ЛЕКЦИЯ 35

Полагая y = uv

′

′

− uvthx = ch

2

x

или u(v

′

′

2

x . Пола-

имеем u v + uv

− vthx) + u v = ch

гаем v

′

= vthx ,

откуда

dv

= thx dx ln v = ln chx, v = chx (мы

выбираем

одну

v

функцию

2

v ,

чтобы

коэффициент

при

u

обратился в

ноль).

Тогда

′

x u

′

= chx

u

= shx + C . Умножая u на v , получаем общее реше-

u chx = ch

ние: y = chx(shx + C) .

2).

y3 и

сделаем замену

z = y

−2

z

′

= −2 y

−

3

y

′

y′

. Тогда

= −2 y3 .

y′

+

x

= x3 . Подставляя вместо

y′

=

z

,

имеем линейное неоднород-

y3

y3

y2

z′

− 2

3

′

3

ное уравнение

− 2 + xz = x

или

z

− 2xz = −2x

. Находим решение однородно-

′

3

e

−x 2

C(x) = −∫te

−t

dt , где

для определения C(x) имеем уравнение C (x) = −2x

t = x2 .

Интегрируя

по

частям,

находим

C(x) = −x2e−x 2

− e−x 2 + C = e−x 2 (x2 +1) + C .

Тогда

общее

решение д.у.

z = ex 2 (−e−x 2 (x2 +1) + C) = −(x2 +1) + Cex 2 ,

где C − var.const .

Совокупность

3). y′ +

y

= x2 y4 . Это уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом

x

ветствующее

линейное

однородное

уравнение

y

′

y

= − x ,

решение

которого

y = C .

Ищем

решение

исходного

решения

уравнения

Бернулли,

полагая

x

′

C(x)

′

C(x)

′

y =

, y

=

C (x)

−

.

Подстановка y и

y

в исходное уравнение дает

x

x

x2

′

C(x)

C(x)

2

C(x)

4

C (x)

−

+

= x

или

x

x

2

x

2

x

′

1

dC

dx

1

1

C

(x)

=

=

−

= ln x − ln C,

C(x) =

.

C 4 (x)

x

3C 3 (x)

C

C 4

x

3

3 ln

1

x

Т.о. y = x3 3 ln

C

.

x

y

1

4).

x

2

y

2

y′

+ xy

3

=1. Разделим обе части на

x

2

y

2

:

y′ +

y

−2

. Это

=

x

x2

уравнение Бернулли,

где

P(x) =

1

,Q(x) =

1

. Заменяем

y

на

y = uv ,

тогда

x2

uv

1

v

1

′

′

′

′

′

′

′

y

,

+ uv

+ x

= x2u2v2

+ x)

= x2u2v2 .

= u v + uv

u v

или u v + u(v

Пусть v′ +

v

= 0 , т.е. v

1

= x .

x

Подставляя в предыдущее, имеем

u3

x2

u′

=

1

u

2

du = xdx

=

+

C

u = 3

3

x

2

+ C .

x

u2

3

2

3

2

Следовательно, искомый общий интеграл y = uv =

3

3 +

C .

xy′ + y = xy2 , y(1) =1. Упражнение:

2x

x3

5).

сделать

самостоятельно.

Ответ:

1). Пусть µ = µ(x) . Тогда

∂µ

=

dµ

,

∂µ

= 0

и уравнение для отыскания µ

∂x

dx

∂y

принимает

вид

∂µ

− µ

1

(

∂Q

−

∂P

) .

Отсюда

следует,

что

если

функция

Q

∂x

∂Q

∂P

∂x

∂y

1

(

−

)

зависит только от x , то мы имеем уравнение с разделяющимися

Q

∂x

∂y

−∫

1

(

∂Q −

∂P )dx

переменными,

решением которого является функция µ =

µ(x) = e

Q

∂x

∂y .

Нам достаточно взять одну функцию µ , поэтому полагаем C = 0 .

∂Q

∂P

2). Допустим, µ = µ( y) . Тогда

∂µ

=

dµ

,

∂µ

= 0 и

∂µ

= µ

1

(

−

) . Ес-

∂x

∂y

∂x

∂Q

∂P

∂y dy

P

∂y

ли

1

(

−

) зависит только от y ,

то аналогично первому случаю получаем

∂y

P

∂x

∫

1

(

∂Q −

∂P )dx

µ = µ( y) = e

P

∂x

∂y .

На практике обычно сразу составляется выражение

∂Q

−

∂P

. Затем рас-

∂x

∂y

Примеры.

∂P

∂Q

1).

= 2xy,

= 2xy - уравнение в полных

∂y

∂x

диф-лах.

U =U (x, y) = C - общий

Если

интеграл этого уравнения, то

P(x, y) =

∂U

= xy2 ,

Q(x, y) =

∂U

= yx2 + x3 .

Из

уравнения

∂U

= xy2

имеем

∂y

∂x

∂x

U = ∫xy2dx + q( y) =

= 1 x 2 y 2

+ q( y) . Функцию q( y) находим из равенст-

2

∂U

ва

= yx2

+ y3

.

Имеем

∂U

∂y

1

2

′

2

3

′

3

4

= x

y

+ q ( y) = x

y + y

q

( y)

= y

q( y) =

y

+ C .

Тогда

∂y

4

U =

1

x

2

y

2

+

1

y

4

= C или

2x

2

y

2

+ y

4

= C - общий интеграл.

2

4

∂P

∂Q

2). (x + y −1)dx + (ex

+ x)dy = 0 .

=

=1. Найдем общий интеграл по

∂x

∂y

x

y

формуле,

взяв

x0 = y0 = 0 :

∫(x + y −1)dx +∫e y dy = C ,

или

0

0

(

1

x2

+ xy − x)|x

+ e y |y = C

1

x2 + xy − x + e y −1 = C e y +

1

x2

+ xy − x = C1 ,

2

2

2

0

0

где C1 = C +1.

∂P

= xcos y + cos y − ysin y,

∂Q

= cos y . Уравнения не в полных дифференциа-

∂x

∂y

∂P

− ∂Q

Q(x, y) = xcos y − ysin y =1.

∂y

∂x

xcos y − ysin y

Значит,

интегрирующий

множитель есть и

зависит только от

x :

µ = e∫dx = ex .

Умножая исходное уравнение на

ex ,

получаем Ур-е в полных

дифференциалах:

ибо

∂P1

= ex (xcos y + cos y − ysin y),

∂Q1

= ex (xcos y − ysin y + cos y) .

Интегрируя,

∂y

∂x

получаем

∂u

x

sin y + xe

x

sin y − e

x

sin y + e

x

′

x

′

∂x = e

y cos y + C (x) = e

(xsin y + y cos y) + C (x) .

Сравнивая полученное значение

∂u

с P(x, y) ,

′

C(x)

= C .

∂x

получим C (x) = 0

Следовательно,

общий

интеграл

исходного

уравнения

имеет

вид

порядка. Уравнение

y

(n)

′

(n−1)

)

называется уравнением n -го по-

= f (x, y, y ,K, y

рядка, разрешенным относительно производной y(n) .

Решением

такого

уравнения

функция

y =ϕ(x) ,

обращающая

данное

уравнение

в тождество,

т.е.

′

(n)

(x)) ≡ 0 или ϕ

(n)

(x) ≡ f (x,ϕ(x),K,ϕ

(n−1)

(x)) .

F (x,ϕ(x),ϕ (x),K,ϕ

Функция

y =ϕ(x,C1,C2 ,K,Cn ) называется общим

решением данного

уравнения

n -го

порядка, если

при

соответствующем

выборе var

const