ЛЕКЦИЯ 8

Рассмотрим однородную систему

Или в матричной форме: Αx = 0 .

Эта система всегда совместна, т.к. она имеет нулевое решение x1 = x2 = ... = xn = 0 . Возникает вопрос: при каких условиях система (6) имеет и

ненулевые (нетривиальные) решения.

По теореме Кронкера-Капелли, это будет тогда и только тогда, когда r(Α) < n . Если r(Α) = n и матрица Α квадратная, то система имеет единственное нулевое решение.

Если в квадратной системе r(Α) < n , то система имеет ненулевое решение. То, что r(Α) < n , означает, что определитель системы равен нулю, т.е. для

того, чтобы однородная система линейных уравнений Αx = 0 , состоящая из n уравнений с n неизвестными, имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Α = 0 .

Докажем некоторые свойства решений однородной системы (6):

Поставим задачу нахождения таких линейно независимых решений, через которые линейно выражались бы все остальные решения системы, т.е. будем искать базис в пространстве решений.

Линейно независимая система решений x(1) , x(2) ,..., x(n) называется фундаментальной, если каждое решение системы (6) является линейной комбинацией решений x(1) , x(2) ,..., x(k ) .

Приведём без доказательства следующую теорему:

1

- если r(Α) = r < n , то система (6) имеет (n −r) линейно независимых решений, т.е. обладает фундаментальными системами решений.

Найдём фундаментальные системы решений для системы (6).

Пусть r(Α) = r < n и пусть для определённости базисный минор D r -го порядка расположен в верхнем углу матрицы Α:

Придадим свободным неизвестным xr+1,..., xn последовательно следующие (n −r) наборов значений:

1)xr+1 =1, xr+2 = 0,..., xn = 0

2)xr+1 = 0, xr+2 =1,..., xn = 0

(n −r) ) xr+1 = 0, xr+2 = 0,..., xn =1

При этом получим (n −r) решений системы (6), которые находятся лю-

Эти решения образуют матрицу:

x(1) ,..., x(n−r) линейно зависимы. Это и есть ФНСР.

Можно было бы придавать свободным неизвестным xr+1,..., xn произ-

вольные наборы значений, лишь бы определитель, составленный из этих наборов, был отличен от нуля. Но если в качестве наборов свободных неизвестных выбираются строки матрицы Εn−r , то это удобнее всего, и такая система фун-

даментальных решений называется ФНСР. Общее решение системы (6) имеет вид:

2

системы (4).

Решение:

3

Линейные неравенства и их применение в экономике.

Множество точек называется выпуклым, если наряду с любыми его точ-

ками x(1) и x(2) оно содержит и все точки отрезка, соединяющего эти точки. Например:

r (1) + x(1) x = r x(1) x = r − r (1) .

4

a1x1 + a2 x2 > c и a1x1 + a2 x2 < c соответственно. Общей границей этих полуплоскостей является множество точек прямой.

вом Ax + By + Cz + D < 0 , причём эти полупространства есть выпуклые множества. Для доказательства достаточно взять две точки, провести отрезок между ними и подставить в соответствующее неравенство.

По аналогии определяются и полупространства в R4 .

Η+ : a1x1 + a2 x2 +... + an xn > c ,

Η−: a1x1 + a2 x2 +... + an xn < c .

Гиперплоскость a1x1 + a2 x2 +... + an xn = c , являясь общей границей полу-

пространств Η+ и Η−, отделяет одно от другого. Системой линейных неравенств называется система:

Каждое неравенство этой системы определяет полупространство, которое является выпуклым множеством. Решением же системы (11) является пере-

сечение этих полупространств, т.е. выпуклым множеством в пространстве Rn , ограниченном гиперплоскостями αi1x1 + ai2 x2 +... + ain xn = bi , i =1, m .

Вектор a = (a1, a2 ,..., an ) Rn называется градиентом гиперплоскости (10) a1x1 + a2 x2 +... + an xn = c .

Покажем, что в направлении вектора a (вектора нормали плоскости), значение выражения a1x1 + a2 x2 +... + an xn возрастает.

В самом деле, уравнение луча, исходящее из произвольной точки x0 ги-

Системы линейных неравенств используются при построении линейной модели производства, которая описывает производство продукции и расход ресурсов в единицу времени. Система неравенств (11) описывает модель произ-

6

водства и видов продукции x1, x2 ,..., xn с использованием m видов производственных ресурсов, имеющих запасы ресурса i в количестве bi , причём требуется aij ресурса i для производства единицы продукции x j .

Пример:

Предприятие имеет возможность выпускать два вида продукции Π1 и Π2 , имея в расположении три вида ресурсов Ρ1 , Ρ2 и Ρ3 . Нормы расхода ресурсов и

запасы сырья заданы в таблице. Составить оптимальный план выпуска продукции.

Составим математическую модель задачи. Пусть выпускается x1 единиц продукции Π1 и x2 единиц продукции Π2 . Тогда затраты ресурсов не должны превосходить запасов сырья.

При этом мы должны получить максимальный доход: f = 5x1 + 2x2 → max

Для решения этой задачи:

1.строим многоугольник членов;

2.строим вектор-градиент максимизируемой функции;

3.перпендикулярно вектору-градиенту через начало координат проводим прямую (гиперплоскость);

4.параллельно перемещая её (гиперплоскость) в направлении градиента, получим оптимальный план на множестве дополнительных планов.

Строим прямые:

Определяем полуплоскости, задаваемые неравенствами (просто подставляем точку (0,0) в каждое).

7

Видим, что максимальное значение функции f = 5x1 + 2x2 достигается в крайней точке множества допустимых планов x1 = 7 , x2 = 3.

fmax = 5 7 + 2 3 = 35 + 6 = 41, т.е. необходимо выпускать 7 единиц продукции Π1 и 3 единицы продукции Π2 . При этом остаются неиспользованными 5

единиц ресурса Ρ1 . Ресурсы Ρ2 и Ρ3 используются целиком.

В моделях с большим количеством продукции и ресурсов используется

аналогичный метод, но количество крайних точек очень велико, порядка nm . (В симплекс-методе число итераций обычной равно числу ограничений).

8