ЛЕКЦИЯ 4

Рассмотрим две точки A(x1, y1, z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ) радиус-векторы, которых

координаты вектора ABнужно из координат его конца вычесть координаты его начала. Отсюда же видим, что расстояние между двумя точками равно длине

x = 2

В частности, при λ =1 находим координаты середины отрезка y = y1 +2 y2 . z = z1 + z2

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

b

ϕ a

С физической точки зрения это работа силы F , совершаемая в направлении

Sпри перемещении единицы массы: A = (F , S ) = F S cos(F ^ S ) . Свойства скалярного произведения:

1.(a,b ) = (b , a) - очевидно

2.(λa,b ) = λ(a,b )

Доказательство:

При λ > 0 имеем (λa,b ) = λa b cosϕ = λ a b cosϕ = λ(a,b ) . При λ < 0: (λa,b ) = λa b cos(π −ϕ) = −λa b cosϕ = λ(a,b ) .

3. (a,b +c) = (a,b ) +(a, c)

Доказательство:

(a,b ) = a b cosϕ = a Прa b .

Тогда по свойству проекций

(a, b + c) = a Прa (b + c) = a (Прa b + Прa c) = a Прa b + a Прa c = = (a, b ) + (a, c)

4. (a,b ) = 0 Только тогда либо a = 0 , либо b = 0 , либо a b (cosϕ = 0) Следствие: a b при ненулевых векторах a и b , если (a,b ) = 0 Скалярным квадратом вектора называется, скалярное произведение вектора

на себя. Очевидно, a 2 = (a, a) = a 2 , т.е. a = (a, a) = a 2 . Из равенства (7) и свойства 3. можно искать угол между векторами и проекцию вектора на вектор:

Доказательство: Возьмем вектора на плоскости (для упрощения дела) a = axi + ay j, b = bxi +by j

откуда a = ax2 + a2y + az2 .

Для отыскания угла между векторами и проекцией вектора на вектор в

Если одно или два числа в знаменателях соотношения (10) окажутся равными нулю, то такая запись становится символической, поскольку она не утверждает деление на нуль, а свидетельствует лишь о пропорциональности координат коллинеарных векторов.

Векторное и смешанное произведение векторов

Некомпланарная тройка векторов e1, e2 , e3 , выходящих из одного начала, называется левой, если из конца вектора e3 кратчайший поворот от e1 к e2 производится по часовой стрелке и правой, если против.

Пусть дана правая ортонормированная декартова система с базисными векторами i , j, k пространства R3 .

Векторным произведением двух векторов a и b называется третий вектор

c, удовлетворяющий следующим условиям:

1.c = a b sinϕ

2.c a, c b

Следствие: [αa, βb ] =αβ[a,b ]; α, β R

Смешанным произведением трех векторов a , b , c называется число

(a,b , c) = ([a,b ],c)

Свойства:

1.Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , приведенных к общему началу и взятому со знаком “+”, если тройка a , b , c правая, и “-“, если левая.

[a,b ]

c

hθ b

α

a

В самом деле, V = Sh = [a,b ]c cosθ = ([a,b ]c) . Ясно, что V > 0 , если тройка правая 0 <θ < π2 и V < 0, если левая π2 <θ < π .

2.Смешанное произведение равно нулю, если a , b , c - компланарны.

Действительно, (a,b , c) = 0 только тогда θ = π2 , тогда вектор c лежит в

заметить,

что (a,b ,c) = (c, a,b ) = (b ,c, a) = −(b , a, c) = −(c,b , a) = −(a, c,b ) .

[i , i ] =[ j, j] = [k , k ] = 0, [i , j] = k , [ j, k ] = i , [k , i ] = j, [ j, i ] =, а так же свойства = −k , [k , j] = −i , [i , k ] = − j

векторного произведения, имеем

(a = (x1, y1, z1 ) = x1i + y1 j + z1k , b = (x2 , y2 , z2 ) = x2i + y2 j + z2k ) [a, b ] = ( y1 z2 − y2 z1 )i + (z1 x2 − z2 x1 ) j + (x1 y2 − x2 y1 )k =

Можно заметить, что формула (11) получается из разложения по элементам

Если вектор, c = (x3 , y3 , z3 ) = x3i + y3 j + z3k , то из определения смешанного

можно считать по формуле (13), а площадь параллелограмма, построенного на

этих формул считаем объемы пирамид, площади треугольников и др. сопутствующие вещи).