Введение

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Сборник-АГ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра высшей математики

А.А. Карпук, Р.М. Жевняк

Сборник задач по высшей математике

В10 частях Часть 1

Аналитическая геометрия

Минск БГУИР 2002

В настоящее время вузы получили самостоятельность в создании собственных учебных и типовых программ по курсу высшей математики. Поэтому существовавшие до 1991 г. сборники задач по высшей математике многие вузы уже не устраивают. Отсюда и появление в высших учебных заведениях большого количества методических пособий, в том числе и сборников задач, по различным разделам курса высшей математики.

Структура настоящего сборника задач следующая. Каждый пункт раздела предваряют теоретические сведения по изучаемому в нем объекту аналитической геометрии. Затем в качестве образца решается достаточное количество задач, поясняющих теорию. Знак ∆ означает начало решения задачи, а знак ▲- конец решения. В конце каждого пункта приводятся задачи для решения в аудитории и для домашнего задания. Наиболее сложные задачи отмечены звез-

дочкой (*). Все задачи снабжены в конце сборника ответами. Обозначения a,

M0 M и т.д. понимаются как векторы.

= (3,−1,−2),

= (1,2,−1).

1.74. Показать, что момент силы

= (−3,1,−1) , приложенной к точке

A = (4,−2,3),

относительно точки B = (7,3,−1) , не является вектором,

1.1.Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис пространства. Координаты вектора в базисе.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок АВ с на-

чальной точкой А и конечной точкой В (рис. 1.1). Обозначается: AB. Если

отрезок АВ соответствует вектору a , то

(рис. 1.2). Вектор

называет-

ся

пишут

противоположным вектору

Рис. 1.1

Вектор

называется нулевым

и обозначается

. Длиной

вектора

A Рис. 1.2

или его модулем называется длина

соответствующего направленного отрезка. Вектор a0 , для которого a0 =1,

называется единичным. Векторы, параллельные одной и той же прямой или лежащие на ней, называются коллинеарными. Коллинеарность векторов обозна-

чается a // b .

Если векторы a и b коллинеарны и одинаково направлены (сонаправле-

ны), то этот факт обозначается в виде a ↑↑ b .

Если же коллинеарные векторы противоположно направлены, то это обозначается в виде a ↑↓ b . Векторы, параллельные одной и той же плоскости или лежащие в ней, называются компланарными. Векторы a и b называются равными, если они одинаково направлены и a = b .

Сложение векторов a и b осуществляется по правилу треугольника (рис. 1.3) или по правилу параллелограмма (рис. 1.4).

		a
a	b	a + b		a	a - b
a	b			a
			b		b
			b
Рис.1.3		Рис.1.4			Рис.1.5

Разность векторов a и b есть вектор a - b , изображенный на рис. 1.5.

Вектор a - b направлен к концу «уменьшаемого» вектора a .

Произведением вектора a на действительное число α называется вектор b =αa , длина которого b = α a , а направление b совпадает с направлени-

ем a при α > 0 и противоположно a , если α < 0. Если α ≠ 0 , то равенство b =αa является признаком коллинеарности векторов a и b .

≠

, то единичный вектор

0 =

Если

называется ортом вектора

a .

Сложение векторов и умножение вектора на действительное число называются линейными операциями над векторами.

Углом между двумя векторами (или между вектором и осью) называется наименьший угол ϕ , 0 ≤ϕ ≤π , на которой нужно повернуть один вектор

(ось), чтобы он совпал по направлению с другим вектором (осью) (рис. 1.6). Обозначается : ϕ = (a,^ b) .

ϕ	ϕ

Рис. 1.6

Если ϕ =π / 2, то векторы a и b называются перпендикулярными или ортогональными.

Проекцией вектора a = AB на ось L (обозначается: прL a ) называется

длина

направленного отрезка A1B1 ,

заключенного

между

ортогональными

проекциями начала и конца вектора

на эту ось,

причем

прL

> 0, если

и L одинаково направлены, и прL

< 0 , если они противоположно на-

A1B1

правлены (рис. 1.7). Для проекции справедлива формула

прL

cosϕ.

(1.1).

Проекция вектора на ось обладает свойствами:

10.

прL (

) =прL

+ прL

20.

прL (αa) =αпрL a,

α R .

Векторы

2 ,

3 из R3

B1 L

называются ли-

нейно зависимыми, если существуют числа


Рис. 1.7			α1,α2 ,α3 R ,			не все равные нулю,		такие, что
выполнено равенство			1 +α2		2 +α3a3 =
	α1
	α1	a		a			0.	(1.2)
Если же равенство (1.2) имеет место лишь при						α1 =α2 =α3 = 0,то		векторы

a1, a2 , a3 называются линейно независимыми.

Линейная зависимость векторов означает, что какой-то один из векторов,

например a3 , может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, т.е.

	3 = β1		1 + β2		2 , β1, β2 R .
a	3 = β1	a	1 + β2	a	2 , β1, β2 R .	(1.3)

равенство (1.3) является признаком компланарности векторов a1, a2 , a3 . Любые два линейно независимых (неколлинеарных) вектора на плоскости

(в R2 ) образуют базис. Аналогично, любые три линейно независимых (некомпланарных) вектора в пространстве (в R3 ) также образуют базис. На прямой (в R1) базисом является любой ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой.

Если векторы a1, a2 образуют базис на плоскости, то числа β1 и β2 в ра-

венстве (1.3) называются координатами (компонентами) вектора a3 в этом ба-

зисе. Этот факт записывается в виде
												a3 = β												1 + β								2 = (β , β					) .				(1.4)
												a3 = β								1		a		1 + β					2		a	2 = (β , β			2		) .				(1.4)
																				1									2				1		2
			Если векторы											1,					2 ,						3 образуют базис в пространстве																R3 , то всякий
			Если векторы										a	1,			a		2 ,				a		3 образуют базис в пространстве																R3 , то всякий
вектор								4 R3 может быть представлен единственным образом в виде
вектор						a		4 R3 может быть представлен единственным образом в виде
							4 = β				1	+ β						2			+ β							3			= (β , β			, β				).			(1.5)
					a		4 = β		1	a	1	+ β			2	a		2			+ β					3	a	3			= (β , β		2	, β		3		).			(1.5)
									1						2											3				1			2			3				4 в базисе векторов
Числа β , β										, β			называются координатами вектора
Числа β , β									2	, β		3	называются координатами вектора																										a
1									2			3
		1,		2 ,				3 .
	a	1,	a	2 ,			a	3 .

Если в декартовой системе координат (ДСК) (в базисе из единичных век-

) задан вектор

= (x, y, z) = x

+ y

+ z

, то его длина

торов

a =

x2 + y2 + z2 .

(1.6)

Для орта

0 вектора

имеем

a0 = 1

y ,

(1.7)

a = 1 (x, y, z) = x

z .

, z

Числа

называются

направляющими косинусами вектора

обозначаются

α j

Рис. 1.8

cosα =

cos β =

cosγ =

(1.8)

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1,

(1.9)

где α, β,γ

- углы между вектором

и осями X ,Y, Z в ДСК соответственно.

Если в ДСК точка A = (x, y, z) , то вектор

= (x, y, z) называется

радиусом –вектором точки А.

Рис. 1.9

A = (x1, y1, z1) и

Если вектор

в ДСК определен началом

концом B = (x2 , y2 , z2 ) , то координатами вектора

являются числа

x = x2 − x1,

y = y2 − y1, z = z2 − z1 , (рис. 1.9)

т.е.

= (x2 − x1)

+ ( y2 − y1)

+ (z2 − z1)

= (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) =

−

(1.10)

AB =

− x )2

+ ( y

− y )2

+ (z

− z )2 .

(1.11)

Если векторы a = (x1, y1, z1) и b = (x2 , y2 , z2 ) коллинеарны, то их ко-

ординаты пропорциональны, т.е. условием коллинеарности двух векторов является равенство

x1	=	y1	=	z1	.	(1.12)
x2		y2
				z2

1.1. По заданным векторам a и b построить вектор 3a − 2b. ∆ Решение задачи приведено на рис. 1.10

	-b	b
	-b	3a – 2b
-b		3a – 2b
-b		a
a	a	a

Рис. 1.10

▲

1.2. Найти координаты и длину вектора

= 2

−

, если

= (2,3,1),

= (−2,3,4),

= (−1,0,5) .

∆ Согласно линейным операциям над векторами, имеем

	d	= 2	a	−	b	+3	c	= 2(2,3,1) − (−2,3,4) +3(−1,0,5) =
	= (4,6,2) + (2,−3,−4) + (−3,0,15) = (4 + 2 −3, 6 −3 + 0,								2 − 4 +15) = (3,3,13)
По формуле (1.6) d = 9 +9 +169 = 187 .									▲

1.3. Найти единичный вектор, направленный по биссектрисе угла между векторами a = (3,−2,1) и b = (1,2,3) .

0 и

0 векторов

∆

Найдем орты

0 =

· a =

1 (3,−2,1)

(рис. 1.11):

;

ao + bo

b =

= b

14 (1,2,3).

Рис. 1.11

0 +

Тогда вектор

и будет направлен по биссектрисе искомого угла

0 вектора

равен

(диагональ ромба). Орт

. Но a

(4,0,4)

+ b

a0 + b0 =

16 + 0 +16 =

. Тогда

c0 =

(4,0,4) = 1

(1,0,1).

▲

, чтобы выполня-

1.4. Как должны быть связаны ненулевые векторы

лось соотношение

−

∆ Векторы a и b должны быть коллинеарными и противоположно направленными

(a ↑↓ b) и, кроме того, a > b (рис. 1.12) . ▲

Рис. 1.12

1.5. В пространстве зафиксированы четыре точки А, В, С и Д. Точки P и Q – середины отрезков [АС] и [ВД] соответственно. Доказать, что

PQ = 12 (AB +CD).

B K C

∆ Пусть К – середина отрезка [ВС] (рис. 1.13). Тогда РК – средняя линия ∆ABC , и, значит,

PK = (1/ 2)AB . Аналогично, KQ = (1/ 2)CD .

Следовательно,

(

▲

Рис. 1.13

1.6. Показать, что векторы

= (1,0,1),

= (1,−2,0),

= (0,3,1)

обра-

зуют базис пространства R3

и найти координаты вектора

= (2,7,5)

в этом

базисе.

∆

Для векторов

составим равенство (1.2):

α1

+α2

+α3

(1.12)

Покажем, что оно имеет место лишь в случае, когда α1 =α2 =α3 = 0. Действительно, векторное равенство (1.12) равносильно системе

α1 +α2	= 0,	α1 = 0,
− 2α2 + 3α3 = 0,			= 0,
		α2
α1	+α3 = 0		= 0.
		α3

Итак, векторы a,

c линейно независимы и, следовательно,

образуют

базис. Координаты вектора

в этом базисе

обозначим α, β,

γ , т.е.

=α

+ β

+γ

, что,

согласно условию, равносильно системе

2 =α + β,

α = 4,

7 =

− 2β2 +

3γ,

β = −2,

5 =α

+γ

γ =1.

= 4

− 2

, т.е. в базисе {

} координатами вектора

Итак,

являются числа 4, -2, 1.

▲

1.7. В треугольнике АВС проведены медианы АД, ВЕ, CF. Показать, что

AD + BE +CF = 0.

1.8. Как должны быть связаны ненулевые векторы a и b , чтобы имели место соотношения:

−

;

;2)

;

=α

−

;

делит угол между векторами

пополам.

вектор

1.9.

Пусть О – центр правильного шестиугольника АВСДЕF (рис. 1.14). Найти сумму векторов

A O D

OA +OB +OC +OD +OE +OF .

F E

Рис. 1.14

1.10 . Пусть А, В, С, Д – некоторые точки пространства или плоскости, М – середина отрезка [AB], N – середина отрезка СД, О – середина отрезка [M

N]. Доказать, что 1) OA +OB +OC +OD = 0;

2)MN + MN = BC + AD ; 3) MN ≤ 12 (BC + AD ).

1.11.Доказать, что для неколлинеарных векторов a и b равенство

m1 a + n1b = m2 a + n2 b

равносильно системе равенств
m1 = m2 ,				n1 = n2 .
				неколлинеарны. При каком α векторы
1.12. Векторы	a	и	b	неколлинеарны. При каком α векторы

c = (α −1)a + b и d = (2 + 3α)a − 2b коллинеарны?

1.13 . Дан треугольник АВС. На прямых (АВ), (ВС), (СА), проходящих через А и В, В и С, С и А, выбраны соответственно точки M, N, P так, что

=α

= β

= γ

α, β,γ R .

При каком условии

векторы

CM ,

образуют

треугольник, т.е.

CM + AN + BP = 0?

1.14 . На сторонах ВС и СД параллелограмма АВСД взяты точки F и Е так, что BF : FC = µ ,

B	F	C	DE	:	EC	= λ, где	λ и µ - заданные

положительные числа (рис. 1.15). Прямые (FD) и (АЕ) пересекаются в точке О. Найти

Рис. 1.15

отношение FO : OD .

1.15. Показать, что векторы

образуют базис пространства R3 и

найти координаты вектора

в этом базисе:

d = (5,7,8);

= (4,5,2),

= (3,0,1),

= (−1,4,2),

= (3,−5,2),

= (4,5,1),

= (−3,0,4),

d = (−4,5,−16) ;

= (−2,3,5),

= (1,−3,4),

= (7,8,−1),

d = (1,20,1);

= (1,3,5),

= (0,2,0),

= (5,7,9),

d = (0,4,16).

1.16. Вычислить длину и направляющие косинусы вектора

, если:

A = (1,−2,3),

B = (0,−1,2);

A = (0,−3,6),

B = (−12,−3,−3);

A = (3,3,−1),

B = (5,5,−2);

A = (−1,2−,3),

B = (3,4,−6) .

1.17. Для векторов a = (1,5,3), b = (6,−4,−2), c = (0,−5,7),

d = (−20,27,−35) подобрать числа α, β, γ							так, чтобы векторы		,
								d
α		, β		, γ		образовывали замкнутую линию,	если начало последующего
	a		b		c
вектора совместить с концом предыдущего.

1.18. Даны радиусы – векторы вершин ∆ABC : rA = (3,2,1), rB = (1,4,1) rC = (1,2,3) . Показать, что треугольник равносторонний.

1.19.

Доказать, что точки A = (1,0,−2),

B = (−3,4,2), C = (0,1,3),

D = (2,−1,1) лежат в одной плоскости.

В ДСК вектор

образует один и тот же угол с осями коор-

1.20.

динат. Чему он равен?

Вектор

образует углы α = 45o ,

β = 60o , γ =120o с осями

1.21.

= 2. Найти координаты вектора

X, Y, Z соответственно,

В точке A = (−3,−2) приложена сила

, проекция которой Fy на

1.22.

ось Y равна –1, а проекция Fx на ось X положительна. Найти конец вектора

, изображающего эту силу, если

F = 5 2 .

1.23. Даны точки

A = (1,2),

B = (3,5),

C = (5,2) и

D = (2,−2) . В

1 =

2 =

3 =

точке А приложены силы

Найти проекции

на оси координат равнодействующей F этих сил и ее величину.

1.2. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произведение векторов. Ортогональная составляющая вектора вдоль другого вектора.

Пусть А и В – различные точки, заданные

радиусами-векторами rA и rB относи-

тельно полюса O , λ - положительное

число. Говорят, что точка М делит отре-

зок [AB] в отношении λ, если

= λ. При этом λ > 0 , если М

Рис. 1.16

внутри отрезка [AB], и λ < 0 , если М

вне его. В первом случае говорят, что точка М

делит отрезок [AB] внутренним

образом, во втором – внешним образом.

A = (xA , yA , zA ) и

B = (xB , yB , zB ),

Если известны координаты точек

то координаты точки M = (xM , yM , zM ) вычисляются по формулам:

+ λx

y + λy B

z + λz B

, y

(1.13)

1+ λ

1 + λ

Если М – середина отрезка [AB], то ее координаты (λ =1)

+ x

y + y B

z + z B

(1.14)

1 + λ

1+ λ

Равенства (1.13) равносильны векторному равенству

= (

+ λ

)

(1.15)

(1+ λ)

Скалярным произведением ненулевых векторов

называется число,

обозначаемое (

) и равное

(

) =

cosϕ,

(1.16)

где ϕ = (a,^ b) .

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение по определе-

нию равно нулю: (

0) = (0,b) = 0.

Скалярное произведение (

) , равное

2 ,

называется скалярным квад-

ратом вектора

и обозначается

т.е.

(

) =

2 =

2 .

(1.17).

Из этого равенства следует, что

a =

(a, a) .

(1.18)

Другим определением скалярного произведения является равенство

(

) =

пр

(1.19)

Скалярное произведение обладает свойствами: 1o.(a,b) = (b, a) (коммутативность).

2o.(λ

) = (

) = λ(

)

(ассоциативность), где λ R .

3o.(

) = (

) + (

)

(дистрибутивность).

4o . Ненулевые векторы a и b перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда , когда их скалярное произведение равно нулю, т.е.

(

) = 0

(1.20)

- условие ортогональности двух векторов.

5o.

↑↑

(

) =

;

↑↓

(

) = −

6o. (a,b) > 0 0 ≤ϕ < π

;

(a,b) < 0 π

< ϕ ≤ π.

7o. −

≤ (

) ≤

и проекция вектора

на вектор

Косинус угла между векторами

выражаются соответственно формулами :

(

)

;

cosϕ =

(1.21)

(

)

пр

(1.22)

= (ax , ay , az ),

= (bx ,by ,bz ),

Если в ДСК

то

(

) = (axbx + ayby + azbz ),

(1.23)

cosϕ =

axbx + ayby + azbz

2 ,

(1.24)

2 + ay

2 + az

2 +by

2 +bz

пр

b =

axbx

+ ayby + azbz

(1.25)

2 + ay 2 + az 2

В координатной записи условие ортогональности векторов

имеет

вид

axbx + ayby + azbz = 0.

(1.26)

Ортогональной составляющей вектора a вдоль вектора b называется вектор ab , коллинеарный b , такой что

d = a − ab b (рис. 1.17). Для вектора

ab справедлива формула

Рис. 1.17

b =

(

)

(a,b)

пр

(1.27)

- вектор перемещения точки под действием силы

, то работа

Если

этой силы

A = (

) .

(1.28)

1.24. Найти точку пересечения биссектрисы угла А

с противолежащей

стороной ВС треугольника АВС, если A = (4,1), B = (7,5), C = (−4,7). ∆ Из свойства биссектрисы внутреннего угла ∆ АВС известно, что

C D B

Рис. 1.18

AC	=	CD	= λ,	т.е. точка D де-
AC		CD

AB		DB

лит сторону СВ в отношение λ = AC / AB . Находим

AC =10, AB = 5 т.е. λ = 2. По

формулам (1.13) получаем

xD =

xc + 2xB

−

4 + 2

;

1+ 2

yD =

yc + 2yB

7 + 2 5

1+ 2

Итак, D = (10 / 3, 17 / 3).

▲

1.25. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины.

∆ B

M K

a Q

A	N	b	C

Рис. 1.19

Пусть в ∆ АВС точки К и М – середины сторон ВС и АВ соответственно, Q – точка пересечения медиан АК и СМ (рис. 1.19). Обозначим λ = CQ / QM ,

µ = AQ / QK и покажем, что λ = µ = 2. Положим AM = a (тогда AB = 2a), AC = b. По

формуле

(1.15)

деления

отрезка

[CM ]

точкой

Q в отношении λ

имеем

= (

+ λ

)/(1 + λ) .

Следовательно,

µ +1

+ λ

. Точка

К делит отрезок [СВ]

в отношении 1:1,

поэтому

1+ λ

= (

)/ 2 = (

+ 2

)/ 2 . Из последних двух равенств получаем

µ +1

+ λ

+ 2

(1.29)

1+ λ

Так как векторы

неколлинеарны, то из (1.29) вытекает, что

µ +1

= 1

λ = 2.

+ λ

Следовательно,

µ +1

µ = 2 . Итак, доказано, что точка Q,

принад-

лежащая медиане СМ, делит ее в отношении 2:1. Она лежит и на медиане АК и делит ее в том же отношении. Аналогичным образом устанавливается, что точка Q лежит и на медиане BN и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины В. Следовательно, все три медианы ∆ АВС пересекаются в одной точке и делятся

этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

▲

справедливы следующие

1.26. Доказать, что для любых векторов

равенства:

(

)2 =

2 +

2 ± 2(

) .

(1.30)

∆ Ограничимся случаем неколлинеарных векторов

(в случае кол-

линеарности равенства (1.30) также справедливы).

от одной точки :

. Рассмотрим

Отложим векторы

параллелограмм ОВСА (рис. 1.20 – 1.22).

a - b

a + b

a - b

a - b a + b

O = M

A = N

Рис. 1.20

Рис. 1.21

Рис. 1.22

Обозначим a = a , b = b , ϕ = (a,^ b) , M и N – основания перпенди-

куляров, опущенных на прямую (ОА) из точек В и С соответственно. По теореме Пифагора для треугольников АМВ и ONC имеем:

2 =

2 +

2 ,

2 =

2 +

2 .

(1.31)

В случае острого угла ϕ (рис. 1.20)

−

= a −b cosϕ,

MB = NC = bsin ϕ, ON = OA + AN = a + b cosϕ . Если ϕ = 90o (рис. 1.21), то AM = OA = a = a −b cosϕ, MB = NC = b = bsin ϕ,

ON = OA = a = a + b cosϕ . Если ϕ - тупой (рис. 1.22), то

AM = OA + OM = a +b cos(180o −ϕ) = a −b cosϕ,

MB = NC = bsin(180o −ϕ) = bsinϕ, ON = OA − AN = a + b cosϕ . Та-

ким образом, во всех случаях

= a −b cosϕ,

= bsin ϕ,

= a + b cosϕ . Тогда по формулам (1.31) имеем

(

−

)2 =

2 = (a −b cosϕ)2 + (bsinϕ)2 =

= a2 + b2 − 2ab cosϕ =

2 +

2 − 2(

(

)2 =

2 = (a +bcosϕ)2 +(bsinϕ)2 =

2 +

2 + 2(

▲

= a2 +b2 + 2abcosϕ =

1.27.

Пусть

- единичные векторы. Вычислить

− 4

+ 5

), если

a +b =

3 .

∆3 = a +b 2 = a2 +b2 + 2(a,b) =1+1+ 2(ab) (a,b) =1/ 2 . Тогда

(3a − 2b, 2a +5b) = 6a2 − 20b2 + 7(a,b) = 6 − 20 + 7 / 2 = −21/ 2. ▲

1.28. Найти угол ϕ между векторами a = i + j − 4k и

b = i − 2 j + 2k и проекцию вектора a + b на вектор c = 3i − 4 j +12k .

∆ Используя координатную форму скалярного произведения (1.23) и

формулы (1.21), (1.22), получаем
cosϕ =	(a,b)	=	1 1+1 (−2) + (−4) 2	= −	1	ϕ = 3π / 4,
	a b		12 +12 + (−4)2 12 + (−2)2 + 22		2

) =

(

)

(

) + (

)

= − 49 + 35 = −

пр

(

▲

1.29. Три силы F1 = (3,4,2), F 2 = (2,3,−5), F 3 = (−3,−2,4) при-

ложены к одной точке. Найти работу равнодействующей этих сил, когда ее точ-

ка приложения, двигаясь

прямолинейно,

перемещается

из положения

M1 = (5,3,−7) в положение

M 2 = (4,−1,−4) .

1 +

2 +

3 =

этих сил:

∆ Находим равнодействующую

= (2,5,1) . Вектор перемещения

= (−1,−4,3). По формуле (1.28)

M1M

искомая работа

= (

) = 2 (−1) + 5

(−4)

+1 3 = −19 .

▲

1.30. Длина ребра основания АВС правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна а. Точки M, N, P, Q – середины ребер AB, AC, A1C1 ,

C1B1 . Длина проекции вектора MP на прямую (NQ) = a / 4. Найти длину высоты призмы.

пр(NQ) MP

2 =

(

) 2

∆ По условию,

(формула 1.27). Пусть

. Тогда :

BB1

= a, (

) = a2 / 2, (

) = (

) = 0

(призма правильная). Иско-

мая длина h = c . Так как MP = (1/ 2)b + c, NQ = (−1/ 2)a + c, то

(MP, NQ) = −(1/ 4)(a,b) + c2 = h2 − a2 / 8,

NQ 2 = (1/ 4)(a)2 + c2 = h2 + a2 / 4 . Следовательно, для величины x = h2

получаем уравнение

(MP, NQ)2 = (x − a2 / 8)2 = (a2 /16)(x + a2 / 4) = (a2 /16) NQ 2 или

x2 − (5 /16)a2 x = 0 . Так как x ≠ 0 , то h2 = (5 /16)a2 , т.е. h = a 5 / 4. ▲

1.31. Вычислить длину медиан треугольника, зная координаты его вер-

шин: A = (3,−2), B = (5,2), C = (−1,4).

1.32. Отрезок АВ перемещается так, что концы его все время остаются на двух неподвижных прямых: конец А скользит по прямой, параллельной оси Х и проходящей над ней на расстоянии трех единиц; конец В скользит по прямой, параллельной оси Y и проходящей слева от нее на расстоянии двух единиц.

Определить положение концов отрезка в тот момент, когда середина отрезка совпадает с точкой М = (3, 1).

1.33.Прямая линия отсекает на оси Х отрезок ОА = 4 и на оси Y – отрезок ОВ = 7. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую.

1.34.Найти координаты центра тяжести ∆ АВС, если A = (x1 , y1 , z1 ),

B = (x2 , y2 , z2 ) , C = (x3, y3, z3 ) .

1.35.Найти центр тяжести четырехугольника однородной доски, зная, что

углы доски расположены в точках A = (4,4), B = (5,7), C = (10,10),

D= (12,4).

1.36.Вычислить координаты центра тяжести фигуры, размеры и форма

C	24		D

			2
14			E
		F

A	10	B

которой даны на рис. 1.23, приняв за оси координат прямые (АВ) и (АС).

Рис. 1.23

1.37. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

=11,

= 23,

−

= 30. Найти

и угол

1.38.

Дано:

ϕ = (

) .

ортогональны тогда и только тогда, ко-

1.39.

Доказать, что векторы

гда

−

(

)

ортогонален вектору

−

1.40.

Доказать, что вектор

1.41. Доказать, что скалярное произведение не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный другому вектору – сомножителю.

1.42.

В ∆ АВС

= c,

= b,

= a . Найти длину медианы

СМ.

+ 2

=1,

1.43.

Векторы

удовлетворяют условиям:

= 4 ,

= 2. Вычислить величину

µ = (

) + (

) .

1.44.

Дано:

= 3,

= 2,

(

) =120o. Найти длины векторов

p = a + 2b и q = 2a −b, их скалярное произведение и угол ϕ между ними.

1.45. Длины ненулевых векторов a и b равны. Найти угол ϕ между

этими векторами, если известно, что векторы p = a + 3b и q = 5a + 3b ортогональны.

1.46.В ∆ АВС проведены медианы АД, ВЕ и CF. Вычислить величину

λ= (BC, AD)+ (CA, BE)+ (AB,CF ).

1.47.Доказать, что при любом расположении точек А, В, С, Д на плоско-

сти имеет место равенство µ = 0, где µ = (BC, AD)+ (CA, BD)+

+(AB,CD).

1.48.В прямоугольной трапеции АВСД диагонали взаимно перпендикулярны, а отношение длин оснований BC : AD = λ. Найти отношение длин

диагоналей.

1.49.Определить угол между диагоналями АС и ВД выпуклого четырехугольника АВСД, если AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 .

1.50.Даны прямоугольник АВСД и точка М. Показать, что

а) (

)= (

);

б)

2 +

2 =

2 +

2 .

компланарны. Найти длину вектора

−

1.51. Векторы

= 3,

= 2 ,

= 5 и

(

) = (

) = π / 3.

если

1.52. Найти величины углов A,

B, C треугольника АВС с вер-

шинами A = (−1,−2,4), B = (−4,−2,0),

C = (3,−2,1) .

v = (1,−8,−7)

1.53. Вектор c , перпендикулярный к векторам a = (3,2,2) и b = = (18,−22,−5) , образует с осью Y тупой угол. Найти координаты вектора c , зная, что c =14.

1.54.Найти проекцию вектора a = (4,−3,2) на ось, составляющую одинаковые углы с осями координат.

1.55.Найти ортогональную составляющую вектора a вдоль вектора b :

1)		= (−1,2,1),		= (1,1,1) ;	2)		= (−2,1,−2),		= (3,0,3).
	a		b			a		b

1.56.Найти вектор х, коллинеарный вектору a = (2,1,−1), удовлетворяющий условию (x, a) = 3.

1.57.Вектор c перпендикулярен оси Z , и, кроме того, (c, a) = 9,

(c,b) = −4 , где a = (3,−1,5) , b = (1,2,−3). Найти вектор c по этим данным.

1.58. Скорость разложена по трем взаимно перпендикулярным направлениям, одно из которых задано вектором a = (2,2,1) . Найти составляющую скорости v в направлении вектора a .

1.59. Даны векторы a = (2,−1,3), b = (1,−3,2), c = (3,2,−4) . Найти вектор d , удовлетворяющий условиям (a, d) = −5, (b, d) = −11, (c, d) = 20 .

1.60.Найти вектор b , перпендикулярный оси Z, если b = 2 , (a,b) = 4,

где (a) = (1,2,−7) .

1.61.Найти единичный вектор e, перпендикулярный оси Y и вектору

a= (4,3,2) .

1.3.Определители 2-го и 3-го порядков. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Правило Крамера. Векторное произведение векторов.

Матрицей (квадратной) 2-го порядка называется таблица,

a	a	,
A = 11	12	,
a21	a22

а таблица вида

	a		a
	11		12
A =	a21		a22
	a	31	a	32

матрицей 3-го порядка. Определителем 2-го порядка

число

a13 a23 - a33

матрицы или детерминантом А называется

= det A =

a11

a12

= a

− a

(1.32)

a21

a22

Определителем 3-го порядка или детерминантом матрицы А называется

число

= det a21

a22

a23

= a

a22

a23

− a

a21

a23

+ a

a21

a22

(1.33)

a32

a33

a31

a33

a31

a32

Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными х ется система вида

a11x + a12 y = b1, a21x + a22 y = b2 ,

и у называ-

(1.34)

где коэффициенты a11, a12 , a21, a22 и свободные члены b1 и b2 - заданные

числа. Определители

∆ =

a11

a12

∆x =

a12

∆y =

a11

a21

a22

a21

называются главным (∆) и побочными (∆x , ∆y ) определителями системы

(1.34).

Если ∆ ≠ 0 , то единственное решение системы (1.34) находится по формулам (правилу) Крамера:

x = ∆x ,

y =

∆y

(1.35)

∆

Системой трех линейных уравнений с тремя

неизвестными х, у и z

называется система

a11x + a12 y + a13 z = b1,

a21x + a22 y + a23 z = b2 ,

(1.36)

x + a

y + a

z = b .

Определители

a11

a12

a13

a12

a13

∆ =

a21 a22

a23

∆x =

a22

a23

a31

a32

a33

a32

a33

a11

a13

a11

a12

∆y =

a21 b2

a23

∆z =

a21 a22 b2

a31

a33

a31

a32

называются главным (∆) и побочными (∆x , ∆y , ∆z )

определителями системы

(1.36).

Если ∆ ≠ 0 , то единственное решение системы (1.36) находится по формулам Крамера:

x =	∆x ,	y =	∆y	,	z =	∆z	.	(1.37)
			∆
	∆					∆

Определители обладают следующими свойствами

1o . Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то знак определителя изменится.

2o . Если две строки (два столбца) определителя равны нулю или пропорциональны, то определитель равен нулю.

3o . Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

4o . Если к строке (столбцу) определителя прибавить (поэлементно) линейную комбинацию других строк (столбцов), то величина определителя не изменится.

5o . Если каждый элемент i – й строки (i =1,2,3) определителя равен

сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых i-я строка составлена из первых слагаемых, у другого – из

вторых слагаемых, а в остальных строках те же слагаемые элементы, что и у исходного определителя, т.е., например,

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31 + b31

a32 + b32

a33 + b33

a11

a12

a13

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a31

a32

a33

b31

b32

b33

1.62. Вычислить определитель

−1

∆ По формулам (1.33) и (1.32) имеем:

= 2

−1

+ 0

−1

= 2 (−5 − 6) − (15 −8) = −29. ▲

1.63. По формулам Крамера решить систему уравнений:

x + y + 2z = −1, 2x − y + 2z = −4,

4x + y + 4z = −2.

∆ Находим главный и побочные определители системы:

	1	1	2			−1	1	2
	1	1	2			−1	1	2
∆ =	2	−1	2	= 6;	∆x =	− 4	−1	2	= 6;
	4	1	4			− 2	1	4

	1	−1	2		1	1	−1
	1	−1	2		1	1	−1
∆y =	2	− 4	2	=12 ; ∆z =	2	−1	− 4	= −12.
	4	− 2	4		4	4	− 2
По формулам (1.37) получаем: x =1,						y = 2, z = −2.			▲

1.64. Вычислить определители 2-го порядка:

−3

sinα

cosα

а)

;

б)

;

в)

;

− 6

cosα

sinα

г)

sinα

cosα

;

д)

a −b

;

е)

a2m

sin β

cos β

a2 + ab + b2

1.65. Вычислить определители 3-го порядка:

−3 2

5 − 2

−3

а)

;

б)

;

в)

;

0 − 2

− 2 0

1 −1 1

a −b a −b

г)

2 0 4

;

д)

1 −1 2

;

е)

a −b

a +b

;

−1 3 2

3 2 0

a + b a +b

sinα

ж)

sin β

cos β

;

з)

cosα

1.66. Решить системы двух уравнений с двумя неизвестными:

3x + 2 y = 7,	ax −3y =1,
а)	б)
4x −5y = 40.	ax − 2 y = 2.

mx − ny = (m − n)2		,	(при m ≠ 2n ).
в)	2x − y = n

1.67. С помощью правила Крамера решить системы трех уравнений с тремя неизвестными:

а)

в)

д)

2x −3y + z = 2,x +5y − 4z = −5,

4x + y −3z = −4;

3x + 2y − z = 0,2x − y +3z = 0,

x + y − z = 0;

x + 2y +3z = 5,2x − y − z =1,

x +3y + 4z = 6.

б)

г)

2x − 4y + 3z =1,

x − 2y + 4z = 3,3x − y + 5z = 2;

	2x − y + z = 2,
3x + 2y + 2z = −2,
	x − 2 y + z =1;

Векторным произведением векторов a и b называется третий вектор c ,

обозначаемый [ a ,b ] и удовлетворяющий следующим условиям:

1o .

[

]

sinϕ,

ϕ = (

) .

(1.38)

2o .

3o .

в указанном порядке образуют правую тройку.

Векторы

с = [a , b]

Это означает, что если начала векторов

a , b и c совместить, то из конца вектора

c кратчайший поворот от

виден

против часовой стрелки (рис. 1.24)

Векторное произведение обладает

следующими свойствами:

1o .

Рис. 1.24

Длина вектора

= [

]

численно равна площади параллелограмма,

построенного на векторах х a и b , приведенных к общему началу:

S = [a,b] .

2o . Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны, т.е.

[

] = 0 -

(1.39)

условие коллинеарности двух векторов.

3o . [

] = −[

] -

(1.40)

антикоммутативность векторного произведения.

4o . [λ

] = [

, λ

] = λ[

] -

(1.41)

ассоциативность векторного произведения.

5o . [

] = [

] +[

] -

(1.42)

дистрибутивность векторного произведения.

Если rA - радиус-вектор точки А,

F = AB - сила, приложенная в точке

(рис. 1.25), то момент этой силы относи-

тельно точки О выражается формулой

= [

A ,

(1.43)

Рис. 1.25

Если тело вращается вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью ω , то мгновенная линейная скорость v точки М с радиусом-вектором rM определяется вектором

v = [ω, r M ].

Если в ДСК a = (x1, y1, z1) , b = (x2 , y2 , z2 ) , то в координатной форме векторное произведение

[

] =

(1.44)

Вектор [

]] называется

двойным векторным произведением. Его

можно вычислить по формуле

[

]]=

(

) −

(

) .

(1.45)

1.68. При каком α векторы

=α

+ 5

= 3

−

коллинеарны, ес-

ли

неколлинеарны?

∆

Согласно условию коллинеарности (1.39) и свойствам векторного про-

изведения (1.40) – (1.42), имеем: p // q [ p, q] = 0

[αa + 5b,3a −b] = 3α[a, a] +15[b, a] −α[a,b] −5[b,b] =

=15[b, a] +α[b, a] = (15 +α)[b, a] = 0.

Так как

неколлинеарны, то это равенство возможно, если

15 +α = 0 α = −15 .

Итак, векторы

будут коллинеарны при

α = −15.

▲

1.69. Вычислить площадь параллелограмма, три вершины которого нахо-

дятся в точках A = (4,3,2), B = (2,3,4),

C = (1,1,1).

∆ Образуем векторы

= (−2,0,2)

= (−3,−2,−1). Тогда

искомая площадь

s = [a,b] = − 2 0

2 = 4i −8 j + 4k = 16 + 64 +16 = 4 6 . ▲

−3

− 2

−1

1.70. Три силы F1 = (2,−1,−3), F 2 = (3,2,−1), F 3 = (−4,1,3) прило-

жены к точке B = (−1,4,−2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки A = (2,3,−1) .

∆ Находим равнодействующую трех сил F = F1 + F 2 + F 3 = (1,2,−1).

Искомый момент M = [AB, F]. Так как AB = (−3,1,−1), то

−3 1 −1

− 4

−7

−1

Величина этого момента M = 66 , а направляющие косинусы:

cosα = M x

= 1

cos β =

M y

= − 4

cosγ = M z

= − 7

▲

1.71.

Найти координаты двойного векторного произведения [

]], ес-

ли

= (2,−3,1),

= (−3,1,2),

= (1,2,3).

∆

Воспользуемся

формулой

(1.45).

Имеем: (

) = −1,

(

) = (3,−1,−2) ;

(

) = −7,

(

) = (−7,−14,−21) . Тогда [

]]=

= (3,−1,−2) −(−7,−14,−21) = (10,13,19) .

▲

1.72.Доказать тождество [a,b]2 + (a,b)2 = a b 2 .

1.73.Найти координаты векторного произведения [2a + b,b], если

перпендикулярным к вектору a = (1,1,2) .

1.75. Проверив, что векторы a = (1,0,−1), b = (−1,1,0), c = (2,0,−3)

некомпланарны, найти единичный вектор d , ортогональный векторам a и b . 1.76. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

= (−1,3),

= (1,2) .

1.77.

Вычислить площадь треугольника с вершинами

в точках

A = (−1,0,−1) , B = (0,2,−3), C = (4,4,1) .

. Выразить векторы 1) [

−

]

1.78. Даны векторы

2) [(

) / 2,

−

/ 2]через вектор

= [

1.79.

Три ненулевых вектора

связаны соотношениями

= [

]. Найти длины этих векторов и угол ϕ между ними.

1.80 .

по

Даны

разложения

векторов

базису

2 ,

3 }:

= (ax , ay , az ),

= (bx ,by ,bz ). Разложить вектор [

]

по век-

торам

1 =[

2 ,

3 ],

2 =[

3 ,

1],

3 =[

2 ].

1.81.Найти синус угла ϕ между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = (2,1,−1), b = (1,−3,1).

1.82.Найти синус угла ϕ вектора c = (1,3,1) с плоскостью, порождаемой векторами a = (2,−1,3) и b = (1,0,1) .

1.83.Вектор c , перпендикулярный к оси Z и к вектору a = (8,−15,3), образует острый угол с осью Х. Зная, что c = 51, найти его координаты.

1.84.Доказать, что площадь S треугольника , векторы сторон которого равны векторам медиан треугольника АВС составляет 3 / 4 площади δ треугольника АВС.

1.85 . Дан треугольник АВС. На прямых (АВ), (ВС), (СА) выбраны соот-

ветственно точки M, N, P так, что

=α

, .

AB,

=α

. При каком значении α площадь S(α) треугольника, векторы

сторон которого

наименьшая ?

1.86. Вычислить [[

], если

= (2,−3,1),

= (−3,1,2) и

= (1,2,3) .

1.87 . При каком необходимом и достаточном условии справедливо равен-

ство [[

]= [

]]?

1.88. Проверить справедливость равенства

[[

]+ [[

]= 0 .

1.4. Смешанное произведение векторов.

(

) трех векторов

называется

Смешанным произведением

число

(

) = ([

(1.46)

Смешанное произведение обладает

свойствами:

1o . Смешанное произведение (

)

равно объему v ориентированного

параллелепипеда, построенного на

приведенных к общему началу не-

V > 0

компланарных векторах

(рис.1.26). Это означает, что v > 0, если

Рис. 1.26

тройка векторов a,b и c правая, и v < 0, если эта тройка левая.

2o . Смешанное произведение векторов a,b и c равно нулю, если эти векторы компланарны. Другими словами, равенство

(

) = 0

(1.47)

является условием компланарности трех векторов.

3o . Если в правом ортонормированном базисе {

}

= (ax , ay , az ) ,

= (bx ,by ,bz ),

= (cx ,cy ,cz ) , то

(

) =

(1.48)

координатная форма смешанного произведения.

4o . Базис {

}

является

правым тогда и только тогда, когда

(

) > 0.

5o . (

) = (

) = −(

6o . Если

= ax

1 + ay

2 + az

3 ,

= bx

1 + by

2 + bz

3 ,

= cx

1 + cy

2 + cz

3 , то

(a,b,c) =

(1.49)

e ,e

7o . Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей:

(λa + µd,b, c) = λ(a,b, c) + µ(d,b, c) , (a,λb + µd,c) = λ(a,b, c) + µ(a, d, c), (a,b, λc + µd) = λ(a,b, c) + µ(a,b, d) .

8o .	D		Объем тетраэдра, построенного на трех
8o .		C	Объем тетраэдра, построенного на трех
c		C	некомпланарных векторах как на ребрах,
c	h	b	приведенных к общему началу А, равен
			(1/6)-й модуля смешанного произведения
A			этих векторов (рис. 1.27).
A
	a	B
	Рис. 1.27

1.89.

Даны вершины тетраэдра A = (0,0,2) ,

B = (3,0,5),

C = (1,1,0),

D = (4,1,2) . Найти его объем и длину высоты h,

опущенной из вершины D.

(рис. 1.27).

∆ Имеем v =

(

)

Sосн h .

Sосн

[

]

(

, AC,

)

[AB, AC]

Так как

= (3,0,3),

= (1,1,−2)

= (4,1,0) , то

[AB, AC] = mod 3

3 = −3i +9 j +3k = 3 41;

− 2

(

)

(

])

4 (−3) +1 9 + 0 3

−3

= 3.

Значит, h = 3/ 3 11 =1/

11 .

▲

Докажите, что если [

] +[

] =

, то векторы

ком-

1.90.

планарны.

≠

∆

Умножая

данное

равенство

скалярно на

получаем

0 = (

]) + (

[

]). Так

как (

]) = [

]) =

по

свойству смешанного произведения, то (a,b, c) = 0, что и означает компланарность этих векторов. ▲

1.91. Доказать, что если векторы [a,b],[b, c],[c, a] компланарны, то они коллинеарны.

1.92 . Доказать тождество

[[a,b],[c, d]]= c(a,b, d) − d(a,b, c).

1.93 . Доказать, что

([a,b],[b, c],[c, d ])= (a,b, c)2 .

1.94. Определить ориентацию тройки векторов a = i + j , b = i − j ,

c = k .

1.95.Образуют ли векторы a = (2,3,−1), b = (1,−1,3) , c = (1,9,−11) ба-

зис в R3 ?

1.96.Доказать тождество (a + c,b, a + b) = −(a,b,c).

1.97.Доказать, что для любых векторов a,b,c векторы

a −b, b − c, c − a компланарны. Каков геометрический смысл этого факта? 1.98. Компланарны ли векторы a = (5,−1,4),b = (2,3,−1),c = (4,3,2)? 1.99. Лежат ли точки A = (3,1,4), B = (−1,1,6), C = (5,2,2),

D = (−1,6,1) в одной плоскости?

1.100. При каком α компланарны векторы

a = (1,−2,1), b = (7,α,−13), c = (3,1,−2)?

1.101. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.

1.102. Найти вектор c, c =13, ортогональный векторам a = (1,4,0) , b = (1,0,3) и направленный так, что упорядоченная тройка a,b,c - правая.

1.103 . Найти вектор x , образующий с данными векторами a,b,c равные углы.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб58Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб71Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб111Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб21Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб31Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб24Шилкин Тесты.PDF