ЛЕКЦИЯ 40

Элементы теории устойчивости

начальные условия. Предположим, что условия Т. Коши и ед. решения выполняются. Потребуем кроме того еще чтобы решение -ло при t ≥ t0 .

Решение x = a, a = (a1, a2 ,K, an )Т , ai R системы x′ = f (x) называется точкой покоя, если f (a) = 0.

Поскольку с помощью параллельного переноса осей координат всегда можно точку a = (a1, a2 ,K, an ) сделать началом новой с/к, то в дальнейшем бу-

дем рассматривать систему x′ = f (x) , точкой покоя которой является x = 0 = (0,0,K,0)Т .

Пусть x = x(t,t0 , x 0 ) - решение системы x′ = f (x) , отвечающее н.у.

тойчива и lim x(t,t0 , x 0 ) = 0 .

t →∞

Геометрически понятие устойчивости т. покоя x = 0 означает следующее: фазовая траектория, которая начинается в ∂ −окрестности точки покоя x = 0 все время остается в ε −окрестности этой точки. Асимптотическая устойчивость с геом. т. зр. означает, что все траектории, начинающиеся в ∂ −окрестности точки покоя x = 0 стремятся к 0 при t → ∞.

Как всегда, наиболее хорошо изучен линейный случай, поэтому рассмотрим систему двух линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

эта точка единственная. Возможны следующие случаи:

1.Собственные числа матрицы A λ1,λ2 действительные и различны.

2.Собственные числа матрицы A λ1,λ2 комплексно-сопряженные.

3.Собственные числа матрицы A λ1,λ2 действительные кратности 2.

Рассмотрим случай 1. Т.к. λ1 ≠ λ2 , то собственные векторы

p1 = ( p11, p12 )Т

и p2 = ( p21, p22 )Т , отвечающие этим собственным значениям, линейно независимы. Как известно, выбрав в качестве новых базисных векторов векторы p1, p2 , система д.у. приводится к наиболее простому виду, а именно,

Исследование этого решения проведем в зависимости от знаков чисел

λ1,λ2 .

1.Пусть λ1 > λ2 > 0 . Тогда разделив одно уравнение системы на дру-

t → ∞, y1 → ∞, y2 → ∞, то это означает, что с течением времени t точка удаляется по фазовой траектории от положения равновесия (0,0) . Точка покоя (0,0) в этом случае называется неустойчивым узлом.

зовой плоскости фазовые траектории системы представляют собой непересекающиеся замкнутые кривые (это эллипсы), когда точка M после изменения

t на величину периода T = 2π β , возвращается в это же положение. Значит,

точка (0,0) устойчива, но не асимптотически. Такая точка называется центром. Если же α < 0(α > 0) , то в силу ограниченности cost и sin t при изменении t на величину периода амплитуда уже не возвращается к прежнему значе-

нию, а уменьшается (увеличивается) на величину eαt . В этом случае получаются не замкнутые, а спиралевидные кривые. При α < 0 спираль закручивается в т. (0,0) , являющуюся асимптотически устойчивой. При α > 0 с возрастанием t

спираль расходится из т. (0,0) . Такая точка покоя называется фокусом. При

α< 0 фокус асимптотически устойчив, при α > 0 - не устойчив.

Вслучае кратных корней λ1 = λ2 = λ общее решение системы имеет вид

x1 = (C1 ′+ C2t)′eλtλt , где C1 , C2 нек. сonst , а C1′, C2′- их линейные комби- x2 = (C1 + C2 t)e

фазовой траектории осуществляется к точке покоя (0,0) , которая называется

устойчивым узлом, а при λ > 0 точка уходит в бесконечность и имеем неустойчивый узел.

Полученные результаты можно свести в таблицу.

Седло

Устойчивый узел

Неустойчивый

узел

Центр

Неустойчивый

узел

Устойчивый узел

Неустойчивый

фокус

Устойчивый фокус

Критерии устойчивости ЛДУ с пост. коэффициентами. Рассмотрим линейную систему д.у. x′ = A x с постоянными коэффици-

ентами. Пусть λ1,λ2 ,K,λn - собственные значения матрицы A. Справедлива следующая теорема:

10. Если все собственные значения λi матрицы A имеют отрицательные

часть, т.е. Re λk > 0 , то точка покоя x = 0 системы x′ = A x неустойчива.

30. Если собственные значения с нулевой действительной частью являются простыми, а остальные собственные значения, если они есть, имеют отрицательную действительную часть, то точка покоя x = 0 системы x′ = A x устойчива по Ляпунову, но не асимптотически устойчива.

Дифференциальное уравнение x(n) + a1x(n −1) +K+ an −1x′ + an x = 0 с по-

Ее характеристическое уравнение имеет вид:

Раскрывая этот определитель по элементам первого столбца и т.д., полу-

чим

(−1n )(λn + a1λn−1 +K+ an −1λ + an ) = 0 , т.е. соответствует характеристическому уравнению дифференциального уравнения. Значит, исследование на устойчивость решения x = x(t) уравнения равносильно исследованию на устойчи-

вость точки покоя (x = 0) (x, x′,K, x(n −1) )T = (0,0,K,0)T системы, где первая координата x = x(t) вектора x есть решение исходного д.у.

Таким образом, если рассмотреть ЛОДУ с постоянными коэффициентами L( y) = 0 , то с учетом того, что оно сводится к системе первого порядка с тем же

характеристическим уравнением, то имеет место теорема

Если все корни λi имеют отрицательные действительные части, то реше-

ния уравнения асимптотически устойчивы.

Если Re λi > 0 хотя бы для одного i , решения неустойчивы. Если Re λi ≤ 0 , причем корни с нулевыми действительными частями простые, то ре-

шения уравнения устойчивы по Ляпунову но не асимптотически устойчивы. На этом с ДУ заканчиваем. Тема это необъятная, даже на плоскости сис-

темы д.у., когда в правой части стоят многочлены степени выше второй не исследованы, не говоря уже о пространстве. Проблемами качественного исследования поведения дифференциальных уравнений занимаются целые научные институты Китая, США, России, РБ и практически всех развитых стран мира, ибо техническое развитие и прорывы в новые области техники осуществляются именно после решения и исследования поведения решений д.у. и систем д.у.