ЛЕКЦИЯ 6

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 466 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

, ( p > 0) , то каноническим

,0 , а уравнение директрисы

Кривые и поверхности второго порядка Кривые второго порядка

Уравнением линии называется такое уравнение между переменными x и y ,

которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они. Наша задача заключается в том, чтобы научиться для данного множества

точек (данной линии) найти его уравнение и, наоборот, по данному уравнению, связывающему координаты x и y построить линию, определяемую этим

уравнением.

1. Окружность.

Пусть точка C(a,b) - центр окружности, а ее радиус равен R . Как известно, окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от

центра,	т.е.	CM = R ,	или	(x −a)2 + ( y −b)2 = R ,	откуда
(x −a)2 +( y −b)2		= R2			(1)

C M

Если центр окружности находится в начале координат, то (1) принимает вид

x2 + y2 = R2 ,

(2)

2. Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами и равна

2a .

Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение

эллипса имеет вид	x2	+	y2	=1 (a > 0,b > 0)	(3)
	a2		b2

Это каноническое уравнение эллипса. Из (3) видно, что эллипс симметричен

относительно осей					OX ,OY .	Если x = 0, y = ±b, а при y = 0, x = ±a . Точки
(±a,0)			и (0,±b) называются вершинами эллипса. Так же нетрудно видеть, что
	x	≤ a,	y	≤ b , т.е.	эллипс	целиком расположен внутри прямоугольника,

образованного прямыми x = ±a, y = ±b . Числа a и b называются полуосями

эллипса. Будем считать, что		b < a. При	b = a = R эллипс	становится
окружностью	(2).	Обозначим	c2 = a2 −b2 .	Величина

ε =

a2 −b2

1−

называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно

0 ≤ ε <1.

Точки

F1 (−c,0)

F2 (c,0) называются фокусами эллипса, а

расстояние от фокуса до любой точки M эллипса – фокальным радиусом этой

точки. Общий вид эллипса следующий:

− a

F1 a

−b

Если центр эллипса находится в точке C(x0 , y0 ) , то уравнение эллипса имеет

вид:	(x − x )2	+	( y − y		0	)2				(4)
вид:	0	+		b2	0	=1				(4)
	a2			b2
Упражнение:				Вывести			уравнение	эллипса	(3).	Указание:
r + r = 2a,		(x +c)2 + y2 + (x −c)2 + y2 = 2a и т.д.
1	2

3. Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная

2a .

Каноническое уравнение гиперболы:
	x2	−	y2	=1 (a > 0, b > 0)	(5)
	a2		b2

Точки (a,0) и (−a,0) называются вершинами гиперболы. С осью OY

гипербола не пересекается.

Из (5) видно, что

≥ a, а это означает что, гипербола расположена левее

прямой x = −a

правее

прямой

x = a .

Прямые

y = ± b x

называются

асимптотами гиперболы.

Величина

ε =

+b2

называется

эксцентриситетом гиперболы.

Точки F1 (−c,0)

и F2 (c,0) называются фокусами гиперболы, а величины r1 и

r2 - фокальными радиусами произвольной точки M гиперболы.

r1	M
a	r2
a	x
F1 (−c,0)	F2 (c,0)
y = b x	y = −b x
a	a

F2 b

−b

Гипербола −	x2	+	y2	=1 называется сопряженной к гиперболе (5). Все
	a2		b2

параметры сопряженной гиперболы такие же, как и у (5), но вершины и фокусы находятся на оси OY .

4. Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек, для которых расстояние до фиксированной точки F , называемой фокусом, и фиксированной прямой, называемой директрисой, равны.

уравнением параболы является: y2					= 2 px	(6)
		y	M
			r
	p		p		x
−			F	,0
−	2		F	,0
	2		2

Получим это уравнение:

(x − p)2

+ y2 =

(x + p)2

+( y − y)2 (x − p)2

+ y2

(x + p)2

x2 − px + p2 = x2 + px + p2 y2

= 2 px

Из (6) видно, что точки

(x, y)

и (x,−y) принадлежат параболе,

т.е. она

симметрична

относительно

оси

OX . Точка (0,0)

называется вершиной

r =

параболы, а

точка

- фокусом. Расстояние

фокальным

радиусом точки M параболы.

Уравнение a2 x2 −b2 y2

= 0

(a ≠ 0,b ≠ 0)

(7)

определяет

пару

пересекающихся

прямых,

ибо

из

(7)

имеем

(ax −by)(ax +by) = 0

что возможно,

либо при

ax −by = 0 , либо при

ax +by = 0 . Каждое из этих уравнений есть уравнение прямой,

проходящей

через начало координат y = ± a x .

Уравнение x2 −a2

= 0

(8)

определяет пару параллельных или совпадающих прямых.

Мы видели, что все вышерассмотренные линии задаются уравнениями

Оказывается, что на плоскости всегда существует такая система координат, что уравнение (9) в ней принимает наиболее простой вид, а именно, (3), (5), (6), (7) или (8). Эту систему координат можно подобрать с помощью поворота и параллельного переноса осей старой системы координат. Как это делается, мы увидим далее, изучив тему “линейные операторы”. Правда, при приведении уравнения (9) к каноническому виду в новой системе координат может

получиться уравнение	x2	+	y2	= −1, либо	x2	+	y2	= 0. Тогда говорят, что (9)
	a2		b2		a2		b2

определяет мнимый эллипс или вырожденный (состоящий из одной точки (0,0) ) эллипс соответственно.

Поверхности второго порядка

Поверхностью в R3 называется множество точек (x, y, z) R3 , удовлетворяющих некоторому уравнению F(x, y, z) = 0, называемому

уравнением этой поверхности.

Говорят, что точка M (x, y, z) лежит на поверхности, если ее координаты

удовлетворяют уравнению поверхности.

Среди множества поверхностей выделяют поверхности второго порядка, т.е. множества точек M (x, y, z), координаты которых удовлетворяют уравнению

вида:

Ax2 + 2Bxy +Cy2 + 2Dxz + 2Eyz + Fz2 +Gx + Hy + Iz + J = 0

a11x2 2a12 xy + a22 y2 + 2a13 xz + 2a23 yz + a33 z2 + a14 x + a24 y + a34 z + a44 = 0 (10)

где A2 + B2 +C2 + D2 + E2 + F 2 > 0

a112 + a122 + a222 + a132 + a232 + a332 > 0

Оказывается, как и в случае с кривыми второго порядка в пространстве всегда можно подобрать такую систему координат, в которой (10) принимает наиболее простой вид, а именно:

Эллипсоид

=1,

a > 0, b > 0, c > 0

Однополосный гиперболоид

−

=1,

a > 0,b > 0,c > 0

Двуполостный гиперболоид

−

= −1, a > 0,b > 0,c > 0

Конус второго порядка

−

= 0, a > 0,b > 0,c > 0

Эллиптический параболоид

= 2 pz, a > 0,b > 0

Гиперболический параболоид

−

= 2 pz,

a > 0,b > 0

Точка x2 + y2 + z2 = 0

Эллиптический цилиндр

=1,

a > 0,b > 0

Гиперболический цилиндр

−

=1,

a > 0,b > 0

10.Параболический цилиндр y2

= 2 px

11.Пара пересекающихся плоскостей a2 x2 −b2 y2

= 0, a > 0,b > 0

12.Пара параллельных или совпадающих плоскостей x2 − a2 = 0, a ≥ 0 13.Прямая x2 + y2 = 0

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Изучим некоторые характерные свойства выше перечисленных поверхностей. Для определения их геометрического вида применим метод параллельных сечений.

1. Эллипсоид. Рассмотрим уравнение (11). Будем искать линии пересечения этой поверхности с плоскостями, параллельными плоскости XOY , т.е.

плоскостями z = h, h R . Получим	x2	+	y2	=1−	h2	, z = h
	a2		b2		c2

уравнения линий пересечения поверхности с плоскостью следующие случаи:

(24) z = h. Возможны

1−

< 0,

т.е.

> c

. Тогда

< 0 - уравнение пустого множества

точек, т.е. плоскость не пересекается с поверхностью.

1−

= 0

, т.е.

= c . Тогда

= 0 ,

что

возможно

лишь

при

x = y = 0 . Это

значит, что плоскости z = ±c

касаются поверхности (11) в

точках (0,0, c) и (0,0,−c) .

1−

> 0 ,

т.е.

< c .

Тогда

перепишем

(24)

виде

z = h

=1,

(25)

a2 (1−

)

b2 (1−

)

Это уравнения эллипсов.

При h = 0

получим

= 0,

z = 0

эллипс с

максимальными

полуосями a и b . Аналогично рассматриваются линии,

получающиеся при сечении поверхности (11) плоскостями x = h и y = h .

Полученные линии пересечения позволяют нам изобразить трехосный

эллипсоид.	При a = b	получим эллипсоид вращения вокруг оси OZ . При
a = b = c = R получим сферу радиуса R
		z
		c		a
				a
	−b				b			y
	−b				b
	−a	−c
	x
2. Однополостный		гиперболоид. Рассмотрим уравнение (12). Положим
вначале	z = h,	т.е.	x2		+	y2	=1+	h2	, z = h	или
вначале	z = h,	т.е.	a	2	+	b2	=1+	c2	, z = h	или
			a	2		b2		c2

	x2					y2
				+					=1, z = h	(26)
	a2 (1+	h2	)		b2	(1+	h2	)

		c2					c2
Это эллипсы.						Полуоси будут наименьшими при h = 0 . Если h				растет, то

полуоси увеличиваются, и, соответственно, эллипсы увеличиваются. Теперь

найдем				линию пересечения (12) с	плоскостью			YOZ		при x = 0 . Получим
	y2	−	z2	=1, x = 0 - гипербола. Если	y = 0	, то	x2	−	z2	=1, y = 0 - гипербола.
	b2		c2				a2		c2

При всех остальных значениях x = h или y = h также получаются гиперболы.

Если в (12) знак “-“ расположен перед	x2	или перед	y2	, то, соответственно,
Если в (12) знак “-“ расположен перед	a2	или перед	b2	, то, соответственно,
	a2		b2
однополостный гиперболоид содержит в себе либо ось OX , либо OY :
z			z

3. Двуполостный гиперболоид. Рассмотрим уравнение (13). В сечениях

z = h имеем	x2	+	y2	=	h2	−1, z = h .
	a2		b2		c2

1)Если h < c , то получаем

2)Если h = c , то получаем две точки (0,0, c) и (0,0,−c) .

z = h

3) Если

> c , то

=1,

(27)

a2 (

−1) b2 (

−1)

ростом h .

x = 0 :

Это

эллипсы, полуоси

которых

растут

При

−

= −1, x = 0 - гипербола. При y = 0

−

= −1,

y = 0

- тоже

гипербола.

−c

4. Конус второго порядка. В уравнении (14) при z = h получаем эллипс

, z = h . С ростом h полуоси возрастают. В сечении плоскостями

x = 0

, y = 0

имеем пары пересекающихся прямых

−

= 0 и

−

= 0

соответственно. В остальных случаях x = h , y = h - гиперболы.

Оказывается, можно подобрать в качестве сечения плоскость так, что будут получаться либо эллипсы, либо гиперболы, либо параболы, либо пары пересекающихся прямых, либо точка. Поэтому все линии второго порядка, рассмотренные ранее, называются каноническими сечениями. Конус является линейчатой поверхностью, т.е. образован прямыми линиями.

Эллиптический параболоид. Возьмем

в (15)

z = h. Получим

= 2h, z = h. Если

< c , то получаем

. Если

= c , то получаем

одну точку (0,0,0) . При

> c

- эллипсы, полуоси которых увеличиваются с

ростом h

=1, z = h. При x = 0

из (15)

получаем y2

= 2b2 z -

2a2h

2b2h

OZ и ветвями

При y = 0

парабола с

осью

симметрии

вверх.

получаем

y2 = 2a2 z аналогично.

6. Гиперболический параболоид. Пересекая поверхность (16) плоскостью

z = h получим

−

= 2 ph,

z = h. При h = 0 имеем пару пересекающихся

прямых

−

= 0.

При

h > 0

гиперболы,

−

=1,

2a2 ph

2b2 ph

действительными осями, которых являются прямые, параллельные оси OX ,

при

h < 0

- гиперболы,

действительные оси которых параллельны оси

OY .

При

y = 0

имеем параболу x2

= 2a2 pz ,

ось симметрии которой

OZ ,

ветви

вверх и вершина в точке O . При x = 0 аналогично y2

= −2b2 pz - ветви вниз.

Это седлообразная поверхность изображена на рисунке:

7. Цилиндры второго порядка. Эллиптический цилиндр с уравнением (18) на плоскости XOY определяет эллипс, который называется направляющей линией цилиндра. Любая плоскость z = h пересекает рассматриваемую

поверхность по этому же эллипсу. Это значит, что если точка (x, y) лежит на эллипсе, то и точка (x, y, z) при любом z лежит на поверхности

эллиптического цилиндра. Прямые, параллельные оси OZ и пересекающие направляющую линию (эллипс) называются образующими цилиндра.

b y x a (x, y)

Направляющими линиями гиперболического и параболического цилиндров

с уравнениями (19) и (20) соответственно являются гипербола	x2	−	y2	=1 и
	a2		b2

парабола y2 = 2 px , а образующими служат прямые, параллельные оси OZ и проходящие через указанную гиперболу и параболу.

z	y
z
y	x
y
x

Остальные особые случаи не представляют сложности при рассмотрении. Примеры:

1.	x2 + y2 +8x −9 y + 2 = 0
2.	x = 2 y2 −12 y +14
3.	x2 + 2z2 = 4 y
4.	x2 −4x + y2 −2z2 = 0
5.	x2 + 2xy + y2 + 2z	+ 4 = 0 (x = x′− y′	, y = x′+ y′)
		2	2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 466 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF