4.КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

4.1.Окружность.

Вдекартовой системе координат XY окружность радиусом R с центром в точке M 0 = (a,b) описывается уравнением

в зависимости от того, определяется ли окружность уравнением (4.1) или (4.2).

4.1. Какие линии задаются уравнениями: а) x2 + y2 − 2x + 4 y = 4 ;

б) x2 + y2 − 2x + 4 y + 5 = 0; в) 3x2 + 3y2 + 6x −18 y + 35 = 0?

∆ Во всех трех уравнениях коэффициенты при квадратах координат равны между собой и отсутствует член с произведением координат. Поэтому данные уравнения представляют собой окружности, возможно, вырожденные.

а) Выделим в уравнении полные квадраты: x2 − 2x +1 −1 + y2 + 4 y +

+ 4 − 4 = 4 (x −1)2 + ( y + 2)2 = 9 - окружность радиусом R = 3 с центром в точке M 0 = (1,−2) .

б) Аналогично: x2 − 2x +1 −1 + y2 + 4 y − 4 + 5 = 0

(x −1)2 + ( y + 2)2 = 0 . Этому уравнению удовлетворяют координаты единственной точки M 0 = (1,−2) (“окружность” нулевого радиуса).

в) Имеем: 3(x2 + 2x +1 −1) + 3( y2 − 6 y + 9 −9) + 35 = 0

3(x +1)2 + 3( y −3)2 = −5. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна точка плоскости - (мнимая “окружность”). ▲

67

69

(x − 2)2 + ( y +1)2 = 94, (x − 4)2 + ( y −3)2 =1.

4.14 . Две окружности касаются друг друга внешним образом. Через точку их касания проведена прямая, пересекающая первую окружность еще в одной точке А, а вторую окружность еще в одной точке В. Доказать, что касательные к окружностям в точках А и В параллельны.

4.2. Эллипс

Y

При ε = 0 эллипс превращается в окружность. Для фокальных радиусов r1 и

70

Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные малой по-

Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса ( r1 или r2 ) к расстоянию от той же точки до соответствующей директрисы ( d1илиd2 ) равно

Касательная к эллипсу (4.8), проведенная в его точке M 0 = (x0 , y0 ) L , описывается уравнением

∆ Проведем следующее преобразования уравнения кривой:

25( y + 7)2 = −4 (x2 − 6x −16)

25( y + 7)2 + 4 (x2 − 6x + 9 − 25)= 0 .25( y + 7)2 + 4 (x −3)2 =100

( y + 7)2 + (x −3)2 =

4 25

1 - уравнение эллипса с центром в точке

O1 = (3,−7) , полуосями a = 5, b = 2 и осями симметрии x = 3, y = −7 (см. 4.12). Но поскольку y ≥ −7, то исходное уравнение определяет верхнюю половину эллипса (рис. 4.4). ▲

71

Рис. 4.4

4.16. Составить уравнение эллипса, фокусы которого принадлежат оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:

искомый эллипс. ▲ 4.17. Составить уравнение эллипса, вершина которого находится в начале

координат, ближайший к ней фокус – в точке F = (2,0), а одна из директрис эллипса пересекает его фокальную ось в точке N = (12,0) .

72

проходят через точки (2,2) и (4,1) на эллипсе. Согласно (4.13), их уравнения

Рис. 4.6

Уравнение касательной, проходящей через точку M1 эллипса, есть

x1x / a2 + y1 y / b2 =1.

Но этой касательной является прямая L1 с уравнением x − y +3 = 0 . По-

скольку оба эти уравнения описывают одну и ту же прямую, то отсюда получаем:

Рассуждая аналогично относительно прямой L2 , получаем соотношения

73

4.21.Составить уравнение эллипса, с фокусами F1 = (1,0) , F2 = (0,1) и большой осью, равной 2.

4.22.Доказать, что уравнение 16x2 + 25 y2 + 32x −100 y = 284 определяет эллипс. Найти его центр С, полуоси, эксцентриситет и уравнения дирек-

трис D1 и D2 .

4.23 . Составить уравнение эллипса, если:

1) точки F1 = (5,1) и F2 = (−1,1) являются фокусами, а прямая

x= 31/ 3 - одной из директрис;

2)точка F = (−6,2) является одним из фокусов, точка A = (2,2)- кон-

одного из фокусов и на расстоянии 6 от соответствующей директрисы.

4.24. Для эллипса 25x2 +144 y2 =1 определить, лежит ли точка А на

эллипсе, внутри или вне его:

1) A = (1,1/ 6) ; 2) A = (1/13,1/13); 3) A = (1 / 6,−1 / 24).

4.25. Определить, как расположена прямая относительно эллипса – пересекает, касается или проходит вне его, - если прямая и эллипс заданы уравнениями:

4.26. Составить уравнения касательных к эллипсу x2 /10 + y2 / 2,5 =1, параллельных прямой 3x + 2y + 7 = 0 .

74

4.27. На эллипсе x2 /18 + y2 / 8 =1 найти точку М, ближайшую к прямой 2x −3y + 25 = 0, и вычислить расстояние ρ от точки М до этой прямой.

4.28. Составить уравнения общих касательных к эллипсам x2 / 6 + y2 =1

и x2 / 4 + y2 / 9 =1.

Изобразить ее на чертеже.

4.30. Составить уравнение траектории точки M = (x, y) , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке A = (3,1) , чем к прямой

y+1 = 0.

4.31.В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

1)расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10;

2)хорда, соединяющая две вершины эллипса, имеет длину 5 и наклонена

кего большой оси под углом arcsin(35);

3)фокусами эллипса являются точки (±1,0) , а точка ( 3, 3 2 ) принад-

лежит эллипсу;

4)фокусами эллипса являются точки (±2,0) , а директрисами являются прямые x = ±18;

5)расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины, лежащей на оси Y, равно 8;

6)треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой оси правильный, а диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7;

7)отрезок оси Х между фокусом F1 и дальней вершиной А большой оси

делится вторым фокусом F2 пополам, а расстояние от F2 до прямой, проходящей через А и вершину малой оси, равно 1 17 ;

8)директрисами эллипса являются прямые x = ±4, а четырехугольник с вершинами в фокусах и концах малой оси – квадрат;

9)эксцентриситет эллипса ε = 7 4 , а четырехугольник, вершинами которого является вершины эллипса, описан около окружности радиусом 4,8.

4.32 . Пусть О – центр эллипса, а и b – его полуоси, а А и В – такие точки эллипса, что прямые ОА и ОВ взаимно перпендикулярны.

75

4.33 . В эллипс x2 a2 + y2 b2 =1 вписан треугольник A1MA2 , одна из

сторон которого совпадает с большой осью. Вершина М движется по эллипсу. Определить траекторию, которую при этом опишет центр тяжести треугольни-

ка A1MA2 .

4.34. Отрезок постоянной длины скользит концами по сторонам прямого угла. На отрезке взята произвольная точка М. Найти путь, который описывает точка М при этом скольжении.

щих угол 45o с его большой осью.

4.36. Дан эллипс x2 + 2 y2 =1. Найти расстояния:

1) от фокусов эллипса до касательной к нему в точке A = ( 13 , 2 3) ; 2) между касательными к эллипсу, параллельными прямой x + y =1.

4.37. Составить уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, если он:

1) содержит точку A = (−3,2) и касается прямой 4x −6y − 25 = 0 ; 2) касается прямых x + y −5 = 0 и x + 4y −10 = 0.

4.38. При каком условии прямая y = mx + n касается эллипса

x2 a2 + y2 b2 =1 ?

4.3.Гипербола.

Пусть в плоскости XY заданы две точки F1 = (−c,0) и F2 = (c,0), называемые фокусами гиперболы, расстояние между которыми F1F2 = 2c (меж-

фокусное расстояние). Гиперболой называется линия, все точки М которой удовлетворяют условию

F1M − F2 M = 2a ,

где 0 < a < c. Каноническое уравнение гиперболы, изображенной на рис. 4.7, есть

где b2 = c2 − a2 . Величина A1 A2 = 2a называется действительной осью гиперболы, 2b - мнимой осью гиперболы.

76

Таким образом, модуль разности фокальных радиусов любой точки гиперболы равен действительной оси 2а.

гиперболы.

Отношение расстояния любой точки гиперболы от фокуса к расстоянию той же точки от соответствующей директрисы равно эксцентриситету гиперболы:

Асимптоты гиперболы определяются равенствами

Эти асимптоты являются диагоналями прямоугольника, изображенного пунктиром на рис. 4.7.

Касательная к гиперболе 4.16, проведенная в ее точке M 0 = (x0 , y0 ) , описывается уравнением

действительной и мнимой осями, параллельными осям координат Х и Y , есть

Асимптоты гиперболы (4.22) определяются теперь равенствами

77

определяет гиперболу. Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптоты директрис.

∆ В уравнении (4.24) выделим полные квадраты:

Согласно (4.22) заключаем, что центр гиперболы (4.25) расположен в точке

4.40. Составить уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки F1 = (−3,−4) и F2 = (3,4), а расстояние между директрисами

равно 3,6.

∆ Согласно условию задачи, заключаем, что начало координат – центр гиперболы, межфокусное расстояние F1F2 = 2c =10 c = 5. Кроме того,

2 a / ε = 3,6 a2 / c =1,8 a2 = 9 a = 3.

Пусть M = (x, y) - произвольная точка гиперболы. Согласно определению гиперболы, имеем

После несложных алгебраических преобразований это выражение приводится к виду 7 y2 + 24xy −144 = 0 - искомое уравнение гиперболы. ▲

4.41. Составить уравнения касательных к гиперболе Г : x2 /16 −

−y2 / 64 =1, параллельных прямой L :10x −3y +9 = 0.

∆Согласно (4.21) уравнение касательной к данной гиперболе имеет вид x0 x /16 − y0 y / 64 =1, где (x0 , y0 ) Г. В силу параллельности касательной

прямой L получаем равенство (x0 /16) :10 = (−y0 / 64) : (−3)

78

10x −3y +32 = 0 . ▲

4.42.На гиперболе Г : x2 / 24 − y2 /18− =1 найти точку M 0 = (x0 , y0 ) , ближайшую к прямой L : 3x + 2y +1 = 0 , и вычислить расстояние ρ от точки до прямой L .

∆ Нетрудно убедиться, что гипербола Г и прямая L не пересекаются (сис-