ЛЕКЦИЯ 9

Линейные операторы и их матрицы

Понятие линейного оператора является одним из основополагающих понятий линейной алгебры.

Линейным оператором f линейного пространства L называется функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1.областью определенияD( f ) = L , т.е. все пространство L;

2.множество значений E( f ) L ;

3.для любых двух векторов x1 и x2 L и любых α, β R

выполняется равенство f (αx1 + βx2 ) = αf (x1) + βf (x2 ) Другое определение:

Пусть V и W – два линейных пространства. Отображение A:V →W называется линейным оператором, если A(αx1 + βx2 ) = αAx1 + βAx2 ,

x1, x2 V и α, β R

Если V и W являются подмножествами числового множества R, то оператор называется функцией.

Из определения линейного оператора следует более общее соотношение, которому он удовлетворяет:

A(α1x1 +α2 x2 +K+αn xn ) = α1 Ax1 +α2 Ax2 +K+αn Axn

xi V , αi R,i =1,n .

Вектор y = Ax называется образом вектора x V , а вектор x V называется прообразом вектора y = Ax или y = f (x) .

Оператор, переводящий любой вектор x L в нулевой вектор, называют нулевым оператором (или любой вектор x V переводит в δ W ). Очевидно, что этот оператор является линейным. Нулевой оператор обозначается символом O , то O(x) = 0.

Оператор, переводящий любой вектор x в себя, называется тождественным или единичным. Его записывают так: E(x) = x .

Оператор переводящий любой вектор x в вектор λx , где λ - фиксированное число, называется оператором подобия. Записывают f (x) = λx или Ax = λx .

Оператор подобия линеен. В самом деле, применим, оператор подобия к

вектору x =αx1 + βx2 получим

f (αx1 + βx2 ) = λ(αx1 + βx2 ) =α(λx1) + β(λx2 ) =αf (x1) + βf (x2 ).

При λ = −1 оператор называется противоположным оператору f. При λ = 0 и λ =1 оператор подобия превращается в нулевой и тождественный операторы соответственно.

Если операцию дифференцирования функций рассматривать как оператор, то он также является линейным, ибо производная от суммы равна сумме производных, α производная от произведения функции на число равна

произведению производной на это число, т.е. условие 3. определения выполняется. Конечно, функции должны быть бесконечно дифференцируемы на (a,b).

Матрица линейного оператора в заданном базисе

Пусть Vn линейное пространство с базисом, e1,e2 ,K,en а Wm – ЛВП с базисом u1,u2 ,K,um . Пусть A :Vn →Wm - линейный оператор. Любой вектор

Ax = A(x1e1 + x2e2 +K+ xnen ) = x1 Ae1 + x2 Ae2 +K+ xn Aen .

Таким образом, мы получили, что оператор задан, если известны образы базисных векторов Ae1, Ae2 ,..., Aen . Но все они принадлежат пространству W,

поэтому они однозначно различаются по базису u1,u2 ,...,um , т.е.

m

Ae1 = a11u1 + a21u2 +K+ am1um = ∑ai1ui

i =1 m

Ae2 = a12u1 + a22u2 +K+ am2um = ∑ai2ui

i =1

LLLLLLLLLLLLLLLLLL

m

Aen = a1nu1 + a2nu2 +K+ amnum = ∑ainui

i=1

т.к. вектор Ax тоже принадлежит W, то аналогично:

Ax = y1u1 + y2u2 +...+ ymum .

Отсюда, поскольку разложение единственно, получаем равенство

Эти равенства дают формулы для вычисления координат y1, y2 ,K, ym вектора y = Ax при линейном отображении A:V →W через координаты x1, x2 ,K, xn вектора x V .

Таким образом, из этих равенств следует, что при заданных базисах e1,e2 ,K,en пространства V и u1,u2 ,...,um пространства W линейный оператор A:V →W полностью определяется матрицей:

am1 am2 Kamn

Матрица A, столбцами которой являются координаты вектора Ae1 KAen в базисе u1,u2 ,...,um пространства W, называется матрицей линейного оператора

в выбранных базисах. Строки этой матрицы образуют коэффициенты разложения координат вектора y = Ax по координатам вектора x .

В силу единственности разложений векторов по базису матрица A линейного оператора при fix базисах пространства V и W определяется однозначно.

Если от координатной формы записи перейти к матричной, мы получим

умножение матрицы на вектор обладает линейными свойствами, то любую прямоугольную матрицу можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора. Таким образом, между множеством матриц и линейных операторов устанавливается взаимнооднозначное соответствие, поэтому в дальнейшем и матрицы и операторы будем обозначать одними и теми же буквами, т.е. если А оператор, то А - его матрица.

Если пространство W совпадает с V, то матрица А линейного оператора A :V →V будет, очевидно, квадратной.

Пример 1) Пусть А - оператор подобия, т.е. y =Аx = λx Если x R3 и i , j,k базис в R3 , то

Аi = λi = λi + 0 j + 0k = (λ,0,0)T

Аj = λj = 0i + λj + 0k = (0,λ,0)T

Аk = λk = 0i + 0 j + λk = (0,0,λ)T

λ 0 0

А= 0 λ 0 - матрица оператора

0 0 λ

Пример 2) Пусть А - зеркальное отображение вектора плоскости R2 относительно оси OX.

Тогда Аi = i =1 i +0 j, А j = − j = 0 i −1 j

Упражнение: Записать оператор зеркального отражения векторов пространства R3 относительно плоскости XOZ.

Пример 3) Пусть А – ортогональное проектирование векторов пространства R3 па плоскости XOY. Линейность этого оператора следует из линейных

свойств проекций векторов, т.к. при этом имеем Аi = i , А j = j , Ak = 0 , то матрица данного оператора

Пример 4) Пусть А:R3 →R2 – линейный оператор, для которого Аx = y , где

если воспользоваться тем, что ее строки составлены из коэффициентов разложения координат вектора y по координатам вектора x , т.е.

y1 =1 x1 −1 x2 + 0 x3 a11 =1, a12 = −1, a13 = 0 y2 = 0 x1 +1 x2 + 2 x3 a21 = 0, a22 =1, a23 = 2

Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

Пусть в Rn заданы два базиса e1,e2 ,K,en и e1′,e2′,K,en′, которые будем называть старым и новым соответственно. Как изменяются координаты вектора

x при переходе от базиса старого к новому? Т.к. e1,e2 ,K,en базис, то через него можно выразить любой вектор Vn , в том числе и векторы e1′,e2′,K,en′:

e1′ = t11e1 +t21e2 +K+tn1en

LLLLLLLLLLL

en′ = t1ne1 +t2ne2 +K+tnnen

α1′,α2′,Kαn′ в новом базисе, то связь между этими координатами выражается

Матрица T является невырожденной, т.к. в противном случае ее столбцы, а, значит, и векторы α1′,α2′,Kαn′ были бы линейно зависимы, что противоречит их выбору в качестве базисных векторов. Таким образом, для матрицы T

Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Выясним, как преобразуется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому.

Пусть e1,e2 ,K,en и e1′,e2′,K,en′ два базиса Vn , а T - матрица перехода от

связанные таким соотношением называются подобными, т.к. выражают один и тот же оператор, но рассматриваемый в разных базисах с матрицей перехода T .

Возникает проблема: как найти для матрицы A такую матрицу T , чтобы

T −1 AT стала как можно проще. А, как известно, самой простой является диагональная матрица.