ЛЕКЦИЯ 3

Метод Гаусса. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными (метод последовательного исключения неизвестных).

Элементарными преобразованиями системы (9) будем называть:

1.Умножение какой-либо строки системы (9) на число α ≠ 0

2.Прибавление к какой-либо строке системы (9) другой строки, умноженной на какое-то число α

3.Замена местами двух строк

Справедлива следующая теорема.

Если мы приходим от данной системы к другой системе с помощью элементарных преобразований, то новая система эквивалентна данной системе (эквивалентна – значит, все решения одной системы являются решениями другой и наоборот).

Перейдем теперь непосредственно к алгоритму.

Пусть дана система (9) и пусть среди коэффициентов a11, a21,K, am1 при неизвестном x1 есть отличные от нуля, например, a11 ≠ 0 (если a11 = 0 , выбираем коэффициент ai1 ≠ 0 и ставим i -ю строку первой, перенумеровав коэффициенты, получим a11 ≠ 0).

Возьмем первое уравнение, до множим его почленно на − ai1 и прибавим к

a11

его i -му уравнению для каждого i = 2,K, m . В результате получим систему

Система (14) эквивалентна системе (9), но более проста по виду. Может получиться следующее:

1.Какая-то строка системы целиком состоит из нулей, тогда ее просто вычеркиваем.

2.В какой-то строке слева от равенства стоят нули, а справа – число, отличное от нуля, тогда система (9) несовместна.

~= ~ =

3.Пропали все неизвестные xj , т.е. a2 j 0,K, amj 0 . В этом случае

система не изменяется, ведь xj входит в первое уравнение.

(элементарные преобразования делаем только над строками матрицы). Отсюда

Векторы и линейные операции над ними

В математике различают скалярные и векторные величины. Скалярные величины полностью определяются своим значением, например, температура тела, масса, объем и т.д. Но для силы, скорости, ускорения, кроме величины надо указать еще и направление в пространстве. Такие величины называют векторными.

Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B , обозначается AB (или a,b ,K, x ). Будем считать, что два вектора AB и CD равны, если они одинаково направлены и длины отрезков AB и CD равны AB = CD .

Мы будем рассматривать свободные векторы, т.е такие векторы, которые можно перемещать параллельно самим себе. Далее рассматриваем только свободные векторы.

Нулевым называется вектор, начало, и конец которого совпадают (обозначается o ).

Длина нулевого вектора равна нулю, и ему можно принимать любое направление.

Длиной или нормой вектора AB называется длина отрезка AB и

обозначается AB или AB .

Вектор a , длина которого равна 1, называется единичным или ортом. Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными.

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными. Суммой двух векторов a и b называется вектор a +b , являющийся

диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах:

a

Заметим, что в определение ЛВП не входит никакое умножение векторов. Отметим также, что с математической точки зрения вектором можно назвать любой объект, а не только направленный отрезок. Лишь бы были определены

операции их сложения и умножения на число. Примером ЛВП может быть:

1.множество обычных векторов в R2 или R3

2.множество матриц размерами m×n с введенными ранее операциями сложения и умножения на число

3.множество функций, непрерывных на отрезке [a,b] и т.д.

Линейной комбинацией n векторов e1, e2 ,K, en , называется вектор

x = α1e1 +α2e2 +K+αnen , где α1,α2 ,K,αn R называются коэффициентами комбинации.

Если вектор x представлен в виде линейной комбинации, то говорят, что он разложен по векторам e1, e2 ,K, en .

Векторы e1, e2 ,K, en называются линейно-зависимыми, если существуют такие постоянные числа λ1, λ2 ,K, λn , не все одновременно равные нулю, что

Если же равенство (1) выполняется только при всех λ1 = λ2 =K= λn = 0 , то векторы e1, e2 ,K, en называются линейно-независимыми.

Примером линейно-зависимых векторов могут быть любые два вектора a и

b , т.к. в этом случае имеет место соотношение b =αa , где α R .

Из элементарной математики известно, что если e1 и e2 два неколлинеарных

вектора, то всякий компланарный им вектор a однозначным образом линейно выражается через векторы e1 и e2 : a = α1e1 +α2e2 .

Отсюда следует, что любые три компланарных вектора всегда линейнозависимы. Аналогично, если e1, e2 , e3 - три некомпланарных вектора, то любой

вектор a пространства единственным образом разлагается в их линейную комбинацию: a = α1e1 +α2e2 +α3e3 , т.е. любые четыре вектора в пространстве

линейно-зависимы.

Базисом пространства называется совокупность линейно-независимых векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пространства. Векторы, составляющие базис называются базисными.

Базис на прямой образует любой ненулевой вектор, на плоскости – любая пара неколлинеарных векторов плоскости, в пространстве – любая тройка некомпланарных векторов трехмерного пространства.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами в заданном базисе сводятся к обычным линейным операциям над числами-координатами векторов. Скажем, при сложении двух векторов их