ЛЕКЦИЯ 39

dx1

= a x + a x +K+ a x

dt

11

1

12

2

1n

n

dx

2

= a21x1

+ a22 x2 +K+ a2n xn

dt

LLLLLLL

dx

n

= a

x

+ a

x

+K+ a

x

n2

2

nn

n

dt

n1

1

x1

dX

= AX , где

x2

,

X =

dt

L

xn

a

L a

A =

11

1n

. Согласно

Эйлеру,

ищем решение

системы

в виде

L L L

an1

L ann

x (t) = p eλt , x

2

(t) = p

eλt , K, x

n

(t) = p

n

eλt ,

где числа

p , p

2

,K, p

n

,λ

подлежат

1

1

2

1

(a − λ) p + a p

+K+ a

p

n

= 0

11

1

12 2

1n

a21 p1 + (a22 − λ) p2 +K+ a2n pn = 0

LLLLLL

a

p + a

n2

p

+K+ (a

nn

− λ) p

n

= 0

n1 1

2

a11 − λ

a12

L a1n

A − λE

=

a21

a22 − λ

L a2n

L

L

L

L

an1

an2

L

ann

имеет n корней.

Предположим,

что корни

λ1,λ2 ,K,λn

характеристического уравнения

действительны и различны.

A

имеет n

В

этом случае матрица

линейно-независимых векторов

p1, p2 ,K, pn , где

pk

= ( p

, p

,K, p

)T , k =

.

2k

nk

1, n

1k

Тогда

решением

системы

будут

вектор-функции

x k = pk eλk t = ( pk eλk t

, pk eλk t ,K, pk eλk t )T , или, более подробно

1

2

n

x1

= p1eλ1t , x1 = p1eλ1t ,K, x1

= p1eλ1t

1

1

1

1

1

1

x2

= p2eλ2 t , x2

= p2eλ2 t

,K, x2

= p2eλ2 t

1

1

2

2

n

n

LLLLLLLLLLLLLLLL

xn

= pneλn t

, xn

= pneλn t

,K, xn

= pneλn t

1

1

2

2

n

n

dx1

= 7x

+ 3x

2

Пример 1):

dt

1

dx

2

= 6x1

+ 4x2

dt

7 − λ

3

Решение.

Составим

характеристическое

уравнение

= 0

6

4 − λ

λ2 −11λ +10 = 0 . Корни λ =1,λ

2

=10. При λ =1 имеем систему

1

(7 −

1) p + 3 p

2

= 0

6 p

+

3 p

2

=

0

2 p1 + p2 = 0 . Это уравнение оп-

1

1

0

6 p1

+ (4 −1) p2 = 0

6 p1 + 3 p2 =

ределяет вектор (1,−2) . При λ =10

(7 −

10) p1

+ 3 p2 = 0

p1

− p2

= 0 . Вектор

+ (4 −

10) p2 = 0

6 p1

(1,1) = p2 .

Получаем

ФСР:

при

λ =1

x1

= et , x1

= −2et , при

λ =10

1

2

x2

= e10t , x2 = e10t .Общее решение

x = C et + C

e10t

.

1

1

2

1

2

x

= −2C et + C

e10t

2

2

1

dx

dt

= 6x −12 y − z

6 − λ

−12

−1

Пример

2):

dy

dt

= x − 3y − z

1

− 3 − λ

−1

= 0

или

= −4x

+12 y + 3z

− 4

12

3 − λ

dz

dt

λ3 − 6λ2 +11λ − 6 = 0 λ =1,λ

2

= 2,λ = 3 .

Определяем собственные векторы

1

3

следствием других:

5 p1 −12 p2 − p3 = 0

p1 − 4 p2 − p3 = 0

Возьмем

первые

два

уравнения

:

−

4 p

+12 p

2

+

2 p

3

=

0

1

5 p

−12 p

2

− p

3

= 0

.

1

p1 − 4 p2 − p3 = 0

Отсюда

p

=

−12

−1

k =8k, p

= −

5

−1

k = 4k, p

=

5

−12

k = −8k .

1

− 4 −1

2

1 −1

3

1 − 4

Приняв k =

1

4

4 p

−12 p

2

− p

3

= 0

1

му

p1 − 5 p2 − p3 = 0

. Снова используя первые два уравнения, находим

− 4 p

+12 p

2

+ p

3

= 0

1

p

=

−12

−1

k = 7k, p

= −

4

−1

k = 3k, p

=

4

−12

k = −8k .

Полагая

1

− 5 −1

2

1 −1

3

1 − 4

k =1, имеем

p2 = (7,3,−8) .

3 p −12 p

2

− p

3

= 0

1

При λ = 3 имеем систему

p1 − 6 p2 − p3 = 0 . Из последнего уравнения

− 4 p

+12 p

2

= 0

находим

1

p1 = 3 p2 , подставляя в первое,

находим

p3 = −3 p2 . Приняв p2 =1, по-

лучим p3 = (3,1,−3) .Тогда ФСР:

Общее решение x

2

= C et + 3C

e2t + C

e3t .

1

2

3

x = −2C et − 8C

e2t − 3C

e3t

3

1

2

3

постоянных можно найти

общее решение неоднородной системы

′ = A

(x) , где A = [aij ] -

матрица с постоянными коэффициентами aij , а

Χ

Χ

+ f

Пример 1):

dx1

=

4x

− 3x

2

4 − λ

− 3

dt

1

= 0 (4

− λ)2

+ 9 = 0, λ = 4 ± 3i

dx2

dt

=

3x

+ 4x

2

3

4 − λ

1

λ = 4 + 3i

3ip1 − 3 p2

= 0

. Т.о. p

2

= ip ; p

=1, p

2

= i, p1

= (1,i). Отделяем

3ip2

= 0

1 1

3 p1 +

x11 = e4t

cos3t, x12 = −e4t sin 3t

e(4+3i)t = e4t cos3t + ie4t sin 3t

. Получаем

.

ie(4+3i)t

= −e4t

sin 3t + ie4t

cos3t

x12 = e4t

sin 3t, x22 = e4t

cos3t

Общее

решение

x = C x1 + C

2

x2 ,

x

2

= C x1

+ C

2

x2

,

т.е.

1

1

1

1

1

2

2

x

= e4t (C cos3t + C

2

sin 3t), x

2

= e4t (−C sin 3t + C

2

cos3t) .

1

1

1

Пример 2):

dx1

= 5x − x

2

5 − λ

−1

dt

1

= 0

λ

= λ

= 4

. Сводим к уравнению

2

dx2

= x + 3x

1

3 −

λ

1

dt

2

1

(так проще),

ибо в случае кратного корня следует

искать

решение в

виде

x

= p (t)eλ1t , x

2

= p

2

(t)eλ1t , где

p (t) и p

2

(t) многочлены первой степени с не-

1

1

1

определенными коэффициентами:

p1 (t) = a1t + a2 , p2 (t) = b1t + b2 и необходимо

искать связь между a1, a2 ,b1,b2

из системы ДУ. Поэтому дифференцируем пер-

вое уравнение: