3y +10 = 0,

7x + y − 20 = 0, 3x + 4 y −5 = 0 . 2.25. x −3y − 23 = 0, 7x + 9 y +19 = 0, 4x + 3y +13 = 0. 2.26. y = −3x, y = x / 3. 2.27. 29x − 2 y + 33 = 0.

2.28. 3x + 4 y −7 = 0, 4x +3y −7 = 0. 2.29. λ = −1/ 2 . 2.30. D = (6,3) .

2.31. ( AB) : 4x + 3y − 27 = 0; ( AC) : x = 3; (BC) : 7x −3y −39 = 0. 2.32. x − 2 y + 9 = 0, 2x + y − 2 = 0 или 2x − y + 6 = 0, x + 2 y −7 = 0 .

2.33. x − 2 y −1 = 0 . 2.34. 2x −11y +17 = 0

2x − y + 7 = 0, 2x −11y + 67 = 0 и 2x − y −3 = 0 . 2.35. 371113 .

2.36. 3a + 7b + 3 = 0. 2.37. h = 21/ 17 ; M = (1712 ,113 ); S =105 / 8 .

2.45. а) Нет; б) да. 2.46. 5 . 2.47. Да. 2.48. 4. 2.50. 3x − 4 y −5 = 0, 3x − 4 y − 25 = 0 .

104

2.51. 4x +3y −8 = 0, 4x + 3y +17 = 0, 3x − 4 y − 6 = 0, 3x − 4 y +19 = 0 или 4x + 3y −33 = 0, 4x + 3y −8 = 0, 3x − 4 y − 6 = 0 , 3x − 4 y +19 = 0 .

2.52.	3x − y + 2 = 0 . 2.53. Тупой. 2.54. x + y +5 = 0.
2.55.	8x + 4 y −5 = 0 . 2.56. x + y = 7 ± 5 2 (две прямые).

2.57.C1 = (−53 , 45 4) , C2 = (−15,5 / 4) , C3 = (−53 , −35 4) , C4 = (353 , 5 4) .

2.58.x + 2 y −5 = 0, x − 6 y +11 = 0. 2.59. 11 2723 . 2.60. x + 2 y − 23 = 0 , x + 2 y −3 = 0, 2x − y −6 = 0 , 2x − y +14 = 0.

3.7. x + 2 y + z −9 = 0 . 3.8. x − z + 2 = 0;

2 . 3.9. 2x − y − z −6 = 0.

3.10. x − y − z = 0. 3.11. a = 8,

b = −24 / 5,

c = 4 . 3.12. 4x − y −

− 2z −9 = 0 . 3.13. а) 60o ; б) arccos(2 /15). 3.14 A′ = (9 7 , −137 ,17 7 ).

3.15. 6x + y = 0 . 3.16. 5x +3z = 0. 3.17. y − z + 3 = 0.

3.18. x − 2 y − 7 = 0 . 3.19. α = −12. 3.20. α = −8,

β = −3 / 2 .

3.21. arccos(4 /13) . 3.22. 7x + 4 y − z − 28 = 0 .

3.23. 10x ±

47 y + 7z −56 = 0. 3.24. 8. 3.25. 9x +9 y −14z − 41 = 0,

2x −3y − 2z +12 = 0 . 3.26. x ±

5 y ±

5 z ±

5 −1 = 0.

3.27. 3x − y = 0 ,

x +3y = 0. 3.28. 2x +5 y −7z −10 = 0 .

3.29. ρ = 3,5 .3.32. 6x +3y + 2z +11 = 0. 3.33.

− arccos( 1

) .

3.34. 3x − 6 y + 7z + 2 = 0, x + 4 y +3z + 4 = 0.

3.35.

3.36. Внутри острого угла. 3.37. 23x − y − 4z − 24 = 0. 3.38. (0,0,−2) ,

( 0 ,0 , − 82 13 ) . 3.39. (2,0,0) , (11 43 ,0 ,0 ) . 3.40. (0,−6,0) ,

( 0 ,1,0 ) .

3.41. (6,2,−1) . 3.48. 9 . 3.49. x =1 + 3t,

y = −2 + 12 t , z = 4t .

3.50. ϕ = arccos((3 2)

311). 3.51. ϕ =π

. 3.52.

−3

− arccos

− 2

y +5

1722

. 3.54. ( 2,−1,0) , ( 4 / 3,0 ,−1 / 3 ) , (0,2,−1). 3.56. Нет.

105

3.57. 7x − y +1 = 0, 5 x − z − 1 = 0							, 5 y − 7 z − 12	= 0 .
3.58. x = 5t + 4,				y = −11t − 7, z = −2 .			3.59. x = 6t + 2 ,	y = −t −1,
z = 7t −3. 3.60. 135o . 3.62. x = 3t − 4							, y = 2t −5, z = −t +3 .
3.63. x = 2t −1,				y = −3t + 2, z = 6t −3			. 3.64. x = t +1,	y = t, z = t + 2.
3.65. ρ = 7 . 3.66. δ = 7; x = 2t −3,							y = 3t +13, z = 6t + 7 . 3.67.
ρ = 25.
3.68.	x	=	y +8	=	z +9	. 3.75. n = −3. 3.77. m = −6,		C = 3 / 2 .
			7
8				1

3.78. (1,4,−7) . 3.79. (3,4,−3) . 3.80. 9x +11y + 5z −16 = 0 .
3.82.13x −14 y +11z +51 = 0 . 3.83. x = 8t −3,																		y = −3t −1,							z = −4t + 2.
3.84. 13. 3.85. x = −10t ,									y =13t +3.4,							z =19t +5.2.							3.86.		2	3	.
3.87. Нет. 3.88. (7,−7,0) . 3.89. (2,2,−2) .																										3
3.87. Нет. 3.88. (7,−7,0) . 3.89. (2,2,−2) .
														4
4.4. (x −1)2 + ( y +3)2 =16. 4.5. (x − 2)2 + ( y −1)2 = 25. 4.6. 2x −
−5y +19 = 0. 4.7. 7. 4.8. а) y − 7x = 0 и y = x ; б) 4x −3y − 25 = 0 и
3x + 4 y − 25 = 0. 4.9. 4x +3y −35 = 0 . 4.10. Из точки А нельзя про-
вести касательную; из точки											B :		x + 2 y = 9 ; из точки С:												x + 2 y = 9 и
2x − y = 8.				4.11. (x − 7				5	)2 + (y − 21					5	)2	= 5, (x −				3	5	)2 + (y − 9				5	)2 =1/ 5 .
								5						5							5					5
4.12. 10 . 4.13. x −5 = 0,									y − 2 = 0, 3x − 4 y + 5 = 0,														4x +3y − 20 = 0 .
4.20. 45	2	.	4.21. 3x2 + 2xy +3y2 − 4x − 4 y = 0 . 4.22. C = (−1,2), a = 5,
	2																								(x − 2)2
b = 4; ε =			0,6;				D : x = − 28				3	, D		2	:	x = 22		3	. 4.23. 1)						(x − 2)2			+
							1				3			2				3									25
+ ( y −1)2					=1;		2) (5x +14)2				576		+5( y − 2)2							=1 или (x + 22)2									+
	16										576						64										576
+ ( y − 2)2		320				=1; 3) 4 решения:							x2				+ ( y −1)2				9		=1; (x −12)2							+
		320													18						9						162
+ ( y − 7)2		81			=1; (x −3)2				9	+ ( y − 4)2							=1;(x + 3)2						81	+ ( y +8)2				=1.
		81							9						18								81				162

4.24.1) Вне эллипса; 2) принадлежит эллипсу; 3) внутри эллипса.

4.25.а) Прямая пересекает эллипс; б) проходит вне эллипса; в) ка-

сается эллипса. 4.26. 3x + 2 y ±10 = 0 . 4.27. M = (−3,2), ρ = 13 .

106

4.28. 2x + y ±5 = 0 и													2x − y ±5 = 0. 4.29. Половина эллипса
(x + 5)2					4		+ ( y −1)2						=1, расположенная вправо от прямой x +5 = 0 .
					4							9
4.30. (x −3)2									(4		3)	+ ( y − 53)2				(169)		=1.		4.31. 1)		x2		64				+ y2				=1;
									(4		3)					(169)								64							39
2)			x2	16	+ y2				9		=1; 3)			x2			+ y2	3	=1; 4) x2			36	+ y2						32		=1;
				16	+ y2				9					4			+ y2	3				36							32
5)			x2	16	+ y2						=1; 6)			x2			+ y2	21	=1; 7) x2							+ y2				( 14)		=1;
				16				12						28				21			(932)									( 14)
8)			x2	8	+ y2						=1; 9)		x2			+ y2		36	=1. 4.32.			1						2	+		1			2	=
				8				4						64				36					OA					2			OB			2
																							OA								OB
=		a2 + b2					;	max AB =						a2 +b2 ,				min AB =				2ab						. 4.33.						x2		+
=			a2b2				;	max AB =						a2 +b2 ,				min AB =										. 4.33.					(a / 3)2			+
			a2b2																		a2 + b2												(a / 3)2
+			y2			=		1.		4.34. Эллипс						x2		+ y2		b2	=1 или окружность
+	(b / 3)2					=		1.		4.34. Эллипс						x2		+ y2			=1 или окружность
	(b / 3)2																a2
x2 + y2 = a2 , если точка М совпадает с серединой отрезка [АВ].
4.35. Четыре прямые x ± y ± 2 3																		=1.		4.36. 1)		3 2 ±1 ;								2)		3 .
										+ 4 y2											+9 y2			34
4.37.				1) x2				25		+ 4 y2				=1 или 16x2							+9 y2	100			=1;
								25				25							225			100
2)			x2 + 4 y2 = 20 . 4.38. b2 + a2 m2 = n2 . 4.43.																			а) a = 4,									b = 3;
б)			F	= (0,−5),							F = (0,5) ;				в) ε = 5 / 4;					г) y = ±4x				3			;	д)			y = ±16 / 5.
			1								2													3
4.44.				(x +1) 2 − ( y −1) 2 = 2 ;( y +1)2 − (x −1)2 = 2 . 4.45. 7x2 −6xy −
− y2 + 26x −18 y =17 . 4.46. 1) Часть гиперболы x2																										9		− y2				=1, рас-
																										9					4
положенная в верхней полуплоскости; 2) ветвь гиперболы
x2			16 − y2				9		=1, расположенная в левой полуплоскости. 4.47. 1) При-

надлежит гиперболе; 2) внутри (правее) правой ветви; 3) между дву-

мя ветвями.	4.48. 1)	x2	− y2	=1; 2) x2	( 14)	− y2	3	=1;
		25	11		( 14)		3

107

3)	x2	− y2			=1 или		x2		− y2	7760	=1; 4)		x2	64)		− y2	( 14)	=1;
			( 15)				(4856)			7760			(9	64)			( 14)
5)	x2	25	− y2	24		=1; 6)	x2	− y2		=1; 7)		x2	− y2	3		=1;
		25		24			7		2			9		3
8)	x2 − y2			=1; 9) нет решений. 4.49. 1) 3								5 или		41	5	; 2)	3	или
			4												5		5

65 . 4.50. Два луча прямой x − 4 y = 0 , лежащие правее правой ветви

илевее левой ветви гиперболы. 4.51. 1) 2(x − 4)2 − 2( y + 2)2 =1;

2)	(x + 2)2	−( y −3)2			=1 или		(x +14)2			−( y −3)2		125		=1;
	4		5				a2b2	100
3)	(x + 2)2	− y2	=1	. 4.52. 1)				; 2)	ab	. 4.53. 3x − 4 y ±10 = 0 .
						a2 + b2
	2	2						2			− y2
4.54. 5x −3y −16 = 0, 13x + 5y + 48 = 0.								4.55. x2				4	=1.
										16

4.56. a

> b

4.57. 1) 4x −3y ±16 = 0 ; 2) x = ±5; 3) нет решений.

4.58. x2 − y2 = 8

или 9x2

128

− y2

=1. 4.62. 18,5 . 4.63. x2 + 4 y2 +

+ 4xy − 48x + 4 y + 76 = 0. 4.64. 1) (3 / 2,0),

x = −3 / 2 ; 2) (−3 / 4,0),

x = 3 / 4; 3) (0,1/ 4),

y = −1/ 4; 4) (0,−

3 / 4), y = 3 / 4 . 4.65. 1) Внут-

ри параболы; 2) вне параболы; 3) принадлежит параболе.

4.66. 1)

y2 = 5x ; 2)

y2 = 24x; 3) y2 = 9x . 4.67. Луч прямой y = −9 / 4 ,

лежащий внутри параболы. 4.68. 1) (15 2 ,5 3)и (15 2 ,−5

3); 2) (25 ,2)

и (25 ,−2);

3) (5 4 ,5

2 ) и

(5 4 ,−5

2);

4) (8,4 5), (8,−4

5),

,10

,−10

4.69. 1)

=12x − 48; 2)

=15 − 2x;

и 10


3)	x2 = 4 y ; 4) четыре параболы ± 6 y = x(x ± 6) . 470. p . 471. p = 2kb.
472. а) 2x − y + 2 = 0 ; б) x + 2 y +16 = 0 .		473. M = (9,−24), ρ =10.
474. 8y = x2 −6x + 25 . 475. 3x ± 2 y + 4		3 = 0. 476. 1) y = 2x2 +1/ 2;
2)	y2 = 4x. 4.77. 1) Точка лежит внутри параболы, решений нет;
2)	2x − y + 2 = 0 (точка лежит на параболе); 3) x − y + 4 = 0 и

4x − y +1 = 0; площадь треугольника равна 37,5. 4.78. Две касатель-

ные x ± 6 y +8 = 0. 4.82. 1) ρ = a ; 2) ρ = 2a cosϕ; 3) ρ2 − 2ρ0 ρ ×

108

×cos(ϕ −ϕ

) = a2 − ρ

2 .

4.83. 1) ρ = p

;

(1 −ε cosϕ)

ρ =

+ε cosϕ)

, где величина ρ = b2

называется параметром

эллипса. 4.84.

ρ2 = −b2

(1 −ε 2 cos2

ϕ)

. 4.85. Уравнения асимптот:

ρ = 2

sin(ϕ −π

ρ =

sin(ϕ

−3π

; уравнения директрис:

ρ = −

ρ = −3

2 p cosϕ

. 4.86. ρ =

4.87.

cosϕ

cos

sin 2 ϕ

1) ( p / 2,

π) - вершина параболы; 2) две точки: ( p,π / 2) и

( p,3π / 2) . 4.88. 1) x

+ y2

=1; 2)

y2 = 2x

;

3) x2

− y2

=1;

+ y2

169

=1.

5.4. (x − 2)2 + ( y −1)2 + (z +1)2 =14. 5.5. 1) M 0 = (2,2,2),

R = 2

3 ;

2) M 0 = (−1,−2,−3),

R =

. 5.6. O = (10

, −14

, 5

); R = 3.

5.7. (x +1)2 + ( y −3)2 + (z −3)2 =1.

5.8. (2,−6,3) . 5.9. 4x + 6 y + 5z −

−103 = 0,

4x + 6 y +5z + 205 = 0 . 5.10. x =1 + 5t,

y = 3 −t,

z = −1/ 2 + 2t . 5.11. (x − 4)2 + ( y −5)2 + (z + 2)2 = 25.

5.15. а) M 0 = (−1,−2,−1);

a = 3,

b = 2,

c =1; б) M 0 = (1,−2,3) ,

a = 2

2, b =

c = 2. 5.16. M1 = (3,4,−2);

M 2 = (6,−2,2) . 5.17. а)

+ y2 + z 2

=1;

+ y2

б)

+ z2

=1. 5.18. x − 2 y + 2z −1 = 0, x − 2 y + 2z +1 = 0;

ρ =

. 5.19. x2

+ y2

+ 2

=1. 5.25. (3,−2,2) . 5.26. а) Однопо-

лостный гиперболоид; б) двуполостный гиперболоид; в) эллиптический параболоид; г) гиперболический параболоид. 5.27. а) при λ > 0 - эллипсоид, при λ = 0 - прямая, при λ < 0 - двуполостный гиперболоид; б) при λ > 0 - эллипсоид, при λ = 0 - пара параллельных плос-

109

костей, при λ < 0 - двуполостный гиперболоид. 5.28. Гипербола;

M = (1,−1,−2) . 5.29. (9,5,−2) . 5.30. а) (4,−3,2) ; б) S ∩ L = 0/ .

5.31. а) m ≥ −1/ 4, m ≠ 0 ; б) m = 0 . 5.35. а) Круговой цилиндр

(x − 2)2 + ( y +3)2 = 4 ; б) гиперболический цилиндр (x + 2)2 + y2 = 9;

в) параболический цилиндр y + 2 = = 3(x −1)2 . 5.36. y2 + z2 =1. 5.37.

16x2 +16 y2 +13z2 −16xz + 24 yz +16x − 24 y − 26z −131 = 0 . 5.38. а) 2 y − z − 2 = 0; б) 4x2 + 5z2 + 4z − 60 = 0 . 5.39. (x − a)2 + + y2 = a2 . 5.40. 5x2 +5y2 + 2z2 − 2xy + 4xz + 4 yz −6 = 0 .

5.41. x2 + 4 y2 + 5z 2 − 4xy −125 = 0. 5.45. x2 + y2 = z 2 . 5.46. а) – б)

конус. 5.47. x2		+ z2 = 3y2 .		5.48. 9x2 −16 y2 −16z2 −90x + 225 = 0 ;
y2 + z2 ≤ (1514)2 . 5.50. а)				y2 + z2 = x2 ; б) z = x2 + y2 .
5.51. x2	− y2	b2	=1.
a2		b2

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF