ЛЕКЦИЯ 30

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4630 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Г( p + 1) = ∫ x p e−x dx =

= − x p e−x

+ p∫ x p−1e−x dx = pГ( p) . Таким образом,

Интегралы, зависящие от параметров.

Г(α), B(α, β ) .

Рассмотрим функцию нескольких переменных u = f ( x, y, z,K, w) , определенную и непрерывную в области a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , K , s ≤ w ≤ t . Закрепив лю-

бые значения y, z,K, w , мы	получим	функцию одной переменной x :
u = ϕ( x) = f ( x, y, z,K, w) непрерывную, а,		значит, интегрируемую на	отрезке
a ≤ x ≤ b .
β
F ( y, z,K, w) = ∫ f ( x, y, z,K, w)dx , где a ≤ α ≤ b, a ≤ β ≤ b . Функция F			зависит
α
от выбранных нами значений y, z,K, w , то есть является функцией от			y, z,K, w ,
определенной в области c ≤ y ≤ d ,	l ≤ z ≤ m, K , s ≤ w ≤ t .
Переменные y, z,K, w , от которых зависит подынтегральная функция и

которые при интегрировании рассматриваются как постоянные, называются

параметрами, а сам интеграл F ( y, z,K, w)

есть функция этих параметров.

Так, например,

1) ∫

x + ydx =

+ y) 2

− y 2

есть функция одного пара-

метра y , определенная для всех y ≥ 0 .

dx2

2 = ln

1 + x

+ y

+ z

есть функция двух параметров y и

2) ∫

−2

+ y

+ z

| −2 + 4 + y

+ z

z , определенная в любом прямоугольнике, кроме y = z = 0 .

+ v 2 )dx есть функция трех параметров y, z, v , определенная

3) ∫4 sin x( y 2 + z 2

π 4

для всех значений

y, z, v . Этот интеграл не берется в элементарных функциях,

если y 2 + z 2

+ v 2

≠ 0 .

Сформулируем без доказательства несколько теорем, ограничившись

случаем двух переменных.

Теорема

Если

функция

f ( x, y)

непрерывна

прямоугольнике

{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } ,

то функция

F ( y) = ∫ f ( x, y)dx ,

где a ≤ α ≤ b, a ≤ β ≤ b непре-

рывна на отрезке c ≤ y ≤ d .

Теорема

Если

функция

f ( x, y)

непрерывна

прямоугольнике

{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } ,

то

f ( x, y)dx ,

где

c ≤ y0 ≤ d ,

lim

∫

f ( x, y)dx =

lim

y→ y0

∫ y→ y0

a ≤ α ≤ b, a ≤ β ≤ b .

Теорема 3. Если функции

f ( x, y),

f y′( x, y) непрерывны в прямоугольнике

{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } , то функция F ( y) = ∫ f ( x, y)dx , где a ≤ α ≤ b, a ≤ β ≤ b диффе-

ренцируема на отрезке [c, d] , причем F ′( y) = ∫ f ′( x, y)dx .

В приложениях часто случается, что при различных значениях параметров интегрировать приходится в разных пределах, то есть α, β сами являются функциями параметров. Но и в этом случае справедливы аналоги теорем 1 и 3.

Теорема	′	Если функция f ( x, y)	непрерывна в	прямоугольнике
	1 .
{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } ,		а функции α( y), β( y) дифференцируемы на отрезке [c, d] ,
причем a ≤ α( y) ≤ b, a ≤ β( y) ≤ b , то функция			β ( y )
			F ( y) = ∫ f ( x, y)dx ,	непрерывна на
			α( y )
отрезке [c, d] .
Теорема 3′. Если функции f ( x, y), f y′( x, y) непрерывны в прямоугольнике
{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } ,		а функции α( y), β( y) дифференцируемы на отрезке [c, d] ,

причем a ≤ α( y) ≤ b, a ≤ β( y) ≤ b ,

β ( y )

то функция F ( y) =

∫ f ( x, y)dx дифференцируема

α( y )

на отрезке [c, d] , причем F ′( y) =

β ( y )

f (β( y), y) β ′( y) − f (α( y), y) α′( y) .

∫ f y′( x, y)dx +

α( y )

Пример 1. Найти F ′( y) , если F ( y) = ∫1

ln( x 2 + y 2 )dx,

y > 0 .

Решение. Согласно теореме 3 F ′( y) = ∫1

2 y

dx =

2 y

arctg

x=1

+ y

x=0

= 2arctg

. Можно, конечно,

сначала вычислить F ( y)

путем интегрирова-

ния, а затем продифференцировать, но это сложнее.

Пример 2.

3 y2 +1

e xy

dx, y ≠ 0 .

F ( y) =

∫

Решение.

Здесь

уже

интеграл

неберущийся.

Согласно

теореме

3 y2 +1

( 3 y2 +1) y

3′, F ′( y) =

∫exydx +

6 y −

2 y =

−

6 y −

2 y =

3 y

+ 1

3 y

+ 1

y( 3 y2 +1)

6 y

3e y3

= e

3 y

−

В случае несобственных интегралов ∫∞ f ( x, y)dx

необходимо, чтобы

∫∞ f ( x, y)dx,	∫∞ f y′( x, y)dx при 0 ≤ y < ∞ для того, чтобы можно было дифферен-
0	0

цировать по параметру.

Справедлива, кроме того, еще одна теорема:

Теорема. Если подынтегральная функция f ( x, y) непрерывна в прямо-

угольнике		{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } ,	то	функция
β	β b	b β

∫F ( y)dy = ∫dy∫ f ( x, y)dx = ∫dx∫ f ( x, y)dy , где c ≤ α ≤ d , c ≤ β ≤ d , то есть можно ме-

α α a a α

нять порядок интегрирования.

В случае бесконечной области интегрирования необходимо существование всех интегралов.

Пример 1. Найти ∫1 x m (ln x)n dx , где m, n - положительные целые числа.

Решение. Рассмотрим интеграл ∫1

x m dx =

. Здесь

f ( x, m) = x m

- непре-

m + 1

рывная функция на интервале 0 < x < 1

при m > 0 .

Найдем производную этого

интеграла

по

m :

∫1

x m dx = ∫1

x m ln xdx = −

Еще

раз:

(m + 1)

∫1

x m (ln x)2 dx

. После n -

кратного дифференцирования по m находим

+ 1)

∫1

x m (ln x)n dx = (−1)n

n+1

(m + 1)

Пример 2. Найти ∫∞

, где n - целое положительное, λ > 0 .

n+1

0 ( x

+ λ)

∞

Решение. ∫

arctg

. Дифференцируя по параметру λ ,

+ λ

∞

имеем ∫

. В результате n - кратного дифференцирования полу-

( x

+ λ)

2 2λ

∞

3 5 K (2n − 1)

чим ∫

+ λ)

n+1

2 4 6 K 2n

2λ

0 ( x

Пример 3.

I = ∫∞

e − x

− e −λx

dx .

Решение. Дифференцируем по λ :

= ∫∞ e −λx dx =

I = ln λ .

dλ

Гамма-функция

Гамма-функцией (или интегралом Эйлера второго рода) называется ин-

теграл вида Г( p) = ∫∞ e− x x p−1dx , являющийся функцией параметра p .

Это интеграл несобственный, так как верхний предел равен ∞ , и, кроме того, при p < 1 , при x → 0 подынтегральная функция неограниченно возрастает.

Для нахождения области определения Г( p) представим ее в виде

Г( p) = ∫1	e − x x p−1dx + ∫∞ e − x x p−1dx . Для первого интеграла \| e− x x p−1 \|≤ x p−1 при p > 0 , а
0	1

∫1	dx	сходится при 1 − p < 1 , то есть при			p > 0 .
∫1	1− p	сходится при 1 − p < 1 , то есть при			p > 0 .
0	x
		Для второго интеграла		∫∞ e − x x p−1dx	очевидно,	что e−x x p−1 ≤ cx−2 =		c	при
		Для второго интеграла		∫∞ e − x x p−1dx	очевидно,	что e−x x p−1 ≤ cx−2 =		2	при
				1				x
x → ∞ .			А так как ∫∞ cdx2 сходится, то и		∫∞ e −x x p−1dx	сходится также при любом
			1 x		1
p > 0 . Таким образом, Г( p) сходится при p > 0 .
		Нетрудно видеть, что Г( p) > 0 при p > 0 .
	1)		Г( p) непрерывна и имеет непрерывную производную Г′( p)				при p > 0 .
	2)		Г( p + 1) = pГ( p) .	В самом	деле, проинтегрировав		по	частям,

мы получили формулу приведения для гамма-функции: Г( p + 1) = pГ( p) .

3)Г( p + n) =( p + n − 1)( p + n − 2)K( p + 1) pГ( p) .

Поскольку Г(1) = ∫∞ e −x dx = 1 , то полагая p = 1

получим Г(1 + n) = n! . При

n = 0 имеем 0!= Г(1) = 1 .

С помощью

Г( p) можно распространить понятие факториала n!

на об-

ласть

любых

положительных

значений

аргумента.

Так,

Г( p + n) = ( p + n − 1)( p + n − 2)K( p + 1) pГ( p) .

Г(2) = Г(1 + 1) = 1 Г(1) = 1 . Кроме того, Г( p) дифференцируема, а по тео-

реме Роля существует

нуль

производной.

Кроме

того,

так как

Г′′( p) = ∫∞ x p−1 ln 2 xe −x dx > 0 , то Г′( x)

имеет только один нуль, который находится

в интервале (1,2) .

Так как

Г′′( p) > 0 , то в точке p0 (1,2) функция

Г( p)

имеет

минимум.

Г( p + 1)

Из формулы 2) следует,

что

Г( p) =

→ ∞ при

p → +0 , так как

Г( p + 1) → Г(1) при x → +0 . Отсюда строим график Г( p) .

7)Можно распространить Г( p) и на значения p < 0 . При p = −n из 2) сле-

дует, что Г(−n) =

Г(−n + 1)

Г(−n + 2)

= −

Г(−n + 3)

= K= (−1)−n

Г(0)

− n

n(n − 1)

n(n − 1)(n −

= (−1)2 ∞ .

Если

рассмотреть

− n < p < −(n − 1) ,

то

из

Г( p) =

Г( p + n)

p( p + 1)K( p + n −1)

Г(α − n) =

(−1)n Г(α)

α = p + n p = α − n и для

− n

< p < −(n − 1)

(1 −α)(2 −α)K(n −α)

знак Г( p) определяется множителем (−1)n .

Для

полуцелого

аргумента

имеем

Г(m +

) =

Г 1 + m −

−

Г m −

−

m −

= K=

(2m −1)(2m − 3) K 5 3 1

(2m)!

, или

Г m +

m!22m

9) Имеет место формула дополнения Г( p)Г(1 − p) =

(0 < p < 1) .

sin pπ

Полагая p =

имеем Г

π .

Пример 1. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона ∫∞ у−x2 dx .

∞

− x2

x 2 = t, x = t

∞

−t

−

∞

−t

−1

Решение. ∫

∫e

2 dt =

t 2

dt =

Г −

Пример 2.

= −2

π .

−

Пример 3. (− 1

)!=

π = 1,772 .

Г −

1 = Г

Пример 4.

3 1

3 π

= 1,329 .

2 2

Бета-функция

Бета-функцией называется интеграл B( p, q) = ∫1

x p−1 (1 − x)q−1dx .

p и q , сходящийся при

Данный интеграл есть функция двух параметров

p > 0, q > 0 . Функция B( p, q) симметрична относительно параметров

p и q , т.е

B( p, q) = B(q, p) .

Если

сделать

замену

x = sin2 t, dx = 2sin t cos t, 0

≤ t ≤

, то

2 p−1

2q−1

M + 1

n + 1

B( p, q) = 2 ∫sin

t cos

tdt , или ∫sin

x cos

xdx =

, m > 0, n > 0 .

К таким интегралам сводятся многие интегралы, встречающиеся в прикладных задачах.

Для вычислений значений бета-функции используют равенство

B( p, q) = Г( p)Г(q) . Г( p + q)

Эйлеровы интегралы являются хорошо изученными неэлементарными функциями. Для них составлены подробные таблицы.

Пример 1.

																														7									9															1												1
π	2												1			1					9					1		Г							Г												1		6! Г								8! Г																5π
π																												Г				2			Г				2										6! Г								8! Г												2
		6				8																										2							2															2															2								.
∫sin			x cos				xdx =							B						,				=																				=																												=
∫sin			x cos				xdx =						2	B						,	2			=		2							Г(8)											=			2					7! 3! 2					6	4! 2										8				=	2	12
0													2			2					2					2							Г(8)														2					7! 3! 2						4! 2															2
																																									−		1							2												5								3
																																																		2																				3
														1						dx									1									2										x 5 = t, dx =																			t 2 dt
																																										2

			Пример 2. ∫																																			5
																																1		− x				5					=																			2										=
																										= ∫						1		− x									=																5			2										=
														0			1 −				5		x		2				0
														0							5				2				0																									x = t 2
																																																						x = t 2
																																								5								1																									1						1
				5		1 3																5				5			1						5			Г								Г									15π										5					4! Г						Г								15π
						1 3																																Г								Г																								4! Г						Г
					∫t				(1		− t )			−	1																											2						2																									2						2								.
								2							1
								2
			=												2	dt			=				B				,				=													Г(3)									=							=																		4				=		16
				2 0											2							2				2 2									2																			6											2							2!2!2
				2 0																		2				2 2									2																			6											2							2!2!2
								Пример 3. ∫π																																					cos t = 1 − 2												u,						t = arccos(1 − 2																			u)
								Пример 3. ∫π																		dt								= dt =																	du										−												1										−		1	=
																						0			3 − cos t																				24 u3							1 −					u											1 − 1 + 4									u + 4u								u
																																															3 − cos t =												2							1 +						u ,			0 ≤ u ≤ 1
																																																						1 1																										1				2


				1								3																																									Г	Г
			= ∫				1				−		(1		− u)					−	1								1							1			,	1								1						4										2									π							4						. Так
										u		4										2 du =												B										=															3												=
										u		4										2 du =												B			4			2				=																											=								3		1
				0 2 2																							2 2										4			2				2 2																												2 2							3		1
																																																								Г																				Г						Г
																																																								Г			4																	Г						Г
																																																											4																				4				4
как			3					1							1												1									π												2 , а									1										Г(1,25)								= 3,6256 , то
		Г					Г					= Г										Г 1				−						=									= π													Г								=
		Г					Г					= Г										Г 1				−						=						π			= π													Г			4					=									14
			4						4						4												4							sin				π																			4														14
∫π																																						4
∫π		dt					=			π			(3,6256)2											= 1,8545 .
0	3 − cos t							2			2				π			2

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4630 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF