Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Сборник-АГ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

2.ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

2.1.Различные виды уравнений прямой. Взаимное расположение прямых.

1. Уравнение прямой L, проходя-

n	щей через точку	M 0 = (x0 , y0 ) пер-

y0	M0		пендикулярно нормальному	вектору
y0			пендикулярно нормальному	вектору
			n = ( A, B) (рис.2.1):
O	x0	X	A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0	(2.1)
O	x0	L

Рис. 2.1

Y		2. Общее уравнение прямой L:
Y		Ax + By +C = 0.			(2.2.)
		Ax + By +C = 0.			(2.2.)
		Здесь		= ( A, B) - нормальный
	L	Здесь	n	= ( A, B) - нормальный
	L	вектор прямой.
		вектор прямой.
y0	M0
b
α	x0	X
O	x0
	Рис. 2.2	3. Уравнение прямой L с угловым ко-
эффициентом:		3. Уравнение прямой L с угловым ко-
эффициентом:
	y = kx +b ,				(2.3)

где k = tgα - угловой коэффициент прямой (рис. 2 2).

4. Уравнение прямой L с угловым коэффициентом и проходящей через

данную точку	M 0 (см. рис. 2.2)	:
Y	y − y0 = k(x − x0 ) .							(2.4)
		5. Каноническое уравнение прямой, про-
		ходящей через точку M 0 = (x0 , y0 ) па-
a		раллельно направляющему вектору
M0	X		a	= (m, n) (рис. 2.3) :
M0			x − x0			y − y0
					=
O							.	(2.5)
	L			m		n	.	(2.5)

Рис. 2.3

Y				6. Параметрические уравнения прямой,
				проходящей через точку M 0 = (x0 , y0 )
b
b				с направляющим вектором a = (m, n) :
				с направляющим вектором a = (m, n) :
					x = x0 + mt,	(2.6)
					= y0 + nt,t R.	(2.6)
			X	y	= y0 + nt,t R.
O		a		L
O				L
Рис. 2.4
7. Уравнение прямой “в отрезках”:
	x	+	y	=1.		(2.7)
	a	+	b	=1.		(2.7)
	a		b

Здесь а и b - величины направленных отрезков, отсекаемых прямой L на осях

Х и Y (рис. 2.4).

Если прямая L1 имеет угловой коэффициент k1 , а прямая L2 - угловой коэффициент k2 , то один из углов ϕ, образованный этими прямыми определяет-

ся формулой

tgϕ =

k2 − k1

(2.8)

1 + k k

Если же прямые L1

и L2

заданы общими уравнениями (2.2) с нормальными

векторами

1 = ( A , B ),

= (A , B

) , то угол ϕ между L и

вычис-

ляется по формуле

cosϕ =

(n1, n2 )

A1 A2

+ B1B2

2 .

(2.9)

n1 n2

+ B 2

A 2 + B

Здесь выражение для cosϕ взято по абсолютной величине, так как по определению 0 ≤ ϕ ≤ π / 2.

Условие параллельности двух прямых L1				и	L2 с угловыми коэффициен-
тами k1 и k2 :
k1 = k2 .					(2.10)
Условие перпендикулярности прямых L1				и	L2 :
		1
		1
	= − k				(2.11)
(k1 k2 = −1) k2	= − k		.		(2.11)
	1

2.1.Для прямой L : 5x +3y +15 = 0 определить угловой коэффициент k

иплощадь треугольника, образованного прямой L и осями координат Х и Y.

∆Приведем уравнение прямой L к виду (2.3):

y = −53 x −5 k = −53 ,b = −5 .

Разделим обе части уравнения L на (-15) и приведем его к уравнению (2.7) в отрезках:

-3 O

-5 B

	x	+	y	=1. Отсюда прямая L отсекает
			−5
	−3
на осях Х				и Y направленные отрезки
a = −3			и	b = −5 . Следовательно, пло-

щадь ∆AOB (рис. 2.5) есть

S =

(кв. ед).

▲

Рис. 2.5

2.2. Площадь треугольника АВС равна 8 (рис. 2.6). Две его вершины суть точки A = (1,−2) и B = (2,3) , а третья вершина С лежит на прямой L:

2x + y − 2 = 0. Определить координаты вершины С.

∆ Пусть C = (x0 , y0 ) L. Тогда координа- L ты x0 , y0 точки С удовлетворяют уравне-

нию L:

2x0

+ y0 − 2 = 0 .

(2.12)

Получим еще одно соотношение, связываю-

щее x0 , y0 . Введем векторы

= (−1,−5,0) ,

= (x0 − 2, y0 −3,0). Тогда

площадь

Рис. 2.6

∆ABC :

[

]

S =

8 =

mod

−1

−5

x0 − 2

y0 −3

16 = 3 − y0 + 5(x0 − 2) .

Решив совместно уравнения (2.12) и (2.13), получим x0′

= −1,

y0′ = 4 ;

″

−

, y0

. Это означает, что на прямой L имеются две точки

C′ = (−1,4) и C′′ = (25 7 , −36 7), удовлетворяющие условию задачи. ▲

2.3.

Найти точку M = (x , y ) , симметричную точке M 0 = (1,−3) от-

носительно прямой L : x − 2 y +3 = 0.

∆ Приведем уравнение L

к каноническому

виду (2.5):

x −3

, т.е. направляющий

= (2,1) . Этот век-

вектор прямой L есть

тор перпендикулярен вектору

= (x −1, y −3) , иными словами,

M 0 M

Рис. 2.7

0 = (

M 0 M

) = 2(x −1) + ( y −3) = 2x + y −5 = 0.

(2.14)

+ x

3 + y

Середина отрезка [M

], т.е. точка

Q =

(рис. 2.7) лежит

на L и, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой:

0 =

1 + x

− 2

3 + y

+ 3 =

− y +

(2.15)

Из системы уравнений (2.14), (2.15) находим x = 9 / 5,

y = 7 / 5, т.е. иско-

мой точкой является M = (9 / 5,7 / 5) .

▲

2.4.

Составить

уравнение

прямой L,

параллельной

прямым

L1 : 2x + 3y − 6 = 0

L2 : 4x + 6 y +17 = 0 и проходящей посередине меж-

ду ними.

L1 A L

Рис. 2.8

∆ На прямых L1 и L2 выберем произвольным образом точки А и В соответственвно, например, A = (0,2) , B = (−4,− 16) . Ясно, что точка С, делящая отрезок [AB] пополам, лежит посередине между L1 и

L2 . Ее координаты xc =					xA + xB	= −2,

	yA + yB		11	2
yc =		=		C = (−2,		1112).
	2		12

Угловой коэффициент k прямой L, проходящей через С, совпадает с угловыми коэффициентами k1 = k2 = −2 / 3 параллельных ей прямых L1 и L2 . Используя равенство (2.4), получаем

y −11

= − 2 (x + 2) 8x +12y +5 = 0 -

искомое уравнение прямой L.

▲

2.5.

Даны вершины

треугольника АВС:

A = (2,−2) ,

B = (3,−5) ,

C = (5,7) . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на

биссектрису внутреннего угла при вершине А.

= (1,−3) ,

∆ Составим векторы

AC = (3,9) . Их орты

,−

AB =

AC =

Тогда вектор

e0 = e1 + e2 = (2 / 10,0)

направлен по биссектрисе АD (рис. 2.9)

Рис. 2.9

Согласно (2.5), ее каноническое уравнение

есть

x −5

= y + 2 y + 2 = 0. Нормальный вектор биссектрисы АD есть

2 /

вектор n = (0,1). Он же является направляющим для искомого перпендикуляра СЕ. Тогда его каноническое уравнение есть

	x −5	=	y −7	x −5 = 0 .	▲
0
		1
2.6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 = (2,1) под
углом 45o к данной прямой L: 2x +3y + 4 = 0 .
			∆ Из рис. 2.10 следует, что существуют
L		135о две прямые L1 и			L2 , проходящие через
			точку M 0 под углом 45o к данной прямой

45о			L.
				Будем искать уравнения прямых L1
	L1		и L2 в виде y = k1x + b1 и
			y = k2 x + b2 соответственно. Так как
L2
Рис. 2.10			M 0 L1 и M 0 L2 , то координаты

точки M 0 удовлетворяют уравнениям этих прямых, т.е.

1 = 2k1 + b1, 1 = 2k2 +b2 .

(2.16)

Пусть k – угловой коэффициент прямой L, k = −2 / 3. По формуле (2.8) для прямых L1 и L имеем

tg45o =1 =	k − k1	=	− 2 / 3 − k1	k = −5.

1 + k k1			1
			1 − (2 / 3)k1

Тогда из (2.16) получаем b1 =11. Следовательно, уравнение L1 : y = −5x +11.

Аналогично, для L1

и L по формуле (2.8) получим:

tg135

= −1 =

k − k2

− 2 / 3 − k2

k2 =

1 + k k

1 −(2 / 3)k2

Из (2.16) тогда имеем b

= 3 / 5 . Следовательно, уравнение L

: y =

x +

Нетрудно видеть, что L1

L2 .

▲

2.7. На прямой 3x − y −1 = 0 найти такую точку М, разность расстояний

от которой до точек A = (4,1) и

B = (0,4) была бы наибольшей.

	M2
	a
M1
	c
b
M1
a	M3
	M3
	M2
b	c
b	M3

∆ Из элементарной математики известно, что в треугольнике M1M 2 M 3

b − a ≤ c , причем максимальное значение разность b − a достигает в случае, когда точки M1, M 2 и M3 лежат на одной

прямой (рис. 2.11). Эти рассуждения и лежат в основе решения данной задачи.

Рис.2.11

Нетрудно видеть, что точки А и В лежат по разные стороны от прямой L (2.12). Най-

		4			дем координаты точки A1, симметричной
A1		3			дем координаты точки A1, симметричной
	2	N			точке А относительно прямой (см. задачу
	2				2.3): A1 = (−2,3) . Составляем теперь урав-
	1		A		2.3): A1 = (−2,3) . Составляем теперь урав-
				X	нение прямой A1B :
				X
-2	O	1	4
	L					x + 2	=	y −3	x − 2 y +8 = 0.
	Рис. 2.12					x + 2		y −3
	Рис. 2.12				0 + 2
					0 + 2			4 −3

Решив систему x − 2 y +8 = 0,	3x − y −1 = 0, найдем координаты точки М
пересечения прямых (A1B) и L : M = (2,5) . Эта точка в силу вышеприведен-
ных рассуждений и есть искомая.	▲

2.8. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A = (4,−1) и уравнения двух биссектрис x −1 = 0 и x − y −1 = 0 .

	A2	∆ Подстановкой координат точки А в
		уравнения биссектрис x −1 = 0 и
	x-y-1=0	x − y −1 = 0 убеждаемся, что эта точка
		не лежит на данных биссектрисах. Извест-
		но, что если на одной из сторон угла дана
	A1	точка А, то точка A , симметричная
		1
	x-1=0	точке А относительно биссектрисы этого
	x-1=0	угла, лежит на другой его стороне.
		угла, лежит на другой его стороне.

Рис. 2.13

Находим координаты точки A1, симметричной точке А относительно бис-

сектрисы угла B и координаты точки A2 , симметричной биссектрисе СЕ угла

= (−2,1) , A2 = (0,3) . Составляем уравнение стороны

C (см. задачу 2.3): A1

ВС , как прямой, проходящей через две точки

A2 , лежащие на ВС:

y −3

2x − y +3 = 0 . Решив систему 2x − y +3 = 0, x −1 = 0,

на-

− 2

−1−3

ходим координаты точки B = (1,5). По точкам А и В записываем уравнение

стороны АВ:

x − 4

y +1

2x + y −7 = 0.

−3

x − y −1 = 0

Из

системы

2x − y +3 =

находим координаты точки

C = (−4,−5) . По точкам А и С составляем уравнение стороны АС :

x − 4

y +1

x − 2 y − 6 = 0 .

▲

−8

− 4

2.9. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 = (3,7)

перпендикулярно прямой L

: x − y + 3 = 0. Найти расстояние от точки M 0 до

2.10.

Найти угол

между прямыми:

а)

− x + 2 y + 3 = 0

3x − y −1 = 0 ; б) 3x + 2 y −1 = 0 и 5x − 2 y + 3 = 0 .

2.11. Дан треугольник АВС : A = (4,4) , B = (−6,−1), C = (−2,−4) . Со-

ставить уравнение биссектрисы внутреннего угла С.

2.12. Найти проекцию точки A = (−6,4) на прямую 4x −5y + 3 = 0 .

2.13. Доказать, что условие принадлежности трех точек M1 = (x1, y1) , M 2 = (x2 , y2 ) , M 3 = (x3 , y3 ) одной прямой может быть записано в виде

x1	y1	1
x2	y2	1	= 0 .
x3	y3	1

2.14.	Зная вершину	A = (3,−4) треугольника АВС и уравнения двух его
высот (ВМ):7x − 2 y −1 = 0 и			(CN):	2x − 7 y − 6 = 0 , составить уравнение
стороны ВС.						x +5y −7 = 0,
2.15.	Стороны	треугольника		лежат	на прямых
3x − 2 y − 4 = 0, 7x + y +19 = 0 . Найти площадь треугольника.
2.16. Даны уравнения двух сторон прямоугольника:						2x −3y +5 = 0,
3x + 2y −7 = 0 и одна из его вершин				A = (2,−3). Составить уравнения двух
других сторон этого прямоугольника.					прямоугольника: x − 2y = 0,
2.17.	Даны уравнения		двух	сторон

x − 2 y − 7 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 7x + y −15 = 0. Найти

вершины прямоугольника.		A = (−5,13)	относительно
2.18.	Найти точку В, симметричную точке
прямой 2x −3y −3 = 0.		M1 = (2,1),	M 2 = (5,3) ,
2.19.	Даны середины сторон треугольника

M 3 = (3,−4) . Составить уравнения его сторон.

2.20. Даны вершины треугольника A = (1,−1) , B = (−2,1) , C = (3,5) . Со-

ставить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

2.21.На прямой 2x − y −5 = 0 найти такую точку Р , сумма расстояний которой до точек A = (−7,1) и B = (−5,5) была бы наименьшей.

2.22.Точка E = (1,−1) является центром квадрата, одна сторона которого лежит на прямой x − 2 y +12 = 0. Составить уравнения прямых, на которых

лежат остальные стороны этого квадрата.			A = (5,−5) и
2.23. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
отсекающей от координатного угла треугольник с площадью в 50 кв. ед.
2.24.	Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
B = (2,6) ,	а	также уравнения высоты x −7 y +15 = 0 и	биссектрисы
7x + y +5 = 0 , проведенных из одной вершины.
2.25.	Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
B = (2,−7) ,		а также уравнения высоты 3x + y +11 = 0	и медианы

x + 2y + 7 = 0, проведенных из различных вершин.

2.26. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми 2x − y + 5 = 0,

2x − y +10 = 0, равна 10 .

2.27. Луч света направлен по прямой x − 2 y +5 = 0. Дойдя до прямой 3x − 2y + 7 = 0, луч от нее отразился. Составить уравнение отраженного луча.

2.28 . Световой луч, падая из точки с координатами (-3, 4) и отражаясь от прямой y = x , проходит затем через точку (-2, 5). Написать уравнения падаю-

щего и отраженного лучей.

2.29. На прямую (АВ), A = (1,−2) , B = (0,−7) , опущен перпендикуляр из точки D = (−3,4) . Найти отношение λ, в котором основание этого перпендикуляра делит отрезок АВ.

2.30 . На медиане АМ треугольника АВС, A = (0,5) , B = (2,2), C = (4,6) найти такую точку D , чтобы площадь четырехугольника АВDС равнялась 14.

2.31 . Составить уравнения сторон треугольника, зная две его вершины A = (3,5), B = (6,1) и точку пересечения его медиан M = (4,0).

2.32 . Составить уравнения катетов прямоугольного треугольника, площадь которого равна 20, если известно, что его гипотенуза лежит на оси абсцисс, а вершина прямого угла находится в точке C = (−1,4) .

2.33 . Составить уравнение прямой, делящей пополам отрезок между точками A = (−3,2) и B = (5,−2) и образующей с отрезком АВ угол, вдвое больший, чем с осью Х.

2.34 . Найти уравнения сторон ромба, зная его две противоположные вершины A = (−3,1), B = (5,7) и его площадь S = 25.

2.35.Вычислить площадь ромба, зная одну из его вершин A = (0,−1), точку пересечения диагоналей M = (4,4) и точку N = (2,0) на стороне АВ.

2.36.Какому условию должны удовлетворять коэффициенты а и b, чтобы прямые ax +by +1 = 0, 2x −3y +5 = 0 и x −1 = 0 проходили через

одну и ту же точку?

2.37 . В равнобедренном треугольнике известно уравнение основания x − 2y +3 = 0, уравнение одной из боковых сторон 4x − y+ = 5 = 0 и точка

P = (1,2;5,6) на другой боковой стороне. Вычислить: 1) расстояние боковой

стороны от противолежащей вершины; 2) координаты центра тяжести; 3) площадь треугольника.

2.38	.	В треугольнике АВС, A = (−3,−1), B = (1,−5), C = (9,3), сто-
роны АВ	и	АС разделены в отношении λ = 3, считая от общей вершины А.

Проверить, что прямые, соединяющие точки деления с противолежащими вершинами, и медиана АМ пересекаются в одной точке.

2.2. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

	Уравнение
Y	x cosα + y cos β − ρ = 0	(2.17)

называется нормальным уравнением прямой l на плоскости. Здесь

no = (cosα, cos β) - единичный вектор

нормали к прямой l , проведенный из на-

^X ) ,

чала координат (рис. 2.14); α = (n

β = (

o,^Y ) ,

cos2 α + cos2 β =1;

Рис. 2.14

α + β = π / 2 ;

p = OD - расстояние от начала координат до прямой l .

Для приведения общего уравнения прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду нужно обе части уравнения умножить на нормирующий множитель

µ = ±

A2 + B2 .

(2.18)

При этом знак µ выбирается противоположным знаку свободного члена С нормируемого уравнения.

Если прямая l задана нормальными уравнением (2.17), а M 0 = (x0 , y0 ) -

точка на плоскости, то величина
δ = δ(M 0 ; L) = x0 cosα + y0 cos β − ρ	(2.19)

называется отклонением точки M 0 от прямой l . При этом δ > 0 , если M 0 и

начало координат О лежат по разные стороны от прямой l , и δ < 0 - если по одну сторону от l .

Расстояние ρ = ρ(M 0 ;l) точки M 0 = (x0 , y0 ) до прямой l вычисляется

по формуле
ρ =	δ(M 0 ;l)		=	x0 cosα + y0 cos β − ρ		.	(2.20)
ρ =	δ(M 0 ;l)		=	x0 cosα + y0 cos β − ρ		.	(2.20)
В случае задания прямой l					общим уравнением		Ax + By +C = 0 это расстоя-
ние		Ax0 + By0			+C
	ρ =	Ax0 + By0			+C		(2.21)
	ρ =				.		(2.21)
			A2 + B2

2.38. Найти длину высоты h, опущенной из вершины A = (4,4) треуголь-

ника АВС, если B = (−6,−1), C = (−2,−4) .

∆ Составим уравнение стороны ВС:

	x + 6	=	y +1		3x + 4 y + 22 = 0.				(2.22)
	− 2 + 6
			− 4 +1
Полученное уравнение приведем к нормальному виду. По формуле (2.18)
		µ = −		1		= −1 .
				32 + 42		5		1
Умножив		обе		части		уравнения (2.22) на	µ = −		, получим
								5

−	3	x −	4	y −	22	= 0 - искомое нормальное уравнение ВС. Находим отклоне-
					5
5		5					3		4		22
ние		δ(A; BC) = −						4 −		4 −		= −10. Тогда h = ρ( A; BC) =	δ	=10 .


					5				5		5

Заметим, что так как δ < 0 , то точка А и начало координат лежат по одну сто-
рону от прямой (ВС). Кроме того, расстояние ρ(0; BC) = 22 / 5.													▲

2.39.Пересекает ли прямая l :3x − 4 y −5 = 0 отрезок M1M 2 , где

M1 = (2,3), M 2 = (−1,5)?

M1	Y		∆ Если прямая L пересекает отрезок
M1			M1M 2 , то, очевидно, что знаки отклоне-
	M2		M1M 2 , то, очевидно, что знаки отклоне-
	M2		ний δ(M1; L) и δ(M 2 ; L) различные
			ний δ(M1; L) и δ(M 2 ; L) различные
		X	(рис. 2.15), т.е. δ(M1; L) δ(M 2 ; L) < 0 .
		X	′	′	,
	/		′	′
	/		Если же L не пересекает отрезок M1 M 2
	O
/	M2		то ясно, что знаки δ(M1′; L) и
M1

			δ(M 2′; L) будут одинаковыми. Приведем
	Рис. 2.15		уравнение L к нормальному виду и найдем

отклонения:

µ= 15 53 x − 54 y −1 = 0 δ(M1L) = 53 2 − 54 3 −1 = −11/ 5 < 0;

δ(M 2 ; L) < 0 . Следовательно, прямая L не пересекает отрезок M1M 2 . ▲

2.40.Определить, лежат ли точка M = (1,−2) и начало координат в од-

ном, в смежных или вертикальных углах, образованных пересечением прямых

L1 : 4x + 3y −10 = 0 и L2 :12x −5y −5 = 0 .

Y			∆ Из рис. 2.16 следует, что если точки
M//	L2		M и	O лежат в одном угле, то
			δ(M ; L1 ) < 0 и δ(M ; L2 ) < 0 . Если же
M///			точкиO и M ′′ лежат в вертикальных уг-
		M/		′′
		M/	лах ,	то отклонения δ(M ; L1) > 0 и
			лах ,	то отклонения δ(M ; L1) > 0 и
		X		′′
		X	δ(M ; L2 ) > 0 . Наконец, если точки O и
O		L1	M ′ или O и M ′′′, лежат в смежных углах,
M		L1
Рис. 2.16

то δ(M ′; L1 ) δ(M ′; L2 ) < 0 или δ(M ′′′; L1 ) δ(M ′′′; L2 ) < 0 . В нашем случае

δ1 = δ(M ; L1 ) = 54 1 + 53 (−2) − 2 < 0, δ2 = δ(M ; L2 ) = 1213 1 −135 (− 2)−

−135 > 0 . Так как δ1 δ2 < 0, то точки M и O лежат в смежных углах. ▲

2.41. Даны три параллельные прямые: l1 :10x +15y −3 = 0 ,

l2 : 2x + 3y +5 = 0, l3 : 2x + 3y −9 = 0. Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.

∆

Приведем

уравнения

нормальному виду -

l2 : −

x −

y −

= 0 , l3 :

x −

y −

= 0 .

Отсюда единичные векторы нормали

этих прямых соответственно равны

no2 = (− 2 /

13,−3 / 13),

no3

= (2 / 13,3 / 13). Так как

o2 ↑↓

o2 , то начало координат расположе-

n30

но между l

и l

(рис. 2.17). Возьмем на

l произвольную точку, например

n20

M = (0,1/ 5) . Так как отклонения

δ(M ;l2 ) = − 28

− 43

δ(M ;l3 ) =

отрицательны, то

Рис. 2.17

точки лежат по одну сторону от l2 и l3. Отсюда, в силу того что О лежит между l2 и l3, заключаем, что и l3 лежит между l2 и l3. Далее находим рас-

стояния ρ(l1,l2 ) = ρ(M ;l2 ) = δ(M ;l2 ) = 285 13 = ρ1;

ρ(l1,l3 ) = ρ(M ;l3 ) = δ(M ;l3 ) = 425 13 = ρ2 . Отсюда ρ1 / ρ2 = 2 / 3▲

2.42.Составить уравнения биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми L1 : 3x + 4 y −1 = 0 и L2 : 5x +12 y − 2 = 0 .

N1 L1

	M	L
		L
N2		L2

	Рис. 2.18
	3x + 4 y −1	=		5x +12 y − 2
	3x + 4 y −1			5x +12 y − 2

5			13
5			13

уравнения искомых биссектрис.

∆ Пусть точка M = (x, y) лежит на одной из этих биссектрис L (рис. 2.18). Тогда

ρ(M ; L1 ) = MN1 = MN2 =

=ρ(M ; L2 ). Отсюда и из (2.21) получаем

соотношение

14x −8y −3 = 0 или 64x +112 y − 23 = 0 -

▲

2.43. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованный двумя

прямыми L1 : 3x − 2 y + 5 = 0												и	L2 : 2x + y −3 = 0,										содержит начало коор-
динат.													∆ Пронормируем уравнения прямых L1 и
													∆ Пронормируем уравнения прямых L1 и
		Y												L2 и найдем их единичные векторы:
		Y
L2					L1									L1 : −			3	x	+		2		y −	5	= 0
														L1 : −			13	x	+		13		y −	13	= 0

			M
			M																		3		2
														n		o					3	,	2
														n		1	= −				13	,	13	;
																					13		13
n10 n2										X				L1 :		2	x +		1		y	−	3	= 0
O														L1 :		5	x +				y	−	5	= 0
A									N							5				5			5
A																o			2			1
														n		o	=		2		,	1
														n		2	=				,	5	.
Рис. 2.19																2				5		5
Рис. 2.19
Отсюда cos(n		o		^		n		o	) = (n		o	, n		o			4									o		^		o
		o	,	^				o			o			o	) = −											o	,	^	n	o
	1		,				2			1			2		) = −			65		< 0 , т.е. угол n						1	,		n	2	-
	1						2			1			2					65								1				2

тупой, и, значит, искомый угол AMN, содержащий начало координат, острый.▲

2.44.

Составить уравнение

биссектрисы

угла

между

прямыми

l1 : x + 2 y −11 = 0

l2 : 3x − 6 y −5 = 0,

котором лежит

точка

M 0 = (1,−3) .

∆ Как и в задаче (2.43), определяем, что начало координат содержится в

тупом угле, образованном пересечением прямых l1 и

l2 . Как и в задаче (2.40),

устанавливаем, что точки M 0

O лежат в смежных углах, так как

δ(M 0 ;l1) = −16 /

5 < 0 ,

δ(M 0 ;l2 ) =16 / 3 5 > 0 . Точки же

M биссек-

трисы угла, смежного с углом, содержащим точку O , обладают тем свойством,

что для них δ(M ;l1) = −δ(M ;l2 ) . Поэтому из нормальных уравнений

l : 1 x +

2 y − 11 = 0

: 1

x − 2

y −

= 0 получаем

δ(M ;l1 ) = −δ(M ;l2 )

x +

y −

x −

y −

= −

3x −19 = 0 - искомая биссектриса. ▲

2.45.Являются ли следующие уравнения прямых нормальными:


а)	2	x −	3	y −1 = 0 ; б) −		5	x −	12	y − 2 = 0 ?

5		5			13		13
2.46.		Точка			A = (2,−5) - вершина квадрата, одна из сторон которого ле-
жит на прямой x − 2 y − 7 = 0 . Найти площадь квадрата.
2.47.		Является ли выпуклым четырехугольник ABCD, где A = (−3,5) ,
B = (−1,−4), C = (7,−1) , D = (2,9)?
2.48.		Точки A = (−10,−13),					B = (−2,3) , C = (2,1) - вершины треуголь-

ника АВС. Найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

2.49. Доказать, что прямая 5x − 2 y −1 = 0 параллельна прямым 5x − 2 y + 7 = 0 , 5x − 2 y −9 = 0 и делит расстояние между ними пополам.

2.50.	Составить	уравнения прямых, параллельных прямой
l : 3x − 4 y −10 = 0 и отстоящих от нее на расстояние ρ = 3.
2.51.	Точки A = (2,0)	и B = (−1,4) - смежные вершины квадрата. Со-

ставить уравнения его сторон.

2.52.Составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым 3x − y + 7 = 0, 3x − y −3 = 0 и проходящей посередине между ними.

2.53.Определить, какой из углов (острый или тупой), образованных двумя прямыми 3x −5y − 4 = 0, x + 2 y +3 = 0, содержит точку M = (2,5) .


2.54.	Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного двумя
прямыми	x −3y + 5 = 0 и 3x − y +15 = 0.
2.55.	Составить		уравнение	биссектрисы	угла	между	прямыми
3x − y − 4 = 0 , 2x + 6 y + 3 = 0, в котором лежит начало координат.
2.56 . На расстоянии ρ = 5 от точки A = (4,3)					провести прямую, отсе-
кающую равные отрезки на осях координат.
2.57.	Найти	центр круга,		касающегося	двух	данных	прямых
3x − 4 y +10 = 0 и		3x + 4 y = 0, причем радиус круга r = 8 .
2.58.	Через точку		A = (1,2) провести прямую так, чтобы она прошла на
одинаковом расстоянии от точек B = (3,3) и C = (5,2) .

2.59 . Найти площадь треугольника, образованного биссектрисами внешних углов треугольника, сторонами которого служат прямые 3x +3y −5 = 0 , x − y −1 = 0 , 7x + y +1 = 0.

2.60 . Восстановить границы квадратного участка по трем сохранившимся столбам: A = (1,6) - в центре, B = (5,9) и C = (3,0) на противоположных

границах участка. Составить уравнения границ участка.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF