ЛЕКЦИЯ 32

ЛЕКЦИЯ 33

Дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики физики, экономики, естествознания часто приходится отыскивать неизвестную функцию по данному соотношению между ней, ее производными и независимыми переменными.

Так, например, в процессе распада радиоактивного вещества установлено, что скорость распада пропорциональна с коэффициентом пропорциональности к наличному количеству нераспавшегося радиоактивного вещества. Обозначая через x0 массу радиоактивного вещества в начальный момент времени t = 0 , а

через x его массу в момент времени t , получаем dxdt = −kx, k > 0 . Знак “-” берется в уравнении потому, что масса убывает. Если это уравнение переписать в

x = x0 e−kt . Эта функция является решением дифференциального уравнения, и

мы можем определить количество радиоактивного вещества в любой момент времени t . Значение этого позволяет производить датировку событий, имевших место тысячи и миллиарды лет тому назад.

К такому же уравнению приходим при определении численности населения данного региона в зависимости от времени t . Необходимо только знать коэффициенты рождаемости и смертности для данного региона.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка назы-

вается соотношение вида F( x, y, y′,K, y( n) ) = 0 , где F - функция, определенная в некоторой области D Rn+2 , x - независимая переменная, y - искомая функция переменной x ( y = y( x)) , а y′, y′′,K, y( n) - ее производные.

Порядком ДУ называется порядок старшей входящей в нее производной.

ворят, что ДУ разрешено относительно старшей производной y( n) и называется

ДУ в нормальной форме.

ДУ, в котором неизвестная функция y зависит от одной переменной x ,

называется обыкновенным.

Если же ДУ содержит неизвестную функцию многих переменных и ее частные производные, то оно называется уравнением в частных производных.

Мы ограничимся изучением ОДУ и слово “обыкновенные” далее будем опускать.

Так, например, уже рассмотренное нами уравнение радиоактивного распада является ОДУ 1-го порядка в нормальной форме.

Уравнение y′ − (2 xy′)2 − ln y′ = 0 - ОДУ 1-го порядка;

Уравнение y′′′ = 1 − y x - ОДУ 3-го порядка в нормальной форме:

Далее будем рассматривать уравнения типа (3а) или (4).

Решением (или интегралом) уравнения (3) называется действительная функция y = y( x) , определенная на интервале (a, b) такая, что

1)y( x) непрерывно дифференцируема на (a, b)

2)Точка ( x, y( x), y′( x)) D R3 для всех x (a, b) , где D - область опреде-

F

3) F ( x, y( x), y′( x)) ≡ 0 x (a, b) .

Упр. Сформулировать понятие решения для (3а).

Уравнение y′ = f ( x, y) имеет бесчисленное множество решений (почему?). Чтобы из множества этих решений выделить одно, так называемое частное решение, надо задать некоторые дополнительные условия. Таким условием

Задача отыскания частного решения уравнения (3а), удовлетворяющего начальному условию (5), называется задачей Коши для этого уравнения

С геометрической точки зрения задача Коши для ДУ (3а) означает следующее: из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку M0 = ( x0 , y0 ) D .

Теорема 1. Пусть функция f ( x, y) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную ∂∂fy в области D . Тогда найдется интервал

( x0 −δ , x0 + δ ) , на котором существует единственное решение y = y( x) ДУ (3а), удовлетворяющего условию y( x0 ) = y0 .

Единственность здесь понимается в том смысле, что если есть 2 решения y = y1 ( x), y = y2 ( x) , то они совпадают в окрестности точки x0 . При нарушении

смотреть это уравнение в области y ≥ 0 (а именно так определена правая часть

бом допустимом значении параметра c

2. Рои любом начальном условии y( x0 ) = y0 , ( x0 , y0 ) D c0 такое, что функция y = ϕ( x, c0 ) удовлетворяет условию ϕ( x0 , c0 ) = y0 .

Решения, получающиеся из общего при определенном значении параметра c , называются частными.

Для выделения из общего решения частного достаточно использовать начальные условия.

Часто общее решение ДУ y′ = f ( x, y) находится в виде Φ( x, y, c) = 0 и на-

зывается общим интегралом ДУ.

При фиксированном значении c = c0 общий интеграл Φ( x, y, c) = 0 превра-

щается в частный Φ( x, y, c0 ) = 0 .

При интегрировании ДУ действие выделения неопределенного интеграла называют “квадратурой”, чтобы не было путаницы с термином “интегрирование уравнения”.

Из уравнения y′ = f ( x, y) следует, что угловой коэффициент y′ касательной к интегральной кривой в каждой ее точке ( x, y) D равен значению функции f ( x, y) в этой точке. Таким образом, в каждой точке ( x, y) D можно указать направление касательной к интегральной кривой, проходящей через точку ( x, y) . Поэтому, если через каждую точку ( x, y) провести отрезок с угловым коэффициентом k = f ( x, y) , то получим так называемое поле направлений в области D . То есть ДУ (3а) определяет в области D поле направлений, а решению ДУ соответствует кривая, направление касательной которой в каждой ее точке совпадает с направлением поля в этой точке.

Найти решение приближенно можно с помощью метода изоклин. Изоклиной ДУ (3а) называется кривая, в каждой точке которой поле на-

OX . Придавая параметру k близкие числовые значения можно получить сеть изоклин, с помощью которых приближенно строятся интегральные кривые ДУ

y′ = f ( x, y) .

Пример. y′ = x + y. f ( x, y) = x + y определена во всей плоскости, следовательно, поле направлений может быть построено во всей плоскости. Обозначим через α угол наклона к оси OX направление поля изоклина, в точках которой

своей точке шла в направлении поля.

Практически с помощью метода изоклин можно приближенно построить семейство интегральных кривых уравнения y′ = f ( x, y) . При этом чем больше

построено изоклин, тем точнее можно провести интегральные кривые, представить взаимное расположение интегральных кривых ДУ.

Упр. Методом изоклин приближенно построить интегральные кривые ДУ

y′ = xx +− yy .

ДУ 1-го порядка, интегрируемые в квадратурах

1. Уравнение вида y′ = f ( x) , где f ( x) непрерывная на (a, b) функция. Очевидно, все решения этого простейшего ДУ исчерпываются соотноше-

нием y = ∫ f ( x)dx + c , где c - произвольная константа. (Здесь ∫ f ( x)dx + c обозна-

чает одну из первообразных, а не совокупность их. Далее в теории ДУ это подразумевается.)

Геометрически: все интегральные кривые уравнения 1. в полосе

y = ∫ f ( x)dx + c0 проходит через эту точку.

Пример. y′ = 3 x2 . f ( x) = 3 x2 непрерывна для − ∞ < x < +∞ . Общее решение во всей плоскости XOY имеет вид y = x3 + c . Возьмем начальное условие x0 = 1, y0 = 3 . Тогда 3 = 1 + c0 c0 = 2 , то есть y = x3 + 2 .