3.ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Сборник-АГ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

в общем случае выражается формулой

3.1.Различные виды уравнений плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Ортогональная составляющая вектора в плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 = (x0 , y0 , z0 ) пер-

пендикулярно нормальному вектору		= ( A, B, C) :
	n
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.			(3.1)
Общее уравнение плоскости:
Ax + By +Cz + D = 0,			(3.2)

где n = ( A, B, C) - нормальный вектор плоскости.

Если M1 = (a,0,0), M 2 = (0,b,0) , M 3 = (0,0, c) - три точки пересече-

ния плоскости Р с осями координат, то уравнение

(3.3)

называется уравнением плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 = (x0 , y0 , z0 ) парал-

= (ax , ay , az ) ,

= (bx ,by ,bz ):

лельно векторам

x − x0

y − y0

z − z0

= 0 .

(3.4)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

M1 = (x1, y1, z1),

M 2 = (x2 , y2 , z2 ), M 3 = (x3 , y3 , z3 ) :

x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0 .

(3.5)

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

Если плоскости

P1 и

P2 заданы общими уравнениями:

P1 : A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и

P2 : A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 , то угол ϕ

между ними определяется из соотношения

cosϕ =

, n

)

(3.6)

где

1 = (A , B ,C ) ,

2 = (A , B

) -

нормальные векторы этих плоско-

стей.

Условие параллельности плоскостей :

P // P

(3.7)

Если в общем уравнении (3.2) плоскости Р отсутствует свободный член D, то плоскость проходит через начало координат. Если в уравнении плоскости Р отсутствует член с одной из текущих координат, т.е. либо A = 0 , либо B = 0 , либо C = 0, то плоскость параллельна той оси координат, которая одноименна отсутствующей координате. Если при этом, кроме того, D = 0 , то плоскость содержит эту ось.

Если в общем уравнении плоскости Р отсутствуют два члена с текущими координатами, то она параллельна координатной плоскости, проходящей через оси, одноименные с отсутствующими в уравнении Р текущими координатами.

Уравнение

			x cosα + y cos β + z cosγ − ρ = 0			(3.8)
называется			нормальным	уравнением	плоскости	Р.	Здесь
		o = (cosα, cos β, cosγ ) - единичный вектор нормали, направленный от
	n
		Z		начала координат к плоскости Р (рис. 3.1);

α = (no ,^ X ), β = (no ,^ Y ) , γ = (no ,^Z) , cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1,

ρ = OM , M P . Для приведения

Y общего уравнения (3.2) плоскости Р к нормаль-

Oному виду (3.8) нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель

Рис. 3.1	µ = ±	1
		A2 + B2 + C 2 ,	(3.9)
при этом знак	µ выбирается противоположным знаку свободного члена D в
уравнении (3.2).
Если M = (x, y, z) - точка пространства R3 , то величина
δ = δ(M ; P) = x cosα + y cos β + z cosγ − ρ			(3.10)
называется отклонением точки		М от плоскости Р. При этом	δ > 0 , если на-

чало координат и точка М лежат по разные стороны от плоскости Р, и δ < 0 , если они лежат по одну сторону от Р.

Расстояние ρ = ρ(M 0 ; P) от точки M 0 = (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Р выражается формулой

ρ =	δ(M 0 ; P)	=	x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ − ρ			.	(3.11)

Если плоскость Р задана общим уравнением (3.2), то это расстояние
ρ = δ(M 0 ; P) =				Ax0	+ By0 +Cz0 + D		(3.12)
					.
					A2 + B2 +C 2

n a

ap b

Рис. 3.2

Ортогональной составляющей a p векто-

ра a в плоскости Р называется такой вектор a p , компланарный плоскости Р,

что b = a − a p P (рис 3.2). Ортого-

нальная составляющая определяется равенством

p =

−

(a, n)

(3.13)

где

= ( A, B,C) - нормальный вектор плоскости Р.

3.1. Основанием треугольной пирамиды SABC

с вершиной

S = (2,2,− 3) служит ∆ABC , где A = (0,0,0), B = (0,1,1) , C = (1,1,0). Най-

ти длину h высоты пирамиды.

∆ По формуле (3.5) составим уравнение плоскости Р, проходящей через три заданные точки А, В, С :

0 =			x − 0		y −0 z − 0						x	y z
			x − 0		y −0 z − 0						x	y z
			0 − 0		1 − 0		1 − 0		=		0	1	1	=
			1 − 0 1 − 0				0 − 0				1	1	0
= x	1		1	− y	0	1	+ z	0	1	= −x + y − z x − y + z = 0 .
= x	1		1	− y	0	1	+ z	0	1	= −x + y − z x − y + z = 0 .
	1	0			1	0		1	1

Длина высоты есть расстояние от точки S до плоскости Р. По формуле (3.12)


h =	− 2 + 2 +				3		=1.	▲
h =	(−1)	2	2	+ (−1)		2	=1.	▲
	(−1)		+1	+ (−1)

3.2. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через ось Х и точку

M 0 = (4,−1,2) .

∆ Так как плоскость Р содержит ось Х, то ее уравнение должно иметь вид

By +Cz = 0 . Поскольку M 0 P, то B(−1) +C 2 = 0 B = 2C , где
C ≠ 0 . Таким образом, P : 2Cy +Cz = 0 2y + z = 0 .	▲

3.3. Составить уравнение плоскости Р, параллельной вектору d = (2,1,−1) и отсекающей на осях Х и Y отрезки a = 3 и b = −2 соответст-

венно.

∆ Будем искать уравнение этой плоскости в отрезках:

=1 n =

,−

- нормальный вектор плоскости Р. Так как

− 2

P //

, то

(

) = 0 2

−1

= 0 c = 6

P : x

+ y

+ z

(−2)

=1 2x −3y + z −6 = 0.

▲

3.4.

Составить

уравнения

плоскостей,

параллельных

плоскости

P : 2x − 2y − z −3 = 0 и отстающих от нее на расстоянии ρ = 5.

∆ Пусть M = (x, y, z) - точка искомой плоскости. Согласно условию, по-

лучим, что отклонения точки М от плоскости Р равны

δ(M ; P) = ±5

2x − 2 y − z −3

= ±5

2x − 2y − z −18 = 0

2x − 2y − z +12 = 0 - уравнения искомых плоско-

стей.

▲

3.5.

Определить, лежат ли точки M = (2,−1,1) и

N = (1,2,−3) в одном, смеж-

ных

или

вертикальных

углах,

образованных

пересечением

плоскостей

P1 : 3x − y + 2z −3 = 0 и P2 : 2x − y +5z −1 = 0.

∆ Найдем отклонения точки М относи-

тельно плоскостей P1 и P2 :δ(M ; P1) =

= 6

> 0, δ(M ; P ) = 9

> 0. В

силу положительности этих отклонений

заключаем, что точка М лежит в про-

странстве “над” плоскостями P1 и P2 ,

т.е. в области, условно заштрихованной

Рис. 3.3

вертикальными линиями (рис. 3.3).

Находим теперь отклонения

точки

относительно этих

плоскостей:

δ(N; P ) = −8

< 0,

δ(N; P ) = −16

< 0. Так как эти отклонения от-

рицательны, заключаем, что точка N лежит в области, условно заштрихованной горизонтальными линиями (рис. 3.3). Таким образом, приходим к выводу, что точки M и N расположены в вертикальных двугранных углах. ▲

3.6. Найти составляющую скорости v = (−3,4,2) в плоскости

P : 2x − 2y + z −5 = 0.

∆ Речь идет об ортогональной составляющей

вектора

в плоскости

Р. Нормальный вектор

этой плоскости

= (2,−2,1)

= 3.

По

формуле

−

(

)

= (−3,4,2) −

(3.13) искомая составляющая

−

(−3) 2 + 4 (−2) + 2

(2,−2,1) = (−3,4,2) +

(2,−2,1) =

−

▲

3.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A = (2,3,1) ,

B = (3,1,4), C = (2,1,5) .

3.8. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку M 0 = (−1,2,1) перпендикулярно вектору n = (2,0,−2) , и найти расстояние от

начала координат до этой плоскости.

3.9. Точка M = (2,−1,−1) является основанием перпендикуляра, опущен-

ного из начала координат на плоскость. Составить уравнение плоскости.

3.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A = (2,−1,3) и B = (3,1,2) параллельно вектору a = (3,−1,4).

3.11. Какие отрезки отсекает плоскость 3x −5y + 6z − 24 = 0 на осях ко-

ординат?
3.12. Составить	уравнение плоскости, проходящей	через точки
M1 = (1,−1,−2) и	M 2 = (3,1,1) перпендикулярно	к плоскости
x − 2y +3z −5 = 0.

3.13. Определить двугранный угол ϕ между плоскостями P1 и P2 :

а) P1 : 4x + 2 y − 2z +5 = 0, P2 : −x + y + 2z −3 = 0; б) P1 : x + 2 y + 2z −3 = 0, P2 :16x +12 y −15z −1 = 0.

3.14. Положение зеркала определяется уравнением 2x −6y +3z −42 = 0. С какой точкой A′ должно совпадать зеркальное изображение точки

A= (3,−7,5)?

3.15.Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Z и точку

M 0 = (−1,6,3) .

3.16. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Y и точку

M 0 = (3,4,−5) .

	3.17.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через	точки
M1	= (3,−2,1) и M 2 = (2,1,4) параллельно оси Х.
	3.18.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через	точки
M1	= (7,0,3) и M 2 = (1,−3,2) параллельно оси Z.

3.19. При каком α плоскости 4x +αy −7z +3 = 0 и x − 2y + 4z −1 = 0

будут взаимно перпендикулярны?

β плоскости αx − 2y +3z −1 = 0 и

3.20.

При каких значениях α

4x + y + βz +8 = 0 будут параллельны?

3.21.

Найти угол

между

плоскостями, проходящими

через

точку

M 0 = (−5,16,12), одна из которых содержит ось Х, а другая - ось Y.

3.22.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

A = (7,−3,9)

перпендикулярно

плоскостям

3x −5y + z − 4 = 0 и

x − y +3z +11 = 0.

3.23.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки

M1 = (7,0,−2)

и M 2 = (0,0,8)

и отстоящей от начала координат на расстоя-

ние 4.

3.24.

Найти

объем

пирамиды,

ограниченной

плоскостью

2x −3y +6z −12 = 0 и координатными плоскостями.

3.25.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки

M1 = (−1,4,−1) и M 2 = (−13,2,−10) и отсекающей на осях Х и Y отличные

от нуля отрезки одинаковой длины.

3.26

Составить уравнение

плоскости, проходящей

через

точки

A = (1,0,−1),

B = (1,3,−4)

образующий

угол

π / 3

плоскостью

2x + y − z + 7 = 0.

3.27.

Через ось

Z провести

плоскость,

составляющую

с плоскостью

2x + y −

5z = 0 угол π / 3 .

3.28. Через середину отрезка АВ провести плоскость, отсекающую на оси Х

отрезок a = 5 и на оси Y отрезок b = 2 , если A = (7,5,1), B = (3,2,4).

3.29.

Найти

расстояние

между параллельными

плоскостями

2x −3y + 6z −14 = 0 и 4x −6y +12z + 21 = 0.

3.30 . Доказать, что расстояние между двумя параллельными плоскостя-

ми P1 : A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и P2 : A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 , A2 ≠ 0 ,

3.31.Доказать, что плоскость 3x − 4y − 2z +5 = 0 пересекает отрезок, ограниченный точками M1 = (3,−2,1) и M 2 = (−2,5,2) .

3.32.Составить уравнение множества точек, отклонение которых от плоскости 6x +3y + 2z −10 = 0 равно (-3).

3.33. Найти величину того из двугранных углов, образованных плоскостями 8x + 4y + z +1 = 0 и 2x − 2y + z +1 = 0 , в котором лежит точка

M 0 = (1,1,1).

3.34. Составить уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные пересекающимися плоскостями 2x − y +5z +3 = 0 и

2x −10y + 4z −2 = 0 .

3.35 . Вычислить длину h = SH высоты треугольной пирамиды SABC , у которой все углы при вершине S прямые, а длины боковых ребер SA = a,

SB = b, SC = c .

3.36.Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного плоскостями 5x − y + z +3 = 0 и 4x −3y + 2z +5 = 0.

3.37.Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный

угол между плоскостями 2x − y + 2z −3 = 0 и 3x + 2y −6z −1 = 0, в котором лежит точка M 0 = (1,2,−3) .

3.38. На оси Z найти точку, равноудаленную от точки M 0 = (1,−2,0) и от
плоскости 3x − 2y +6z −9 = 0 .
3.39. На оси Х найти		точку, равноудаленную от				двух	плоскостей
12x −16y +15z +1 = 0, 2x + 2y − z −1 = 0.
3.40. На оси	Y найти	точку, расстояние от которой до					плоскости
x +3y − z +8 = 0 равно расстоянию от точки A = (0, −19					3	,0)до этой плос-
кости.					3
кости.				= (8,−2,3)
3.41. Найти	проекцию	вектора	a	= (8,−2,3)		на	плоскость

x − 2y + 2z −5 = 0.

3.2. Прямая в пространстве. Канонические, параметрические и общие уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

O Y

M0 L

Рис. 3.4

Канонические уравнения прямой L в пространстве, проходящей через точку

M 0 = (x0 , y0 , z0 ) параллельно направляющему вектору a = (m, n, p) , имеют вид

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(3.14)
m		n
				p

Задание прямой L в каноническом виде (3.14) равносильно описанию прямой как линии пересечения плоскостей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости:

n(x − x0 ) = m( y − y0 ),
	(3.15)
p(x − x0 ) = m(z − z0 ),	(3.15)

p( y − y0 ) = n(z − z0 ).

Плоскости (3.15) проектируют прямую L на координатные плоскости XY, XZ и YZ соответственно. Соотношения (3.15) называются уравнениями прямой l в проекциях.

Прямая L в пространстве может быть задана в параметрическом виде

x = x0 + mt, y = y0 + nt, z = z0 + pt ,

(3.16)

где по-прежнему M 0 = (x0 , y0 , z0 ) L, a = (m, n, p) - направляющий вектор

L, t R - параметр. Соотношения (3.16) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Если

прямая

проходит через две точки

M1 = (x1, y1, z1),

M 2 = (x2 , y2 , z2 ), то ее канонические уравнения имеют вид

x − x1

y − y1

z − z1

(3.17)

− x

− y

− z

Соотношения (3.17) – уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Прямая в пространстве может быть задана пересечением двух плоскостей:

	A x + B y +C z + D				= 0,	(3.18)
	1	1	1	1		(3.18)
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0,

где n1 = (A1, B1,C1 ) , n2 = ( A2 , B2 ,C2 ) - нормальные векторы непараллельных плоскостей (3.18). Соотношения (3.18) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть даны две прямые

L :

x − x1

y − y1

z − z1

и L

x − x2

y − y2

z − z2

направляющими векторами

1 = (m , n , p ) и

2 = (m

, n

, p

) соответст-

венно. Тогда угол ϕ между этими прямыми определяется соотношением

(

2 )

cosϕ =

= cos(L ,^

)

(3.19)

L1 и

L2 :

Условия параллельности прямых

L // L

1 //

(3.20)

L1 и L2 :

Условия перпендикулярности прямых

L L

2 (

2 ) = 0

(3.21)

m1m2 + n1n2 + p1 p2 =

2x − y + 2z −3 = 0,

3.42.

Прямая L

задана

общими

уравнениями

x + 2y − z −1 = 0 . Написать для этой прямой канонические, параметрические

уравнения и уравнения в проекциях.

∆ За направляющий вектор прямой L

a n1

можно взять вектор a1 =[n1, n2 ], очевидно


параллельный				L	(рис.			3.5) . Так как
			1 = (2,−1,2) ,				2 = (1,2,−1),		то
	n					n
		= (3,4,5) .		Положив				в	системе
	a
	2x − y + 2z −3			= 0,
	x + 2 y − z −1 =1,				, например,

Рис. 3.5
z0 = −1, найдем, что x0 = 2 ,						y0 = −1, т.е. M 0 = (2,−1,−1) L.
Согласно (3.14),
	x − 2	=	y +1	=	z +1		-
	−3
		4				5
канонические уравнения прямой L. Приравняв эти отношения к
параметрическим		уравнениям прямой L: x = 2 −3t, y =1+ 4t,

t R .

(3.22)

t , придем к z = −1 + 5t ,

Равенства (3.22) эквивалентны системе трех уравнений

4x +3y −5 = 0,

5x +3z −7 = 0,5y − 4z +1 = 0,

описывающих три плоскости, проектирующие прямую L на координатные плоскости XY, XZ и YZ соответственно. Это и есть искомые уравнения прямой L в проекциях. ▲

3.43.

, проходящая через точку

M 0 = (1,2,3) и

Доказать, что прямая l

пересекающая

прямые

l :

x −1

y −1

z −1

−1

x − 2

y −8

z +3

L :

, образует с этими прямыми равные углы.

−9

M2 ˜l

∆ Пусть 1 = 1 1 1 = ∩ ~ ,

M (x , y , z ) l l

2 = 2 2 2 = ∩ ~ . Тогда, со-

M (x , y , z ) L l

гласно уравнениям l и L, существуют такие числа t и τ , что x1 =1+ 2t ,

y1 =1−t , z1 =1 + 2t , x2 = 2 + 2τ , y2 = 8 −9τ , z2 = −3 + 6τ .

Рис. 3.6

Так

как

точки M0 , M1, M2

лежат на

одной прямой, то

векторы

= (x1 −1, y1 −2, z1 −3) = (2t, −t −1, 2t −2) и

M0 M1

= (x2 −1,

y2 −2, z2 −3) = (2τ +1,

−9τ + 6, 6τ −6)

M0 M 2

коллине-

арны. В силу их коллинеарности получаем равенство

−t −1

2t − 2

, откуда имеем систему

2τ +1

−9τ + 6 6τ −6

16tτ −13t − 2τ −1

= 0,

(3.23)

8tτ −14t + 4τ + 2

12tτ −6t − 24τ +18 = 0.

Исключая tτ из первых двух уравнений системы (3.23), получаем τ = 32 t − 12 .

Если же исключить tτ из последних двух уравнений системы (3.23), получим τ = (t +1) / 2. Значит, 3t −1 = t +1 t =1, τ = (1+1) / 2 =1. Таким образом,

M1 = (3,0,3) , M 2 = (4,−1,3) . Следовательно, каноническими уравнениями l являются

x −1

y − 2

z −3

x −1

y − 2

z −3

−1

4 −3

−1 −0 3 −3

= (1,−1,0), al

= (2,−1,2) ,

Направляющие векторы прямых l ,l, L таковы: a l

^ ~

a L = (2,−9,6) . По формуле (3.19) находим углы ϕ

= (l,

L) :

l ) иψ = (l ,

cosϕ =	a l , a ~			=			2 1 + (−1)(−1) + 2						0	=	1	,
	a l	l													2
			~		2	2	+	(−1)	2	+ 2	2	2	+ (−1)	2
		a l										1

т.е. ϕ = 45o .

a ~ , a cosψ = l

a l a

L	= 2 1 + (−9)(−1) + 6 0	=	1	,
L	2 22 + (−9)2 + 62		2

т.е. ψ = 45o ϕ =ψ .	▲
3.44. Даны вершины треугольника A = (1,−2,−4),	B = (3,1,−3) и

C = (5,1,−7) . Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

B	∆ Проведем через точку В плоскость

	P		= (4,3,−3) . Ее уравнение
		AC
	4(x −3) +3( y −1) −3(z +3) = 0
	4x +3y −3z − 24 = 0 . Пусть D –

A D C

основание перпендикуляра, опущенного из В на сторону АС (рис. 3.7). Составим теперь параметрические уравнения пря-

Рис. 3.7

мой (АС) с направляющим вектором AC = (4,3,−3) . По формулам (3.16) име-

ем: (AC) : x =1 + 4t,	y = −2 +3t,	z = −4 −3t . Решив совместно урав-
нения плоскости Р	и прямой	(АС), найдем их точку пересечения

D = (4517 , −1317 , −8917). Приняв в качестве направляющего вектора пря-

мой (ВD) вектор a = BD = (− 617 , −3017 , −3817), по формулам (3.16) получим искомые параметрические уравнения прямой (BD):

x = 3 +3t, y =1 +15t, z = −3 +19t, t R .

▲

3.45.

Составить

уравнения прямой

проходящей

через

точку

= (−4,−5,3) и пересекающей прямые L

x +1

y +3

z − 2

− 2

−1

x − 2

y +1

z −1

L :

−5

∆ Заметим, что непараллельные прямые L1 и L2 проходят через точки M1 = (−1,−3,2) , M 2 = (2,−1,1) соответственно и имеют направляющие векторы

	M1	a1
	M1
L2
		M0
L1	a2 M2	a
		L

Рис. 3.8

a1 = (3,−2,−1) , a2 = (2,3,−5)

(рис. 3.8). Обозначим a = (m, n, p) направляющий вектор прямой L, проходящий через заданную точку M 0 . Тогда

x m+ 4 = y n+ 5 = z −p 3 - ее канонические уравнения. Координаты m, n, p вектора

a определим из условий пересечения прямой L c прямыми L1 и L2 . В силу

пересечения прямых L и L1

векторы

= (3,2,−1) компланарны. Тогда

M 0 M1

, M

3 − 2

−1

= 0 m +3 p = 0 m = −3 p .

a, a

= 0

−1

Аналогично, из пересечения прямых L и L2 вытекает компланарность векто-

ров

2 ,

= (6,4,−2) . Тогда

M 0 M 2

, M

2 3

−5

= 0 7m −13n −5 p = 0 .

a, a

= 0

− 2

m = −3p

n = −2 p . Подставив m = −3p,

С учетом

отсюда

получаем

n = −2 p ,

p = p в канонические уравнения прямой L и сократив в них на

p ≠ 0, окончательно получим:

L :

x + 4

y +5

z −3

▲

−3

− 2

3.46. Найти точку M = (x , y , z ), симметричную точке M 0 = (1,2,3)

относительно прямой L

x −8

y −11

z − 4

−1

M 0 M

= (x −1, y − 2, z −3)

= (1,3,−1)

∆ 1-й способ.

Векторы

ортогональны (рис. 3.9). Тогда (a

)= 0 (x −1) +3( y − 2) −

M 0 M

− (z −3) = 0 x + 3y − z − 4 = 0.

(3.24)

+ x

2 + y

3 + z

Середина

отрезка [M 0 M ] лежит на прямой L, т.е.

(1 + x

) / 2 −8

= (2 + y

) / 2

−11 =

= (3 + z

) / 2

−

4 .

(3.25)

Рис. 3.9

−1

x = 9, y = 2 ,

z =11, т.е.

Из системы уравнений (3.24), (3.25)

находим

M = (9,2,11) .

Р, проходящей через точку

2-й способ. Составим уравнение плоскости

M 0 перпендикулярно L , т.е. нормальный вектор Р есть

= (1,3,−1) :

P : x −1 +3( y − 2) −(z −3) = 0 x +3y − z − 4 = 0.

Решив совместно уравнения L и

P , получим точку N пересечения L с P :

N = (5,2,7) . Но так как N - середина отрезка [M 0 M ], то

x +1

5 x

= 9;

+ 2

= 2

= 2;

z +

= 7

=11;

т.е. M = (9,2,11) .

▲

3.47.

Найти расстояние

ρ(M1; L) от данной точки M1 = (x1, y1, z1)

до

данной прямой L :

x − x0

y − y0

z − z0

∆ Согласно рис. 3.10 и формуле для синуса угла между двумя векторами,

искомое расстояние

ρ = ρ(M1; L) =

M 0 M1

sinα =

sin(

) =

M 0 M1

[

]

[

]

M 0 M1

Рис. 3.10

Итак, искомое расстояние

[

]

ρ(M1; L) =

M 0 M1

3.48.

Определить, при

каком D прямая 2x

3x − 2y + 2z −6 = 0 пересекает ось Y.

3.49.

Составить параметрические уравнения прямой,

уравнениями 4x + y −6z − 2 = 0,

y −3z + 2 = 0 .

3.50. Найти угол ϕ между прямыми

(3.26)

+3y − z + D = 0 ,

заданной общими

L1 :

3x + y − z +1 = 0,

L2 :

x − y +1 = 0,

+ z

= 0

+ 2 y −5z +1 = 0.

3x − y

3.51. Определить угол между прямой

L1 : x − y − 4z −5 = 0,

2x − y − 2z − 4 = 0 и прямой (АВ), где A = (−1,2,3) , B = (−2,6,−2).

3.52.

Привести

каноническому

виду общие

уравнения прямой

5x + y − z −10 = 0, 2x + y −3z −1 = 0.

3.53. Доказать перпендикулярность прямых

2x + y − z + 3 = 0,

x −1

−1

x + y + 3z − 2 = 0

2x + y − z −3 = 0,

3.54.

Найти

точки

пересечения

прямой

x + y + z −1 = 0 с координатными плоскостями.

3.55.

Доказать,

что прямая 2x −3y +5z −6 = 0,

x +5y −7z +10 = 0

пересекает ось Y.

3.56. Пересекаются ли прямые

x −1

y − 2

z −3

y −3

прямой x + 2y −3z −5 = 0,

3.57.

Составить

уравнения

проекций

2x − y + z + 2 = 0 на координатные плоскости.

A = (3,6,−7) ,

B = (−5,2,3) ,

3.58.

Даны

вершины

треугольника

C = (4,−7,−2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведен-

ной из вершины С.

A = (2,−1,−3) ,

B = (5,2,−7),

3.59.

Даны

вершины

треугольника

C = (−7,11,16) . Составить уравнения биссектрисы его внешнего угла при вер-

шине А.

Найти тупой угол между прямыми x = 3t −2,

y = 0, z = −t + 3

3.60.

x = 2t −1, y = 0, z = t −3.

x = 2t −3,

y = 3t − 2,

z = −4t + 6

3.61.

Доказать, что

прямые

x = t +5,

y = −4t −1,

z = t − 4 пересекаются.

3.62.

Составить

уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

= (−4,−5,3) и пересекающей две прямые

x +1

y +3

z − 2

− 2

−1

x − 2

y +1

z −1

L :

−5

3.63.

Составить

уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

M 0 = (−1,2,−3) перпендикулярно к вектору

= (6,−2,−3)

и пересекающей

прямую x = 3t +1,

y = 2t −1,

z = −5t +3.

3.64 . Составить

уравнения общего перпендикуляра

двум

прямым

x − 2

y − 2

z +1

y − 2

z − 4

−3

− 2

до прямой x = 3t −3,

3.65.

Найти расстояние ρ от точки M = (1,−1,−2)

y = 2t − 2, z = −2t +8.

3.66.

Составить уравнения и найти длину δ

перпендикуляра, опущенного

из точки M 0 = (−3,13,7) на прямую

x −1

y − 2

z −3

3.67. Убедившись, что прямые

− 4

+ 2 y − z −10 = 0,

x + 7

y −5

z −9

− y − z − 22 =

−1

параллельны, найти расстояние

ρ между ними.

3.68 . Из всех прямых, пересекающих две прямые

x +3

y −5

x −10

y + 7

найти

ту, которая

была

бы

параллельна

прямой

x + 2

y −1

z −3

3.3. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости: угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Угол ψ

между прямой L :

x − x0

y + y0

z − z0

и плоскостью

P : Ax + By +Cz + D = 0 (рис. 3.11) определяется равенством

(

)

sinψ =

(3.27)

где a = (m, n, p) - направляющий вектор прямой; N = ( A, B,C) - нормальный вектор плоскости .

N	a	L
	a

Условие параллельности прямой L и плоскости Р :

L // P a N (a, N ) = 0

Am + Bn +Cp = 0.

(3.28)

Рис. 3.11

Условие перпендикулярности прямой L и плоскости Р :

L P

(3.29)

Пусть даны две скрещивающиеся прямые:

L :

x − x1

y − y1

z − z1

x − x2

y − y2

z − z2

где

= (x , y , z ) L ,

= (x

, y

, z

) L

1 = (m , n , p ),

2 = (m2 , n2 , p2 )

направляющие

векторы

этих

прямых. Расстояние

ρ(L1, L2 ) между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле

(

2 )

ρ(L1, L2 ) =

M1M 2

(3.30)

[

2 ]

3.69.

При каком m угол ψ

между прямой

x −1

y + 2

и плоско-

−1

mx + y + z + 4 = 0 равен 45o ?

стью

= (2 −1,1) ,

= (m,1,1), a =

6 ,

N =

m2 + 2 ,

∆ В нашем случае

(

) = 2m . По формуле (3.27) имеем

sinψ =

2 =

m = ±

6 .

▲

m2 + 2

x −7

y −3

z +1

3.70.

Найти точку

М пересечения прямой

L :

− 2

плоскости P : 2x + y + 7z −3 = 0.

y = t +3,

∆ Запишем уравнения L в параметрическом виде: x = 3t + 7 ,

z = −2t −1 и подставим в уравнение плоскости P : (6t +14) +

+ (t +3) + (−14t −7) −3 = 0 t =1 - при этом значении параметра t прямая

L пересекается с плоскостью Р. Подставив t	=1 в параметрические уравнения
L , получим искомую точку M = (10,4,−3)	пересечения прямой и плоско-

сти.▲

3.71. При каких А и D прямая L : x = 4t +3, y = −4t +1, z = t −3 лежит в плоскости P : Ax + 2y − 4z + D = 0?

Рис. 3.12

∆Условиями принадлежности пря-

L	N	мой L плоскости Р							являются, очевидно,
		следующие:


			a	N	,		M 0 P .		(3.31)
		Так как						= (4,−4,1) ,		= ( A,2,−4) ,
							a		N
			M 0 = (3,1,−3), то из условий (3.31) полу-
		чаем систему
4A −8 − 4		= 0,				A = 3,				▲

3A + 2 +12 + D = 0						D = −23.

3.72. Составить уравнение плоскости Р , проходящей через прямую

L : x = 2t +1, y = −3t + 2, z = 2t −3 и точку M1 = (2,−2,1)

∆ Пусть M = (x, y, z) - текущая точка плоскости Р. Если L P , то три вектора

a , M 0 M , M 0 M1

являются компланар

ными (рис. 3.13), т.е. ( M 0 M , a , M 0 M1 ) =

= 0. Так как

= (2,−3,2) ,

= (1,−4,4) ,

= (x −1,

M 0 M1

M 0 M

Рис. 3.13

y − 2, z +3) , то из компланарности этих

векторов получаем

x −1

y − 2

z + 3

= 0 4x + 6 y +5z −1 = 0 -

−3

− 4

искомое уравнение плоскости Р. (Этот же результат можно было бы получить, если в качестве нормального вектора плоскости взять вектор N = [a, M 0 M1 ] и воспользоваться формулой (3.1)). ▲

3.73. Заданы	прямая L :	x −1	=	y	=	z +1	и	плоскость
		0		2
P : x + y − z +1 = 0.					1		P1,
	Составить уравнение			плоскости				проектирующей

прямую L на плоскость P , и канонические уравнения проекции L1 прямой L на плоскость P .

∆ Как и в задаче 3.71, L P . Из условия

задачи имеем:

= (1,1,−1) - нормальный

вектор плоскости P ;

= (0,2,1) - направ-

ляющий вектор прямой L ;

M 0 = (1,0,−1) L. Из рис. 3.14 следует,

что если L P , то в качестве нормаль-

ного вектора плоскости P1 можно взять

вектор

= [

] = (−3,1,−2). По фор-

муле (3.1) записываем уравнение плоско-

Рис. 3.14

сти P1, проходящей через точку M 0 с

нормальным вектором n : 3(x −1) + y − 2(z +1) = 0

P1 : 3x − y − 2z −1 = 0. Тогда общие уранения проекции L1 прямой	L на
плоскость Р имеют вид: x + y − z +1 = 0, 3x − y + 2z −1 = 0. От этих	урав-

нений теперь нетрудно перейти к каноническим и получить 1x = y−+51 =

=−z4 . ▲

3.74.Найти кратчайшее расстояние между двумя непересекающимися

прямыми L :

x −9

y + 2

и L :

y + 7

z − 2

−3

− 2

∆ Прямые L

непараллельны.

Из

их

уравнений находим:

1 = (4,−3,1) ,

2 = (−2,9,2), M

= (9,−2,0) L ,

= (0,−7,2) L

M1M 2 = (−9,−5,2) . Легко находим, что [a1, a2 ] = −15i −10 j +30k

, a

]

= 35 .

, a

= 245. Тогда по формуле (3.30) нахо-

дим искомое расстояние ρ(L1, L2 ) = 7.

▲

z = −2t −3 парал-

3.75.

При каком

n прямая x = 3t −3,

y = nt + 2,

лельна плоскости x −3y + 6z + 7 = 0 ?

3.76.

Доказать, что прямая 5x −3y + 2z −5 = 0, 2x − y − z −1 = 0 ле-

жит в плоскости 4x −3y +7z −7 = 0.

3.77. При каких m и С

прямая

x − 2

y +1

z −5

перпендикулярна к

−3

плоскости 3x − 2y +Cz +1 =

0 ?

3.78.

Найти

проекцию точки

P = (5,2,−1)

на

плоскость

2x − y +3z + 23 = 0.

x −1

z +1

3.79 . В пространстве заданы прямая

L :

и плоскость

−1

P : 2x + y + z + 2 = 0. Найти координаты проекции M = (x , y , z ) точки

M= (1,2,3) на прямую L параллельно плоскости Р.

3.80.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M 0 = (1,2,−3) параллельно прямым

x −1

y + 4

z −7

x +5

y − 2

z +3

−3

− 2

−1

3.81. Доказать, что прямые x = 2t +1,

y = −3t − 2,

z = 4t +5

x = 3t + 7,

y = 2t + 2,

z = −2t +1 лежат

в одной

плоскости и составить

уравнение этой плоскости.

x =

3.82. Составить уравнение плоскости,

проходящей через прямую

3t +1,

y = 2t +3,

z = −t − 2 параллельно прямой 2x − y + z −3 = 0,

x + 2y − z −5 = 0.

3.83 . Составить параметрические уравнения прямой, проходящей парал-

лельно плоскостям 3x +12y −3z −5 = 0

и 3x − 4y +9z + 7 = 0 и пересе-

кающей прямые

x +5

y −3

z +1

x −3

y +1

z − 2

− 4

− 2

= 3t −7,

3.84.

Вычислить

кратчайшее расстояние

между прямыми x

y = 4t − 4,

z = −2t −3 и

x = 6t + 21,

y = −4t −5,

z = −t + 2 .

3.85.Найти уравнение проекции прямой x = 2t, y = t −3, z = −2t + 2 на плоскость 2x +3y − z −5 = 0.

3.86.Дан куб с ребром, равным единице. Найти расстояние от вершины куба до диагонали, не проходящей через эту вершину.

3.87.Можно ли через прямую x +3 5 = y 1− 2 = 4z провести плоскость, па-

+y −7z +1 = 0?раллельную плоскости


3.88	. На плоскости XY найти такую точку С, сумма расстояний от кото-
рой до точек M1 = (3,−4,−2) и		B = (7,−10,14) была бы наименьшей.
3.89	. На плоскости x + y + 4z +1 = 0 найти такую точку M 0 , разность
расстояний от которой до точек		M1 = (−2,3,4) и M 2 = (−3,3,2) была бы
наименьшей.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб58Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб71Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб112Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб21Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб31Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб24Шилкин Тесты.PDF