Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4631 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 31

Двойные и тройные интегралы

Пусть z = f ( x, y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости XOY . Разобьем D на произвольные элементарные области с площадями ∆σ1 , ∆σ2 ,K, ∆σn и диаметрами d1 , d2 ,K, dn (диаметр – наибольшее из расстояний между двумя точками области). Выберем в каждой области ∆σ i произвольную

точку	Pi (ξi ,ηi )	и	составим	интегральную	сумму
n
I = ∑ f (ξi ,ηi )∆σ i = f (ξ1 ,η1 )∆σ1 +K+ f (ξn ,ηn )∆σ n .
i=1
Двойным интегралом от			функции f ( x, y)	по области D	назовем
	n
∫∫ f ( x, y)dσ = lim ∑ f (ξi ,ηi )∆σi .
D	max di →0 i=1
Если	f ( x, y) непрерывна в замкнутой области			D , то этот предел сущест-
вует и не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек.
Если	f ( x, y) > 0	в области	D , то с геометрической точки		зрения
∫∫ f ( x, y)dσ	равен объему цилиндрического тела, ограниченного снизу обла-
D

стью D плоскости XOY , сверху – поверхностью z = f ( x, y) , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ и направляющей

– границей области D .

	n
Если f ( x, y) = 1 , то ∫∫ f ( x, y)dσ = lim ∑∆σi = S , то есть двойной инте-
D	max di →0 i=1

грала дает площадь области D .

С физической точки зрения двойной интеграл есть масса материальной пластины D с переменной плотностью z = f ( x, y) .

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного: линейность, аддитивность, теорема о среднем и другие.

Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению однократных интегралов.

Рассмотрим сначала задачу о нахождении объема цилиндрического бруса в простейшем случае, когда в основании бруса находится прямоугольник. Мы уже знаем, как вычисляется объем тела с помощью определенного интеграла,

если известна площадь Q( x) поперечного сечения, a ≤ x ≤ b : V = ∫b Q( x)dx . Сече-

ние бруса плоскостью x = x0 (a ≤ x0 ≤ b) есть криволинейная трапеция, ограниченная снизу осью OY , слева и справа прямыми y = c, y = d , а сверху кривой

z = f ( x0 , y) . Тогда ее площадь Q( x0 ) = ∫d			f ( x0 , y)dy .		Эта формула верна и при
		c
x [a, b] , то есть Q( x) = ∫d	f ( x0 , y)dy .	Подставляя это значение Q( x) в формулу
c
для вычисления объема, получаем V = ∫b dx∫d				f ( x, y)dy .		Но по смыслу двойного
		a	c
интеграла V = ∫∫df ( x, y)∆σ ,	то есть	∫∫df ( x, y)dσ = ∫b dx∫d				f ( x, y)dy - двойной инте-
D		D		a	c

грал сведен к повторному. Можно было, рассуждая аналогично, получить и

другой порядок интегрирования ∫∫df ( x, y)dσ = ∫d		dy∫b	f ( x, y)dx .
D	c	a
Аналогичный результат можно получить и для более общего случая, ко-
гда область D на плоскости XOY представляет собой криволинейную трапе-

цию, ограниченную двумя кривыми y = ϕ1 ( x), y = ϕ2 ( x), a ≤ x ≤ b . Разница состоит лишь в том, что раньше при любом фиксированном x = x0 изменение y про-

исходило в одном и			том же промежутке	[c, d] ,	а теперь этот промежуток
					ϕ2 ( x0 )
[ϕ1 ( x0 ),ϕ2 ( x0 )]	сам зависит от x0 , так что			Q( x0 ) =	∫ f ( x0 , y)dy . Окончательно
					ϕ1 ( x0 )
	d	ψ2	( y)
V = ∫∫df ( x, y)dσ = ∫dy ∫ f ( x, y)dx .
D	c	ψ1 ( y)

В более общих случаях область интегрирования путем разбиения и использования свойства аддитивности двойного интеграла сводится к этим двум случаям.

Пример 1. Вычислить ∫∫												dxdy					1		≤ x ≤		2	.
												dxdy		,		D :
													2	,		D :
										D	( x + y)						3		≤ y ≤		4
			dxdy							2	4	dy					2			1			4				2		1					1
										2	4						2						4				2
Решение. ∫∫
							=			∫dx∫						= −∫dx								= −∫								−			dx =
						2	=			∫dx∫					2	= −∫dx								= −∫								−			dx =
		D	( x + y)							1	3	( x + y)					1		x + y				3				1 x + y							x + 3
		D	( x + y)							1	3	( x + y)					1		x + y				3				1 x + y							x + 3
= ln \| x + 3 \|		2 − ln \| x + 4 \|							2 = ln 5 − ln 4 − ln 6 + ln 5 = ln 25 − ln 24 = ln																						25		.


																															24
		1							1
		1

	Пример 2. Вычислить ∫∫( x2															+ y)dxdy,				D : y = x2 , y2 = x .
												D
	Решение. ∫∫												1				y						1		x	3					y
																															y


					( x			2		+ y)dxdy =			∫dy ∫( x					2	+ y)dx = ∫													dy =

																									3			+ xy
				D									0				y2						0		3					y2
= ∫1 ( y y + y y −				D									0				y2						0							y2
= ∫1 ( y y + y y −				y6		− y				3 )dy = 33 .
0	3			3								140
	Пример				3.					Найти							площадь						фигуры,										ограниченной
y = 11 − x2 , y = −10x .
	Решение.											11	11− y2					11					+ 10 x)dx = 288 .
	Решение.			S = ∫∫dxdy = ∫dx ∫dy = ∫(11 − x2																			+ 10 x)dx = 288 .
								D				−1	−10 x					−1

Тройной интеграл

Пусть функция u = f ( x, y, z) определена в ограниченной замкнутой области T пространства R3 . Разобьем T на n элементарных областей T1 ,T2 K,Tn произвольным образом с диаметрами d1 ,K, dn и объемами ∆V1 , ∆V2 ,K, ∆Vn . В каждой элементарной области возьмем произвольную точку Pk (ξk ,ηk ,γ k ) . Интегральной суммой для функции f ( x, y, z) на области T называется сумма вида

∑ f (ξ k ,ηk , γ k )∆Vk .

i =1

Тройным интегралом от функции f ( x, y, z) по области T называется предел интегральной суммы, при условии, что max di → 0 :

	n
∫∫∫ f ( x, y, z)dV = lim ∑ f (ξk ,ηk ,γ k )∆Vk .
T	max di →0 k=1

Для непрерывной в области T функции этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области T на элементарные, ни от выбора точек

Pk .

Перечислим свойства тройного интеграла.

∫∫∫1 dxdydz =∫∫∫dxdydz =∫∫∫dv =v , где v - объем области V .

Аддитивность: α, β R

∫∫∫(αf ( x, y, z) + βg( x, y, z))dv = α∫∫∫ f ( x, y, z) + β ∫∫∫g( x, y, z) .

Если область V = V1 V2 и V1 ∩V2

= ,

то есть области V1 ,V2 не имеют

общих внутренних точек, то ∫∫∫ f ( x, y, z)dv =∫∫∫ f ( x, y, z)dv + ∫∫∫ f ( x, y, z)dv .

Если

f ( x, y, z) ≥ 0

( x, y, z) V , то ∫∫∫ f ( x, y, z)dv ≥ 0 .

Если

f ( x, y, z) ≥ g( x, y, z)

( x, y, z) V , то ∫∫∫ f ( x, y, z)dv ≥ ∫∫∫g( x, y, z)dv .

∫∫∫ f ( x, y, z)dv

≤ ∫∫∫

f ( x, y, z)

dv .

mv ≤ ∫∫∫ f ( x, y, z)dv ≤ Mv , где v - объем области V , а m, M соответствен-

но наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y, z) на области V .

Если

параллелепипед

a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q ,

f ( x, y, z) = ϕ( x) g( y) h(z) , то ∫∫∫

f ( x, y, z)dxdydz = ∫

ϕ( x)dx∫ g( y)dy∫h(z)dz .

Если

f ( x, y, z) непрерывна в ограниченной и замкнутой области V объ-

ема v ,

то существует точка (ξ,η,γ ) V

такая, что

∫∫∫ f ( x, y, z)dv = f (ξ,η,γ ) .

f ( x, y, z) = 1

Число f (ξ,η,γ )	называется средним значением функции в области V .
10. Производная тройного интеграла по области V определяется следую-
щим пределом:	1
lim	1	∫∫∫ f ( x, y, z)dv , где d	- диаметр области V , v - объем области
lim	v	∫∫∫ f ( x, y, z)dv , где d	- диаметр области V , v - объем области
d →0	v	V
V . При этом справедливо равенство lim				1	∫∫∫ f ( x, y, z)dv = f ( x, y, z) .
V . При этом справедливо равенство lim				v	∫∫∫ f ( x, y, z)dv = f ( x, y, z) .
			d →0	v	V
Пример 1. Найти V : y = 1 + x2 , x = 3 x, y = 5, z = 0 .
			2		5
Решение. V = ∫∫3xdxdy = 3∫ xdx ∫dy = 12(ед3 ) .
		В	0		1+ x2

С физической точки зрения ∫∫∫ f ( x, y, z)dV представляет собой массу тела,

занимающего область T и имеющего переменную плотность γ = f ( x, y, z) . С геометрической точки зрения при мы имеем объем тела T . Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного и определенного интегралов.

Вдекартовой системе координат тройной интеграл обычно записывается

ввиде ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .

T
Если	область интегрирования	T	определяется неравенствами
x1 ≤ x ≤ x2 ,	y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x), z1 ( x, y) ≤ z ≤ z2 ( x, y) ,		где	y1 ( x), y2 ( x), z1 ( x, y), z2 ( x, y) не-
		x2	y2 ( x)	z2	( x, y)
прерывные функции, то ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫dx			∫ dy		∫ f ( x, y, z)dz .
	T	x1	y1 ( x )	z1 ( x, y)

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4631 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF