Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4643 44 45 46 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 44

Степенные ряды.

Ряд

вида

+ a (x − a) + a

(x − a)2

+K+ a

(x − a)n +K,

где

a1, a2 ,K, an ,K действительные

числа, называется степенным. Другой вид :

+ a x + a

x2 +K+ a

+K=

∞

xn .

∑a

n=0

Членами данного ряда являются степенные функции. Степенной ряд все-

гда сходится по крайней мере в одной точке : x = a либо x = 0 соответственно

виду. Поскольку заменив	(x − a) на		X	всегда	можно получить	ряд вида
∞
∑an X n , то в дальнейшем такие ряды и будем рассматривать.
n=0
Теорема Абеля. Пусть степенной ряд				∞	сходится в точке x		≠ 0 . То-
Теорема Абеля. Пусть степенной ряд				∑a xn	сходится в точке x	0	≠ 0 . То-
				n		0
				n=0
гда он сходится в любой точке		x , удовлетворяющей неравенству \|				x \|<\| x0 \| и
сходится равномерно в области \|		x \|≤ q <\|	x0 \| . Если же ряд расходится в некото-
рой точке x1 , то он расходится и во всех точках x , таких, что \| x \|>\| x1 \| .
Доказательство.	По	∞	условию		числовой		ряд
		∞	сходится, поэтому lim an x0n = 0 . От-
a0 + a1x0 + a2 x02 +K+ an x0n +K= ∑an x0n			сходится, поэтому lim an x0n = 0 . От-
		n=0			n→∞

сюда следует, что последовательность {an x0n} ограничена, т.е. M > 0 , что для

всех n

выполняется

неравенство

{an x0n} < M .

Преобразуем исходный

ряд

∞

∑an x

=a0 + a1x0

+ a2 x0

+K и рассмотрим ряд

из

+K+ an x0

n=0

абсолютных

величин

его

членов:

+K< M + M

a1x0

a2 x0

+K+

an x0

∞

+ M

+K= M

∑

n=0

При

| x |<| x0 |

мы имеем геометрическую прогрессию со знаменателем

q =

<1, следовательно, ряд сходится. Тогда по признаку сравнения сходится

∞

и ряд из модулей, т.е. исходный ряд ∑an xn сходится абсолютно. Если же

n=0

\| x \|≤ q <\| x0 \| , то	x	≤	q	<1, следовательно,	исходный степенной ряд мажори-
\| x \|≤ q <\| x0 \| , то	x0	≤		<1, следовательно,	исходный степенной ряд мажори-
	x0		x0
				∞	q	n
руется сходящимся числовым рядом M ∑							, а значит, по признаку Вей-
руется сходящимся числовым рядом M ∑							, а значит, по признаку Вей-
					x0
				n=0	x0

	∞	сходится равномерно в области \| x \|≤ q <\| x		\| (вспомним
ерштрасса ряд ∑a xn		сходится равномерно в области \| x \|≤ q <\| x	0	\| (вспомним
	n		0
	n=0
		∞
пример 6) предыдущей лекции: ∑ x n - не потребовали, чтобы \| x \|≤ q <1 и по-
		n =0
лучили при	x = ±1 неравномерную сходимость). Пусть теперь ряд расходится
при x = x1 .	Предположим, что в некоторой точке x2 , такой, что			x2	>	x1	, ряд
при x = x1 .	Предположим, что в некоторой точке x2 , такой, что			x2	>	x1	, ряд

сходится. Тогда по только что доказанному он должен сходиться и в точке x1 ,

					∞
что противоречит условию. Значит, для всех x , таких, что	x	>	x	, ряд	∑a xn
что противоречит условию. Значит, для всех x , таких, что	x	>	x	, ряд	∑a xn
			1		n
расходится. ◄					n=0
расходится. ◄
Согласно теореме Абеля мы получаем, что либо ряд сходится абсолютно

в интервале (− x0 , x0 ) , если он сходится при x = x0 либо расходится в области (−∞;− x1 ) ( x1 ,∞) , если расходится при x = x1 .

Отсюда можно сделать вывод, что областью сходимости степенного ряда всегда является интервал (конечный или бесконечный), с центром в точке 0 или единственная точка 0.

∞

Радиусом сходимости степенного ряда ∑an xn называется неотрицатель-

n=1

ное число R такое, что при | x |< R ряд сходится, при | x |> R расходится. Интервалом сходимости ряда называется интервал (−R, R) . Если ряд сходится в единственной точке x0 = 0 , то для него R = 0 . Если же он сходится на всей числовой

оси, то R = ∞.

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда через его коэф-

∞

фициенты. Рассмотрим для каждого фиксированного x числовой ряд ∑an xn

n=0

предположим, что существует конечный предел L = lim

an+1

( L = lim n an

n→∞

Тогда lim

n+1

xn+1

=| x | lim

n+1

=| x | L . Тогда по признаку Даламбера ряд

an x

n→∞

сходится при | x | L <1 и расходится при | x | L >1. Следовательно, если выпол-

нено

соотношение | x |<

= lim

, то ряд

сходится, а

если

an+1

lim

n→∞

| x |>

то

ряд расходится.

Т.о.

для

радиуса

сходимости

степенного

ряда

∞

∑an x

получаем формулу

R =

= lim

. А если к ряду применить при-

an+1

n=0

n→∞

знак

Коши,

то аналогичные рассуждения

приводят к следующей формуле

R =

. Заметим, что если L = 0 , то полагают, что R = ∞, т.е. степенной

lim n an

n→∞

ряд сходится на всей числовой оси. Если же L = ∞, то R = 0 , и, значит, ряд схо-

∞

дится в единственной точке x = 0 . Если же ряд имеет вид ∑an (x − x0 )n , то ра-

n=0

диус сходимости тот же, а интервал сходимости этого ряда (x0 − R, x0 + R) . При

x = ±R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается индивидуально.

Пример.

1) Найти область сходимости ряда

∞

∑n3n xn . R = lim

lim

n=1

n→∞ (n +1)3n+1

3 n→∞ n

т.е. ряд сходится в интервале

(−1 , 1) . Исследуем поведение ряда на

концах:

3 3

при x = 1 имеем расходящийся ряд

∞

при

x = −1

имеем так же расходя-

∑n ,

n=1

∞

щийся ∑(−1)n n . Следовательно, область сходимости x (−1 , 1) .

n=1

2n−1

3 3

∞ (x

− 2)

2) ∑

. Здесь следует заметить, что формула для отыскания R

n=1

получена в предположении существования конечного предела lim

, т.е. в

an+1

n→∞

предположении, что ряд содержит все степени x . Если же степени x входят в ряд с пропусками, то непосредственное применение формулы невозможно. Так,

здесь a2n = 0	, и поэтому lim	a2n	= 0 , а lim		a2n+1	= ∞ , т.е. формулу приме-
здесь a2n = 0	, и поэтому lim	a2n+1	= 0 , а lim	a2n+2		= ∞ , т.е. формулу приме-
	n→∞	a2n+1	n→∞	a2n+2
нить нельзя.	В таком случае необходимо применять непосредственно признак
Даламбера:

lim

(x −

2n+1 n3

x − 2

lim

x − 2

(x − 2)2n−1 (2n +1)3

n→∞

n→∞ (n +1)

x − 2

<1 −1 < x − 2 <1

x (1,3) . Исследуем ряд при

x =1 и

x = 3 . Оба схо-

дятся абсолютно ( ∑

, ∑

(−1)n

). Поэтому область сходимости x [1,3] .

Приведем без доказательства некоторые свойства степенных рядов:

1o. Т.к. степенной ряд сходится на любом отрезке [−q, q] (−R, R) равно-

мерно,

где R - радиус сходимости ряда, значит, его сумма S(x) является непрерывной функцией на [−q, q].

∞

2o. Степенной ряд ∑an xn можно почленно интегрировать на любом от-

n=1

резке, целиком принадлежащем интервалу сходимости, при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд (однако поведение на концах может измениться).

3o. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз (т.е. сумма степенного ряда есть бесконечно дифференцируемая функция). Опять же радиус сходимости ряда из производных тот же, что и у исходного ряда (на концах может быть изменение сходимости).

Почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда иногда позволяет найти его сумму.

Пример.

∞	n + (−1)n	xn . Легко видеть, что R =1. Ряд схо-
3) Найти сумму ряда ∑
3) Найти сумму ряда ∑	n(n −1)
n=2	n(n −1)

дится равномерно в любом отрезке, целиком лежащем в области сходимости | x |<1. Поэтому этот ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать,

не нарушая

радиуса

сходимости.

Пусть сумма

ряда

S(x) . Тогда

∞

xn−1

∞

(−1)n xn

∞ xn−1

S(x) = x ∑

+ ∑

= xS + S

где

(x) =

∑

n=2 n −1

n=2 n(n −1)

=2 n

−1

∞

(−1)

′(x) =

∞

(x) = ∑

Тогда имеем

∑xn−2 =1 + x + x2

+K=

n=2

n(n −1)

n=2

1 − x

dt = −ln |1 − t ||0x = −ln(1 − x) .

S2″(x) =

∞

S1(x) =

∫

Далее,

∑(−1)n xn−2 =

− t

0 1

n=2

=1 − x + x2 − x3

, S2′

+K=

(x) = ∫

= ln(1 + x),

S2 (x)

= ∫ln(1

+ t)dt =

+ x

1 + t

= (x +1) ln(x +1) − x . Т.о. S = −xln(1 − x) + (x +1) ln(x +1) − x .

∞

R =1. Преоб-

4) Найти S(x) = ∑(2n2 + n −1)xn . Аналогично примеру 3)

n=0

разуем

S(x) :

∞

+1)xn = 2S (x) + S

(x)

. Най-

S(x) = ∑(2n2 + n −1)xn

= 2 ∑(n

−1)(n +1)xn + ∑(n

n=0

′

∞

дем ∫S2 (t)dt

= ∑ (n

+1)

∫t ndt = ∑xn =

S2 (x) =

. Далее

1 − x

− x)2

n=0

− x

∞

−1)xn−2 = x3S3 (x) ,

∫S1 (t)dt = ∑ (n

−

1)(n +

1)∫tndt =

∑(n −1)xn+1 = x3

∑(n

n=0

∞

n=0

где S3 (x) = ∑(n −1)xn−2 . Тогда

n=0

∞

−1)tn−

∞

∫S3 (t)dt = ∑ ∫(n

2dt = ∑xn−1 =

∑xn

−1 =

n=0 0

′

n=0

n=1

. Тогда ∫S1(t)dt = x3S3 (x) =

S3 (x) =

= −

− x

(1 − x)2

1 − x

= −x +

S (x) = −1 +

(3 − x)

S(x) =

x2 (3 − x)

− 2 +

5x −1

(1 − x)2

(1 − x)3

(1 − x)2

(1 − x)3

f (x)

Ряды Тейлора

Пусть функция

в некоторой окрестности точки x0 имеет производ-

ные

любых

порядков.

Степенной

ряд

f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

(x − x0 )

2 +K+

f (n) (x0 )

(x − x0 )n +K=

∞

(n) (x

)

− x0 )n

= ∑

n=0

f (x) в точке x0 . Если x0 = 0 , то ряд

называется рядом Тейлора функции

′

′′

(n)

(0)

∞

(n)

(0)

f (0)

+K= ∑

f (0) +

(0)x +

+K+

называется

рядом

n=0

Маклорена.

Ряд Тейлора, как всякий степенной ряд, имеет интервал сходимости и сумму, причем, возможно, и не равную f (x) . Естественен вопрос: при каких

условиях сумма ряда совпадает с f (x) в некоторой окрестности точки x0 ?

Из ряда Тейлора следует, что его n −я частичная сумма есть многочлен

Тейлора Pn (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +	f ′′(x0 )	(x − x0 )2	+K+	f (n) (x0 )	(x − x0 )n .
	2!			n!

Отсюда, если ряд Тейлора сходится к функции f (x) , то справедливо равенство f (x) = Pn (x) + rn (x) , где rn (x) -остаток ряда. На основании теоремы о сходимости ряда получаем, что для сходимости ряда Тейлора к функции f (x) НИД

lim rn (x) = 0 , где x Uδ (x0 ) . Напишем разложение функции f (x)

по формуле

n→∞

Тейлора

f (n) (x0 )

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

− x0 )2 +K+

(x − x0 )n

+ Rn (x) ,

f (n+1) (ξ)

где R (x) =

(x − x

)n+1, ξ = x

+θ(x − x

), 0 <θ <1 записан в форме Ла-

(n +1)!

гранжа.

Из

формулы

Тейлора

двух

предыдущих

равенств

следует,

что

rn (x) = Rn (x) при условии lim rn (x) = 0 . Т.о., если ряд Тейлора функции

f (x) ,

n→∞

для которой он составлен,

сходится в окрестности т.

к этой функции,

то

имеет

место

f (n) (x0 )

равенство

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

− x0 )2 +K+

(x − x0 )n

+K.

Практически важное условие разложения функции в ряд Тейлора выра-

жается следующей теоремой:

Если производная любого порядка функции f (x)

ограничены в окрестно-

сти Uδ (x0 )

точки x0

одной и той же константой C , то ряд Тейлора этой функ-

ции сходится к f (x)

для x Uδ (x0 ) .

Доказательство: по условию

f (n) (x)

≤ C, x Uδ (x0 ), n = 0,1,2,K. Тогда для

остаточного

члена

n+1

форме

Лагранжа

имеем

r (x)

f (n+1) (ξ)

(x − x

)n+1

≤ C

x − x0

При фиксированном

выражение

+1)!

(n +1)!

x − x0

n+1

→ 0 , а, значит, и lim rn (x) = 0 ,

что и означает,

что ряд Тейлора для

(n +1)!

n→∞

f (x)

сходится именно к f (x)

для x Uδ (x0 ) .◄

Теорема. Если функция

f (x)

разложима в ряд Тейлора, то это разложе-

ние единственно.

Доказательство.

От

противного.

Пусть

есть

два

разложения

∞

(x − x

∞

)n при

x U

) ( x

− R, x

+ R) ,

f (x) = ∑a

f (x) = ∑b (x − x

n=0

где

R -радиус сходимости

рядов.

Тогда

∞

− b

)(x − x

f (x) − f (x) = 0 = ∑(a

n=0

x Uδ (x0 ) . Отсюда при x = x0

имеем a0 − b0 = 0 ,

т.е.

a0 = b0 . Дифференциру-

ем

ряд

почленно,

полагаем

снова

x = x0

имеем

∞

− b )(x − x

)n−1 ≡ 0

= b .

Продолжая

этот

процесс,

получим

∑n(a

n=1

an = bn , n = 0,1,2,K, т.е. разложение в ряд Тейлора единственно. ◄

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4643 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF