Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4646

ЛЕКЦИЯ 47

Пусть функция

f (x) , удовлетворяющая условиям Дирихле, периодична с

периодом

T = 2l, l ≠π , т.е.

f (x + 2l) = f (x) .

Введем

замену

x =

τ .

Тогда

функция

φ(τ)

= f (

τ)

будет

2π -периодической. В

самом

деле,

φ(τ + 2π) = f (

(τ + 2π)) = f (

τ + 2l) = f (

τ) =φ(τ) . В таком случае функцию

f (

τ) можно разложить в ряд Фурье на отрезке [−π,π]:

∞

f (

τ) =

+ ∑

cos nτ + b sin nτ) ,

n =1

где

an =

∫ f (

τ)cos nτdτ, n

= 0,1,2,K bn =

∫

f (

τ)sin nτdτ , n =1,2,K. Воз-

−π

вращаясь к прежней переменной x , т.е. положив τ =

πx

, получим

∞

cos nπx + b

sin nπx) ,

f (x) =

+ ∑(a

n =1

1 l

nπx

1 l

nπx

где

an =

∫ f (x)cos

dx, n =

0,1,2,K, bn =

∫

f (x)sin

dx, n

=1,2,K.

l −l

−l

Эти формулы совпадают с формулами для 2π -периодической функции, достаточно положить l =π . Т.е. все вышеизложенные рассуждения можно повторить и для 2l -периодических функций заменой π на l . В частности, если 2l -периодическая функция задана на отрезке [a,a + 2l] , то интегрирование при

нахождении an ,bn нужно вести в пределах от a						до a + 2l . Если f (x) - четная
	2 l		nπx			dx, n = 0,1,2,K. Если же f (x) -
функция, то bn = 0, n =1,2,K, an =		∫ f (x)cos
	l			l
		0
				2 l			nπx
нечетная функция, то an = 0, n = 0,1,2,K, bn =					∫ f (x)sin			dx, n =1,2,K..
							l
				l 0

Этот факт дает возможность разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке [0,l] по косинусам, продолжив ее четным образом на отрезок [−l,0],

либо по синусам, продолжив ее нечетным образом. Замечания относительно суммы ряда в точках x = 0 или x = l , аналогичные имевшему место при разложении функции в ряд Фурье на [0,π], сохраняются и здесь.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье 4-периодическую функцию

0,−2 ≤ x ≤ 0 f (x) = x,0 ≤ x ≤1

1,1 ≤ x ≤ 2

Решение.

Находим

∫ f

(x)dx =

∫xdx +

∫1dx =

−2

1 1

1 2

u = x, du = dx

nπx

1 2x

nπx

an =

∫x cos

dx +

dx =

dv = cos

∫1 cos

(

sin

−

nπ

2 0

v =

sin

nπx

nπ

2 1

nπx

dx +

nπx

nπ

nπx

nπ

−

∫sin

sin

|1 ) =

sin

cos

|0 +

sin 2

−

nπ

n2π 2

nπ

−

sin

nπ

(cos

nπ

−1)

nπ

n2π 2

u = x, du = dx

1 1

nπx

1 2

nπx

xsin

dx =

nπx

0∫

1∫

1 sin

(−

cos

= −

cos

nπ

nπx

nπ

cos nπ +

sin

−

cos

)

= −

cos

sin

−

n2π

nπ

n2π 2

nπ

cos

sin

−

(−1)n

nπ

n2π 2

nπ

n =1,2,3,K,

Полагая

последовательно

получаем

f (x)

= 2[

+ (−

cos

πx

2 +π

sin

πx) +

(−

cosπx −

sinπx) +

π 2

2π 2

4π

2π 2

+ (−

cos

3πx

− 2 + 3π sin

3πx

)

+ (−

− sin 2πx) +K]

9π 2

8π

18π 2

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на полупериоде в

сегменте [0,2] уравнением

f (x) = x −

[−2,0]

1).

Доопределим

f (x)

на

четным

образом.

Имеем

) |02 =

l = 2,bn = 0, a0 =

∫(x −

)dx = (

−

nπx

u = x −

, du = (1 − x)dx

nπx

|02

an = ∫(x −

) cos

dx =

−

)sin

−

nπx

sin

nπ

nπx

u =1 − x, du = −dx

nπx

−

∫(1 − x)sin

dx =

v = −

cos

nπx

(1 − x)cos

nπ

n2π 2

nπ

nπx

dx = −

cos nπ −

+ (−1)n )

∫cos

= −

n2π 2

2π 2

n2π 2

Т.о.

(−1)n +

∞

nπx

f (x) =

−

∑

cos

−

(

cosπx +

cos 2πx +

cos3πx) +K

π 2

n =1

2). Упражнение. Доопределить нечетным образом.

∞

1−(−1)n

nπx

πx

3πx

5πx

f (x) =

∑

sin

(sin

sin

) +K

π 3

n=1

∞

Комплексная форма ряда Фурье

Пусть

f (x) =

+ ∑

cos nx + b sin nx)

- ряд Фурье для функции f (x)

n =1

einx

+ e−inx

на

отрезке

[−π,π].

Воспользуемся

формулами Эйлера: cos nx =

einx

− e−inx

sin nx =

, тогда получим

einx

+ e−inx

einx − e−inx

−ib

+ ib

∞

f (x) =

∑(a

+ b

) =

+ ∑(

einx +

e−inx )

n=1

Обозначив

= C0 ,

an − ibn

= Cn ,

an + ibn

= C−n , получим

∞	∞
f (x) = C0 + ∑Cneinx + ∑C−ne−inx
n=1	n=1

∞

= C0 + ∑Cneinx + n=1

−1	∞
∑Cneinx = ∑Cneinx .
n=−∞	−∞

Это и есть комплексная форма ряда Фурье функции f (x) с комплексными коэффициентами ряда Фурье Cn . Заметим, что C−n = Cn . Получим явное выражение для коэффициентов Фурье:

		1		1 π
Cn =		2	(an − ibb ) =		∫ f (x)(cos nx − i sin nx)dx =

				2π −π				.
	1	π				1	π

=		∫ f (x)(cos(−nx) − i sin(−nx))dx =					∫ f (x)e−inx dx
	2π
		−π				2π −π

Легко проверить, что эта формула справедлива	при любом целом
n = 0,±1,±2,K. Итак, 2π -периодическую функцию f (x)	можно разложить в

комплексный ряд Фурье с комплексными коэффициентами на [−π,π]. Если f (x) задана на [−l,l] (или 2l -периодическую), то ее комплексный ряд Фурье

	∞	inπx		1	l	−i	nπx
							l dx .
имеет вид	f (x) = ∑Cne	l	, где Cn =		∫ f (x)e

	−∞			2l −l

Если ставится задача найти действительный ряд Фурье функции, зная ее комплексный ряд, то объединяя Cn и C−n , получим, что

= Re 2C

= −Im2C

= C

и остается только записать ряд (1).

f (x) = e−x , (−π,π) .

Пример 3. Разложить в ряд Фурье

Воспользуемся комплексной формой ряда Фурье.

−(1+in) x

(1+in)π

− e

−(1+in)π

Cn =

∫e−xe

−inx dx =

∫e−(1+in) x dx =

|π−π =

2π

2π(1 + in)

−π

eπ einπ

− e−π e−inπ

eπ (cos nπ + i sin nπ) − e−π cos nπ + e−π i sin nπ

2π(1 + in)

(−1)n (eπ − e−π )

2π(1 + in)

∞

eπ −e−π

∞ (−1)n einx

Следовательно,

f (x) = ∑Cneinx =

∑

интервале

2π

+in

−∞

n=−∞

(−π,π) ряд представляет функцию e−x , а в точках

x = ±π

его сумма равна

eπ + e−π

. Чтобы преобразовать полученный ряд в комплексной форме к обыч-

и u−n ,

а в eiφ

заменим показательные

ной тригонометрической, объединим un

функции тригонометрическими:

un + u−n

(−1)n einx

(−1)−n e−inx

(−1)

n (1 − in)einx

+ (1 + in)e−inx

1 + in

1 − in

+ n2

(−1)

n (1 − in)(cos nx + i sin nx) + (1 + in)(cos nx − i sin nx)

1 + n2

(−1)

n cos nx − in cos nx + i sin nx + nsin nx + cos nx + in cos nx − i sin nx + nsin nx

1 + n2

(−1)

n 2(cos nx + nsin nx)

, n =1,2,3,K Для n = 0 находим

1 + n2

eπ

− e−π

a0 = C0

2π

Следовательно, e−x

eπ

− e−π

∞ (−1)n

+ ∑

(cos nx

+ nsin nx)

+ n

n =11

Понятие о спектрах

Выражение

an cos nx + bn sin nx = An cos(nx −φn ) ,

где

A =

+ b2 ,sinφ

= bn ,

cosφ

называется n -й гармоникой. Величина

n -частотой. Периодом является величи-

An называется амплитудой, φn - фазой,

на

T =

2π

, n =1,2,K.

Т.о.

ряд

Фурье можно записать

в виде

∞

f (x) =

+ ∑A

cos(nx −φ

) - представляет собой разложение f (x)

по гармо-

n =1 n

никам. Величина

называется постоянной составляющей этого разложения.

Аналогично функция einx

называется n -й комплексной гармоникой, и значит

∞

ряд ∑Cneinx представляет собой разложение f (x) по комплексным гармони-

n =−∞

кам.

Совокупность операций, в результате выполнения которых могут быть определены гармоники функции f (x) , называются гармоническим анализом.

Совокупность A =	a2	+ b2	,φ	n	= arctg bn	называются амплитудным и фазовым
n	n	n		n	an
					an

частотным спектром периодической функции соответственно. Для четной

функции

An =

,φn = 0 ,

т.к. все bn = 0 ,

а для нечетной

функции

,φ

= π , т.к. все a

= 0 . Спектры A

изображаются графически в

nπ

виде отрезков, перпендикулярных оси, на которую наносятся n или

Между периодическими функциями и их частотными спектрами существует взаимно-однозначное соответствие: периодическая функция полностью определяет свой частотный спектр и наоборот, по частотному спектру можно определить периодическую функцию.

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4646

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF