ЛЕКЦИЯ 36

y(n−1) = ∫ f (x)dx + C1 = f1 (x) + C1

y(n−2) =

∫

[f

1

(x) + C ]dx + C

2

= f

2

(x)

+ C x + C

2

1

1

LLLLL

y = fn (x) +

C1

xn−1 +

C2

xn−2 +K+ Cn−1x + Cn

(n −1)!

(n − 2)!

где

fn (x) =

∫K∫ f (x)dxn . Так как величины

C1

,

C2

и т.д. являются по-

(n −1)!

(n − 2)!

n

y = f

n

(x) + C xn−1

+ C

2

xn −2

+K+ C

n −1

x + C

n

.

1

Пример: Решить задачу Коши y

′′

= xe

−x

′

= 0 . Интегрируем:

, y(0) =1, y (0)

y′ = ∫xe−xdx = −xe−x − e−x + C1 ,

y =

∫

[− xe−x

− e−x

+ C

]dx = xe−x + 2e−x

+ C x + C

2

1

1

или y = (x + 2)e−x

+ x −1- решение исходной задачи Коши.

сразу после

интегрирования. Либо так:

y

′

′

x

−x

dx =[−xe

−x

− e

−x

x

−x

− e

−x

+1

= y (0) +

∫xe

]|0 = −xe

0

y = y(0) + ∫x (− xe−x − e−x +1)dx =1 + [(x + 2)e−x + x]|x = (x + 2)e−x + x −1

0

0

2o. Д.у., не содержащие искомой функции.

Уравнения

вида

F (x, y(k ) , y(k +1) ,K, y(n) ) = 0

допускают понижение по-

рядка

заменой

y(k ) = z

на

k

единиц.

Тогда получается

уравнение

′

(n−k )

) = 0 .

F (x, z, z ,K, z

Пример:

y′′′

y′′

1)

=

. Положим y′′ = z . Тогда y′′′ = z′ и уравнение запишется в виде

x

z′ =

z

.

Разделяя переменные,

получим

dz

= dx

z = C1x,

C1 ≠ 0 .

Добавляя

z

x

z = 0 ,

z ,

x

решение

утерянное при делении на

найдем общее решение z = C1x ,

ношение, для определения

y

будем иметь уравнение 2-го порядка

y′′ = C1x .

y′ = C1

x2

x3

Интегрируем:

+ C2 ,

y = C1

+ C2 x + C3 .

Это

соотношение

и

есть

2

3!

общее

решение

данного

уравнения

в

области

{x > 0,−∞ < y < +∞}

и

{x < 0,−∞ < y < +∞}.

2)

xy′′ = y′ln

y′

. Полагая

y′ = z

получим

xz′ =

z ln

z

,

или

z

′ =

z

ln

z

. Это

x

x

x

x

однородное уравнение I порядка. Полагая

z

= t , откуда z

= tx , z

′

′

+ t , полу-

x

= t x

′

dt

=

dx

ln(ln(t −1)) = ln x + ln C1 ,

чим

уравнение

t x + t = t ln t ,

или

t(ln t

−1)

x

ln t −1 = C x t = e1+C1 x . Возвращаясь к переменной y ,

приходим к уравнению

1

1

1

y′ = xe1+C1 x . Следовательно,

y = ∫xe1+C1 xdx =

xe1+C1 x −

e1+C1 x

+ C2 .

C

2

C1

o

(n)

1

.

Д.у. вида

′

′′

)

= 0

, не содержащее явно независимой пе-

3

F ( y, y , y ,K, y

гумент принять сам

y . В этом случае

′′

′′′

(n)

выражаются по правилу

y , y ,K, y

причем

порядок

уравнения

понизится

на

1.

Так,

например,

y

′′

=

d 2 y

=

d

′

dz

=

dz

dy

′

dx

2

dx

( y (x)) =

dx

dy

dx

= zy z

′′

d(z

′

z)

2

2

y

d

dy

d z

dz

2

d( y )

d z

y′′′

=

=

=

(z′y

z)

= z z

2

+ z′y

= z (z′y )

+

z

2

dx

dx

dy

dx

dy

dy

dy

и т.д.

Пример:

3

1)

Решить

задачу

Коши

′′

′

Заменяем

y y

+1 = 0, y(1) = −1, y (1) = −1.

y′ = z( y) . Тогда y′′ = z′y y′x

= z′y z и получим уравнение

3

dy

z2

1

C

1 + C y2

′

2 = 2 y2

+

1

z = y

′

= ±

1

+1

= 0

zdz = − y3

z zy

2

y2 .

1

y2

y′ = y ydy = dx

2

= x + C y = ±

2x + C . Т.к. при x =1

y = −1, то

C = −

1

. Тогда y = −

2x −1 .

2

2)

1 + y′2 = yy′′. Полагая y′ = z( y) , y′′ = zz′

получаем следующий вид

уравнения 1 + z2 = yzz′.

Разделяем переменные

zdz

= dy ln(1 + z2 ) = 2ln y + 2 ln C

1 + z2 = C y2 , z = ± C y2

−1

.

Отсюда

1 + z2

y

1

1

1

dy

1

y′ = ±

C12 y2 −1

= ±dx

ln(C1 y +

C1 y2 −1) = ±(x + C2 ) -

общий интеграл.

C12 y2 −1

C1

(n)

4

o

.

Уравнения вида

′

′′

)

= 0 ,

однородные относительно

F (x, y, y , y ,K, y

′

′′

(n)

допускают понижение порядка на единицу при замене

y′

= z ,

y

y, y , y ,K, y

где z - новая функция.

Пример.

2

′

y

′′

1) 3 y′2 = 4 yy′′ + y2 . Разделим обе части на

y2 : 3

y

− 4

=1. Положим

y

y

y′

y′′

y′2

′

y′′

′

2