Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 465 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 5

Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве

1.Общее уравнение прямой.

Составим уравнение прямой l , проходящей через точку M0 (x0 , y0 ) перпендикулярно к ненулевому вектору n( A, B) , называемому нормальным вектором прямой.

n( A, B)

r0 M0 (x0 , y0 )

M (x, y)


	Пусть M (x, y) - произвольная					точка прямой	l . Тогда	вектор
r	−		r0 = M0 M = (x − x0 , y − y0 ) прямой			l ортогонален	вектору	n , т.е.
(n,		r		−	r0 ) = 0			(1),
или A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0								(2)

Ясно, что соотношению (2) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат прямой l . Поэтому (1) и (2) являются искомыми

уравнениями	прямой в векторной форме. Приведем (2) к виду
Ax + By +C = 0	(3),

где C = −Ax0 − By0 . Уравнение (3) называется общим уравнением прямой l с нормальным вектором n( A, B) . Любое уравнение вида (3), в котором хотя бы один из коэффициентов A, B отличен от нуля, определяет прямую с нормальным вектором n( A, B) . В самом деле, пусть M (x, y) произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (3), а M0 (x0 , y0 ) некоторая фиксированная

точка, тоже удовлетворяющая	ему, т.е. имеет место равенство
Ax0 + By0 +C = 0 . Вычитая это	равенство из уравнения (3), получим

соотношение (2), определяющее искомую прямую, т.е. мы показали, что любая прямая задается уравнением первой степени и наоборот, любое уравнение первой степени задает прямую. Случай, когда A = 0 , или B = 0 , или C = 0 определяет частные случаи.

Упражнение: Рассмотреть и изобразить все случаи.

2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Пусть задана точка M0 (x0 , y0 ) и ненулевой вектор a = (m, n) , параллельный прямой l , называемый направляющим вектором l . Если M (x, y) -

произвольная		точка	прямой	l , то, очевидно вектор	M0 M	= (x − x0 , y − y0 )
коллинеарен		вектору	a . Из	условия коллинеарности	векторов получаем
соотношение							x − x0	=	y − y0
соотношение							m	=	n
(4)							m		n
(4)
M0		a
	r0	a
	r	M

которым удовлетворяют координаты любой точки M l . (4) и есть искомое уравнение.

3.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть M1 (x1, y1 ) и M 2 (x2 , y2 ) принадлежат прямой l . Как известно из

аксиом Евклида, M1 и M2 однозначно определяют прямую. Очевидно, вектор

M1M 2 является направляющим вектором прямой l , т.е. a = M1M 2 = (x2 − x1, y2 − y1 ) . Тогда, используя уравнение (4) получим искомое

x − x1

y − y1

(5)

− x

− y

Если точка

M3 (x3 , y3 ) l , то подставляя в (5)

координаты

получим

условие принадлежности трех точек одной прямой

x3 − x1

y3 − y1

(6)

− x

− y

4. Параметрические уравнения прямой.

Из рисунков в предыдущих пунктах следует, что

r0 +

(7)

M0 M

В силу коллинеарности векторов a и

существует число t R , что

M0 M

= ta . Тогда из (7) имеем

r0 +ta, t R

(8)

M0 M

Соотношение (8) называется векторным параметрическим уравнением прямой

в пространстве. В координатной форме (8)	равносильно двум уравнениям
x = x0 + mt, y = y0 + nt, t R	(9)

которые называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости.

Исключая параметр

t из (9) легко перейти к (4)

и наоборот,

из (4)

легко

получить (9)

5. Уравнение прямой в отрезках.

Рассмотрим общее уравнение прямой l (3) при условии A ≠ 0 ,

B ≠ 0 , C ≠ 0.

Тогда разделив обе

части уравнения на −C ≠ 0 ,

получим

=1.

−

Обозначая через a = −C	, b = − B	, получим	x	+	y	=1	(10)
			a		b
A	A

уравнение прямой в отрезках. Здесь a - величина отрезка, отсекаемого прямой


на оси OX ,				b на оси OY (от начала координат, разумеется).
6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.									B , получим
		Пусть	в	уравнении (3) B ≠ 0 . Разделив			обе	части на	B , получим
	A	x + y + C		= 0 . Обозначая через k = −	A	, b = −C и перенося в правую часть
	B		B		B		B
эти члены, получим y = kx +b								k = tgα ,	(11)
уравнение прямой с угловым коэффициентом.							Здесь	k = tgα ,	где α - угол,

образуемый прямой с положительным направлением оси OX , b - величина

отрезка, отсекаемого прямой на оси OY . y

b α

7.Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Отклонение. Пусть n0 - единичный вектор нормали к прямой l , проведенный к прямой из

начала координат. Тогда его координатами будут направляющие косинусы

cosα, cos β . Но учитывая, что α + β =		π	, т.е. β =	π	−α , т.е. cos β = sinα , т.е.
n0 = (cosα,sin β) .		2		2
n0 = (cosα,sin β) .
	y
n0	D
n0	α
O	x
	M (x, y)

Если M (x, y) произвольная точка прямой l с радиус-вектором r (x, y) , то


при любом положении точки	M на прямой Прn0	r	= p , где p -					длина
перпендикуляра OD . Но т.к. n0	вектор единичный, то Прn0			r	= (	r	, n0 ) ,	так что

для любой точки M прямой l справедливо равенство (r, n0 ) − p = 0, p ≥ 0 (12)

называемое нормальным уравнением прямой в векторной форме. Ему удовлетворяет радиус-вектор r любой точки прямой l . Очевидно, при p = 0

прямая проходит через начало координат. В координатной форме уравнение

(12) имеет вид x cosα + y sin β − p = 0

(13)

Если прямая l

задана общим уравнением (3), то,

разделив обе части на

A2 + B2 , где знак перед корнем выбирается противоположным знаку

C ,

мы

приведем

общее

уравнение

прямой

нормальному,

т.е.

Ax + By +C = 0

(14)

A2 + B2

Множитель µ = ±

называется нормирующим.

A2 + B2

Определим расстояние

от

точки M0 (x0 , y0 )

до

прямой

l , заданной

уравнением (12). Очевидно,

Прn0

= p ± d .Знак “-“

ставится потому,

что

OM0

точка M0

может находиться по одну сторону от прямой вместе с началом

координат O.

M0 (x0 , y0 )

Для

данного

рисунка

нужно

ставить

знак

“+”.

Но

Прn0

= x0 cosα + y0 sinα .

Тогда

± d = x0 cosα + y0 sin α − p

или

OM0

d = x cosα + y

sinα − p = Ax0 + By0 +C

(15)

A2 + B2

Это и есть расстояние от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой l при любом

расположении прямой и точки.

Величина δ = x0 cosα + y0 sinα − p называется отклонением точки M0 (x0 , y0 ) от прямой. При этом δ > 0 если точка M0 и начало координат O

лежат по разные стороны прямой l ,			и δ < 0 , если M0				и O лежат по одну
сторону от нее. Очевидно, d =	δ	.
сторону от нее. Очевидно, d =	δ	.
8. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми.
Пусть даны две различные прямые			A1x + B1 y +C1 = 0				(l1 )		)
			A x + B y +C		2	= 0	(l	2	)
			2	2	2			2

ϕ n2 ϕ n1

Тогда у нас есть нормальные вектора этих прямых n1 ( A1, B1 ) и n2 ( A2 , B2 ) . Очевидно, угол между нормальными векторами (как углы с соответственно

перпендикулярными сторонами). Тогда cosϕ =				A1 A2 + B1B2				(16)
перпендикулярными сторонами). Тогда cosϕ =			A2		+ B2	A2	+ B2	(16)
			A2		+ B2	A2	+ B2
Потому, что если A1 A2 + B1B2 = 0			1		1	2	2	(17)
Потому, что если A1 A2 + B1B2 = 0	A1		B1					(17)
то прямые будут перпендикулярны, а если	A1	=	B1					(18)
то прямые будут перпендикулярны, а если	A	=	B					(18)
	A		B
	2		2

то параллельны. Если прямые (l1 ) и (l2 ) заданы уравнениями (11) с угловыми

y = k1x +b1

(l1 )

, то tgϕ =

−k

коэффициентами, т.е.

y = k

x +b

)

(19)

1+ k k

Легко видеть, что при k1 = k2

прямые параллельны,

а при k2k1 = −1 прямые

перпендикулярны.

ABC

A(0,0); B(−1,−3); C(−5,−1) .

Пример: Дан треугольник

Составить

уравнения его высот.

Плоскость и прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскости в пространстве

1. Общее уравнение плоскости.

Пусть дана точка M0 (x0 , y0 , z0 ) , лежащая в плоскости P и ненулевой вектор n = ( A, B,C) , перпендикулярный к плоскости и называемый нормальным вектором плоскости. n( A, B,C)

z M0

r0 M r

P y


	Пусть M (x, y, z) произвольная							точка плоскости	P . Тогда вектор
	−		r0 =				= (x − x0 , y − y0 , z − z0 )	плоскости P ортогонален вектору n , т.е.
r						M0 M
(n,		r		−	r0 ) = 0				(20)
или A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0									(21)

Очевидно, условию (21) удовлетворяют координаты тех и только тех точек пространства, которые принадлежат плоскости P . Поэтому (20) и (21) являются искомыми уравнениями плоскости, причем (20) называется уравнением плоскости в векторной форме. Уравнение (21) можно привести к

виду Ax + By +Cz + D = 0	(22)
где D = −Ax0 − By0 −Cz0 = 0 . Уравнение (22)	называется общим уравнением

плоскости P с нормальным вектором n( A, B,C) . Верно и обратное, т.е. любое

уравнение вида (22), где A2 + B2 +C2 > 0 определяет плоскость с нормальным вектором n = ( A, B,C) .

Упражнение: Доказать.
2. Уравнение плоскости, параллельной двум данным векторам.
Пусть	даны				два неколлинеарных	вектора a (1) = (m , n , p )			и
a (2) = (m , n , p						1	1	1
a (2) = (m , n , p			2	) , параллельных плоскости		P , проходящей через		данную
2	2		2
точку M0 (x0 , y0 , z0 ) .
		z			a(1)
					a(1)
		r0		M0	a (2)
		r0			y
					y
x				r	M
x					P

Пусть M (x, y, z) - произвольная точка принадлежащая P . Тогда векторы

−

= (x − x , y − y

, z − z

)

и a(1) и

a (2)

компланарны,

т.е. их

, a (1)

, a (2) ) = 0

смешанное

произведение

равно

нулю:

(

−

x − x0

y − y0

z − z0

(23)

координатной

форме

(24)

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть

даны

три точки M1 (x1, y1, z1 ) ,

M2 (x2 , y2 , z2 ) , M3 (x3 , y3 , z3 )

принадлежащей

искомой

плоскости

P .

Тогда

векторы

M1M 2

M1M3

очевидно, параллельны этой плоскости. Отсюда из уравнения (24) получим

x − x1

искомое уравнение плоскости x2 − x1 x3 − x1

y − y1 y2 − y1 y3 − y1

z − z1

z2 − z1 = 0 (25) z3 − z1

4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Отклонение.

Пусть n0 - единичный				вектор	нормали к плоскости	P ,	проведенный к
плоскости из начала координат. Тогда n0 = (cosα, cos β, cosγ ) .
	z	d
P		D		M0
P				d
O	n0		M	y
			M	y
x
Если M (x, y, z)			произвольная		точка плоскости P	с	радиус-вектором

r = (x, y, z) , то при любом положении точки M на плоскости Прn0 r = p , где

p	-	длина	перпендикуляра	OD ,	т.е.	(	r	, n0 ) − p = 0, p ≥ 0
(26)	В	координатной форме		x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0, p ≥ 0

(27) Уравнение (27) и называется нормальным уравнением плоскости. Если плоскость P задана общим уравнением (22), то разделив обе его части на

± A2 + B2 +C2 , где знак перед корнем выбирается противоположным знаку D , мы приведем общее уравнение (22) к нормальному виду (27), т.е. к виду

Ax + By +Cz + D = 0 . Множитель	µ = ± 1 = ±	1	называется
± A2 + B2 +C2	n	A2 + B2 +C2
нормирующим множителем уравнения плоскости.		M0 (x0 , y0 , z0 ) P . Легко
Пусть есть произвольная точка	пространства	M0 (x0 , y0 , z0 ) P . Легко

видеть, что Прn0 r0 = p ± d , где d - расстояние от точки M0 до плоскости P , а

знак перед d

выбирается в зависимости от того, где находится точка M0

- по

одну сторону от плоскости P с началом координат O или по разные. Таким

образом,

искомое

расстояние

d =

(

r0 , n0 ) − p

или

d =

x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ − p

(28)

т.е. расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости.

Величина δ = x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ − p называется	отклонением
точки M0 от плоскости P . При этом δ > 0, если точки O и	M0 лежат по

разные стороны от плоскости и δ < 0 , если по одну. Очевидно, d = δ .

5. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

Пусть заданы точка M0 (x0 , y0 , z0 ) и ненулевой вектор a = (m, n, p) . Составим уравнение прямой l , проходящей через точку M0 параллельно

вектору a .

M0 a

r0 y r

x M

Если M (x, y, z)

произвольная

точка прямой l

то, очевидно, вектор

−

= (x − x0 , y − y0 , z − z0 )

коллинеарен

вектору

a ,

т.е.

M0 M

x − x0

y − y0

z − z0

(29)

Равенство (29) и есть каноническое уравнение прямой l в пространстве. 6. Параметрические уравнения прямой.

Если в (29) положить, что все соответствующие координаты произвольного

вектора

прямой

M0 M

направляющего вектора a пропорциональны с

коэффициентом

пропорциональности

t R ,

получим

x − x

y − y

z − z

x = x + mt

= t, t R

или y = y0 + nt, t R

(30)

z = z0 + pt

Это и есть параметрические уравнения прямой в пространстве.

7. Прямая в пространстве, как линия пересечения двух плоскостей.

Всякие

две пересекающиеся

плоскости P1 и P2

заданные уравнениями

A x + B y +C z

+ D = 0

(P )

определяют в пространстве прямую линию

A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

(P2 )

l , линию их пересечения.

(P1 ) и (P2 ) перейти к

Возникает вопрос, как от общих уравнений прямой

каноническим уравнениям вида (29)? Для этого нам надо иметь точку M0 R

вектор

a параллельный

l .

Очевидно,

вектор a

параллельный

l будет

ортогонален n1 и n2 . Значит, вектор a

можно найти посредством векторного

произведения [n , n ] : a =

−

a l

Координаты любой точки M0 (x0 , y0 , z0 ) принадлежащей l

можно найти как

решение системы уравнений (P1 )

и (P2 ) , положив,

скажем,

z = z0 . Найдя эту

точку по формуле (29) составим искомое уравнение прямой l в каноническом

виде

x − x0

y − y0

z − z0

(31)

−

8. Условие параллельности двух прямых.

x − x1

y − y1

z − z1

Пусть

даны

две

прямые

(l )

x − x2

y − y2

z − z2

)

с направляющими векторами a(1) = (m , n , p ) и

a (2)

= (m , n

, p

)

соответственно.

Параллельность

двух

прямых

означает,

очевидно,

коллинеарность

их

направляющих

векторов.

Поэтому

a (1)

a (2) m1

(32)

9. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Если

прямая

x − x0

y − y0

z − z0

(l )

направляющим

вектором

a = (m, n, p)

Ax + By +Cz + D = 0

( P )

параллельна

плоскости

нормальным вектором n = ( A, B,C) , то, очевидно, a n и

Am + Bn +Cp = 0

B =

(33)

Если (l) (P) , то a

n , т.е.

(34)

l a n

10.Условие параллельности двух плоскостей.

Очевидно, они параллельны, если параллельны их нормальные векторы

P n

= C1

(35)

11. Угол между двумя плоскостями.

Если коэффициенты плоскостей P1 и P2

не пропорциональны, то плоскости

не параллельны, и они пересекаются по некоторой прямой l0 . Если взять

любую точку на этой прямой и провести в каждой плоскости перпендикуляры к прямой l0 в этой точке, то угол, образованный этими перпендикулярами

называется углом между плоскостями P1 и P2 . Понятно, что угол между нормальными векторами n1 и n2 равен углу между плоскостями P1 и P2 как

углы с	соответственно			перпендикулярными						сторонами. Тогда,
cosϕ = cos(n	^ n ) = (n1, n2 )		=		A1 A2 + B1B2 +C1C2					(36)
1	2	n1 n2		A2	+ B2	+C2	A2	+ B2	+C2

				1	1	1	2	2		2

12. Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол, образованный прямой

и ее проекцией на эту плоскость.						Если	прямая	l задана каноническими
уравнениями	(29),		а		плоскость	P	общим	уравнением (22), то
cosϕ = cos(n	^ n ) = (	n1, n2		)	= cos(π −ϕ) = sinϕ
1	2	n1	n2		2
		n1	n2		2	0 ≤ϕ ≤ π ).
(Знак абсолютной величины взят, т.к.						0 ≤ϕ ≤ π ).
							2

P		l
P	n	a
	n	a
	ϕ	ϕ
sinϕ =	Am + Bn +Cp			(37)
sinϕ =	+ B2 +C2		m2 + n2 + p2	(37)
A2	+ B2 +C2		m2 + n2 + p2

Пример:

Вычислить расстояние между прямыми

x +7

y + 4

z +3

−2

x −21

y +5

z −2

−4

−1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 465 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF