ЛЕКЦИЯ 38

ЛНДУ высших порядков со специальной правой частью и постоянными коэффициентами.

Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами

L[ y] = y(n) + a1 y(n−1) +K+ an −1 y′ + an y = f (x) .

торой изложен выше. Поэтому основной задачей здесь является отыскание частного решения y* . Для специального вида правых частей f (x) задача нахождения частного решения y* решается с помощью элементарных операций, та-

ких, как дифференцирование и решение систем линейных алгебраических уравнений. Этот метод называется методом подбора частного решения или методом неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет следующий вид:

f (x) = eαx[Pn (x) cos βx + Qm (x)sin βx], или является суммой функций такого вида. Здесь α, β - постоянные, Pn (x),Qm (x) - многочлены от x соответст-

венно n -й и m -й степеней. Тогда частные решения уравнения L[ y] = f (x) , где

коэффициенты могут быть найдены из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в

обеих частях уравнения после подстановки в них y* вместо y .

Проверку правильности выбранной формы частного решения дает возможность сопоставить все члены правой части уравнения с подобными им чле-

нами левой части, появившимся в ней после подстановки y* .

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения нужно использовать принцип суперпозиции: надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения (т.е. уравнения с суммой соответствующих функций в правой части).

Частными случаями функции f (x) рассматриваемой структуры (при на-

личии которых в правой части применим метод подбора частного решения) являются следующие функции :

1.f (x) = Aeαx , A − const, λ =α + βi ≡α .

2.f (x) = Acos βx + Bsin βx, A, B − const, λ =α + βi ≡ βi .

3. f (x) = Pn (x) = A0 xn + A1xn −1 +K+ An−1x + An , λ =α + βi ≡ 0 .

4.f (x) = Pn (x)eαx ,λ =α + βi ≡α .

5.f (x) = Pn (x) cos βx + Qm (x)sin βx, λ =α + βi ≡ βi .

6.f (x) = eαx ( Acos βx + Bsin βx), A, B − const, λ =α ± βi

Примеры.

рывно дифференцируемых на (a,b) , называется решением нормальной системы д.у., если она превращает все уравнения системы в тождества, справедливые

t [a,b] .

Процесс нахождения решений системы называется интегрированием. Основная задача интегрирования системы – нахождение всех решений и изучение

пространстве переменных (x1, x2 ,K, xn ) . Это так называемое фазовое простран-

ство, а кривая, описываемая в нем движущейся точкой называется траекторией движения. Взаимосвязь между траекторией и движением в том, что траектория

нения траектории движения. Эти уравнения не только определяют положение точки на траектории в любой момент времени t , но и показывает, как происходит движение с течением времени.

Если время не входит явно в правые части системы д.у., то система называется автономной. Это значит, что скорость не меняется в точке (x1, x2 ,K, xn )

с течением времени.

Основная задача интегрирования системы – нахождение всех значений, определяемых этой системой и изучение их свойств.

Задача Коши формулируется следующим образом: найти решение x1 = x1 (t), x2 = x2 (t),K, xn = xn (t) этой системы, удовлетворяющее начальным

условиям x1 (t0 ) = x10 ,K, xn (t0 ) = x1n при t = t0 , где x10 ,K, x1n - заданные заранее числа.

Это значит, что необходимо из всех интегральных кривых найти ту, которая проходит через заданную точку M 0 (t0 , x10 , x20 ,K, x1n ) . Или из всех движений найти такое, что в момент времени t0 находится в точке (x10 , x20 ,K, x1n ) .

Семейство решений x1 = f1 (t,C1,K,Cn ),K, xn = fn (t,C1,K,Cn ) называется общим решением системы, если это семейство разрешимо относительно C1,K,Cn . Это необходимо для того, чтобы любая задача Коши имела решение.

Решение, получаемое из общего при некоторых C1,K,Cn называется ча-

стным решением.

Т.о. задача Коши – найти частное решение, удовлетворяющее исходным начальным данным.

Д.у. n -го порядка y(n) = f (x, y, y′,K, y(n−1) ) можно свести к системе д.у. В самом деле, положим y = y1, y′ = y1′ = y2 , y′′ = y2′ = y3 ,K, y(n −1) = yn′ −1 = yn . То-

В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения (так называемый метод интегрируемых комбинаций), что позволяет найти решение системы.

тегрируемую комбинацию. Сложив удвоенное первое и утроенное второе уравнения, получим