ЛЕКЦИЯ 7

Рассмотрим матрицу Αm×n :

столбцов и вычеркнем их.

Минором k -ого порядка Μk матрицы Α называется определитель k -ого

порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов.

Рангом матрицы Α называется наивысший порядок её отличных от нуля миноров.

Матрицы Α и Β, имеющие равные ранги, называются эквивалентными. Пример:

Вычислить ранг матрицы

Далее нужно проверить все Μ3 , пока не найдём хотя бы один отличный от

нуля. Если все Μ3 = 0 , то r(Α) = 2 .

На практике обычно достаточно проверить не все миноры 3-го порядка, а только окаймляющие, т.е. содержащие в себе минор 2-го порядка, отличный от нуля.

Если какой-либо минор 2-ого порядка матрицы Α отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры (r +1) -го порядка равны нулю, то r(Α) = r .

1

сложения. Если написать это равенство, получим 2a(1) −3a(2) − a(3) = 0 . Аналогично, i -ю строку матрицы (1) можно рассматривать как вектор-

строку a(i) = (ai1, ai2 ,..., ain ),i =1, m .

Строки матрицы Α (1) называются линейно зависимыми, если существуют числа α1,α2 ,...,αm , не все равные нулю, такие, что выполняется равенство:

α1 a(1) +α2 a(2) +... +αm a(m) = 0 (2)

Для матрицы (1) линейная зависимость строк равносильна тому, что некоторая строка является линейной комбинацией остальных строк.

Всё вышесказанное справедливо и для столбцов. Упражнение:

Сформулировать (2) для столбцов.

Если равенство (2) выполняется лишь при α1 =α2 =... =αm = 0 , то строки

матрицы Α называются линейно независимыми.

Например, в Εn строки (столбцы) линейно независимы.

Докажем следующее утверждение:

- Для того чтобы строки матрицы были линейно зависимые, необходимо и достаточно, чтобы одна из них выражалась через остальные.

Доказательство: Необходимость.

Пусть строки линейно зависимы, т.е. верно (2). Тогда по определению не все

2

a(k ) = γ1 a(1) +γ2 a(2) +... +γk −1 a(k −1) +γk +1 a(k +1) +... +γm a(m) .

Оказывается, что у любой матрицы число линейно независимых строк равно числу линейно независимых столбцов. Это утверждение доказывается в более полных курсах математики.

Теорема (о ранге матрицы):

Если ранг матрицы равен r , то в этой матрице существует r линейно независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

(Без доказательства).

Базисным минором матрицы Α назовём отличный от нуля её минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, назовём базисными.

Практически ранг матрицы и базисный минор находятся с помощью элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1.транспонирование

2.перестановка строк (столбцов) местами

3.умножение всех элементов строки (столбца) на любой число α ≠ 0 .

4.прибавление ко всем элементам строки 9столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Эти преобразования не меняют её ранга. Любую ненулевую матрицу Α можно привести с помощью элементарных преобразований к виду:

3

где на диагонали стоит r единиц, а остальные элементы раны нулю.

Ясно, что ранг такой матрицы равен r , следовательно, и ранг исходной матрицы тоже равен r .

Пример:

Найти ранг матрицы

На практике достаточно привести к виду трапеции. В левом верхнем углу сразу имеем базисный минор.

Если эти преобразования записать в общем виде для матрицы (1), то получим эквивалентную матрицу Β:

независимы. Для этого составим линейную комбинацию векторов-строк b(1) ,b(2) ,...,b(r) матрицы Β и приравняем её к нулю:

α1b(1) +α2 b(2) +... +αr b(r) = 0 (3)

Равенство (3) перепишем в координатной форме:

4

Так как b11 b22 ... brr ≠ 0 , последовательно получаем, что α1 = 0 , α2 = 0 ,…, αr = 0 . Таким образом, равенство (3) выполнимо лишь при всех αi = 0,i =1, r , что и означает линейную независимость первых r строк матрицы Β, т.е. r(Β) = r = r(Α) ,

т.к. Α ~ Β.

Теорема:

Для того, чтобы ранг матрицы Α был равен r , необходимо и достаточно, чтобы существовал отличный от нуля минор порядка r , а всякий минор (r +1) -ого

порядка равен нулю. (Доказательство см.5, ч., стр.88). Достаточность.

Пусть существует минор r -го порядка, отличный от нуля, а всякий минор (r +1) -ого порядка равен нулю. Тогда матрица имеет r линейно независимых строк. Если при этом предположить, существование ещё одной строки (r +1) -й, образующей с данными r строками линейно независимую систему, то найдётся минор (r +1) -го порядка, отличный от нуля, что противоречит условию.

Теорема доказана.

Практически эта теорема означает, что базисные строки (столбцы) матрицы Α линейно независимы, а любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов) матрицы.

Докажем ещё одну теорему:

Для того, чтобы определитель n-го порядка матрицы Αn×n равнялся нулю,

необходимо и достаточно, чтобы её строки 9столбцы) были линейно зависимыми. Доказательство:

Необходимость.

Пусть Α = 0. Элементарными преобразованиями приводим матрицу Α к треугольному виду:

5

Элементарные преобразования не меняют значения определителя ( по свойству 8°8). По свойствам 2° и 4°, преобразования определителя либо меняют его знак на противоположный, либо умножают его значение на число k ≠ 0 . Отсюда следует, что:

Β = k Α , где k ≠ 0 , т.е. Β = b11 b22 ... bnn = 0 .

Это означает, что хотя бы один из элементов b11,b22 ,...,bnn равен нулю, что равносильно r(Β) = r(Α) < n . Отсюда и из определения ранга матрицы Α вытекает

линейная зависимость её строк. Достаточно:

Если строки определителя линейно зависимы, то по свойству 3° и 7° он равен нулю.

Следствие 1:

Для того, чтобы определитель квадратной матрицы Α был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы её ранг был меньше n, т.е. Α = 0 r(Α) < n .

Или:

Для того, чтобы определитель n-го порядка матрицы Α равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы её строки (столбцы) были линейно зависимы.

Следствие 2:

Для того, чтобы определитель n ×n матрицы Α был отличен от нуля, необходимо и достаточно, чтобы её строки (столбцы) были линейно независимы или r(Α) = n .

независимы), необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Α строками или столбцами которой служат данные векторы, был равен нулю (отличен от нуля).

Получим необходимые и достаточные условия совместности произвольных линейных систем вида (4).

Составим матрицу:

6

,

которая называется расширенной матрицей системы и получается из основной матрицы добавлением к ней столбца свободных членов.

Ясно, что r(Β) ≥ r(Α) , т.к. каждый минор матрицы Α будет минором матрицы Β, но не наоборот.

Теорема (Кронкеля-Капелли):

Для совместности системы (4) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы системы: r(Α) = r(Β) .

Доказательство: Необходимость.

Пусть система совместна. Значит, существуют числа x1 =α1,..., xn =αn , что:

Это означает, что последний столбец расширенной матрицы Β является линейной комбинацией остальных её столбцов. Его можно вычеркнуть, не

столбцов матрицы Α (и Β одновременно). По условию, последний столбец матрицы Β является линейной комбинацией базисных, а, следовательно, и всех столбцов матрицы Α. Это значит, что существуют числа α1,α2 ,...,αn , что

выполняется равенство (5), т.е. вектор (α1,α2 ,...,αn )T является решением системы

(4), т.е. система совместна. Утверждение доказано. Следствие:

Если r(Α) ≠ r(Β) , то система несовместна.

7