Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4629 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 29

Пример

Найти

длину

дуги

одной

арки

циклоиды

x = a(t − sin t),

y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π .

Решение.

S = a

2∫π

(1 − cos t)2

+ sin 2 tdt = 2a

2∫π

sin 2

t dt = 2a

2∫πsin

t dt =

= −2a 2cos

2π

= 4a + 4a = 8a .

Пример 2. Найти площадь поверхности шарового пояса.

Решение.

Рассмотрим шар радиуса

R с центром в начале координат.

Вращая вокруг оси OX дугу y =

− x2 ,

a ≤ x ≤ b этой окружности, получим

поверхность

шарового

пояса.

Ее

площадь

равна

S = 2π ∫b

R2 − x2

1 +

2 x2

2 dx = 2πRx ab = 2πR(b − a) .

− x

Если b − a = 2R , то получим площадь сферы S = 4πR2 .

Упр.

Найти

площадь

поверхности

вращения

астроиды

x = a cos3 t, y = a sin 3 t вокруг оси OX .

Физические приложения определенного интеграла

Одна из схем применения ОИ к вычислению физических величин может состоять в следующем:

1) Полагаем, что некоторая часть искомой величины U есть неизвестная функция u( x) , где x - один из параметров величины U , который изменяется в известном из условия задачи интервале a ≤ x ≤ b.

2)Найдем дифференциал функции u( x) , то есть приближенную ве-

личину (главную часть) ее приращения ∆u при изменении x на малую величину dx в виде произведения du = f ( x)dx , где f ( x) данная или определяемая из условия задачи функция от x . При этом здесь также используются различные допущения, которые в общем виде сводятся к тому, что при изменении аргумента x на малую величину dx изменение функции u( x) считается пропорциональным dx .

3) Убедившись, что дифференциал du, то есть что при ∆x → 0 бесконечно малые ∆u и du будут эквивалентны, найдем искомую величи-

ну U интегрируя du в пределах от x = a до x = b : U = ∫b	f ( x)dx .
a

Пример 1. Найти величину давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого 6м и находится на поверхности воды.

Решение. Величина p давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины ее погружения x , то есть от расстояния площадки до

поверхности жидкости p = ρgxS , где ρ -удельный вес воды. ρ = 1000	кг	3 , S -
	м

площадь площадки. Руководствуясь схемой, разделим стенку на глубине x

горизонтальной прямой. Тогда давление воды на верхнюю часть шлюза будет некоторой функцией p( x) . Найдем дифференциал dp этой функции, то есть приближенную величину (главную часть) ее приращения ∆p при изме-

нении глубины x на малую величину dx . Допустим, ввиду малости dx , что все точки заштрихованной плоскости находятся на глубине x , то есть что она расположена на глубине x в горизонтальной плоскости. Кроме того, также ввиду малости dx , допустим, что площадки представляют собой прямоугольник, то есть пренебрежем округлостью стенки. Тогда приближенная величина давления воды на эту полоску будет равна весу столба воды,

имеющего

основанием эту

полоску и высотой

–

глубину x :

∆p ≈ dp = 2

9 − x2 dx x ρg = 19600x

9 − x2 dx .

Отсюда

p = ∫3

19600 x

9 − x 2 dx = −

19600 (9 − x2 )3 2

= 176400H = 176,4кH .

кг

кг м

= Н .

м3

сек2

Пример 2. Определить массу шара радиуса r , если плотность в каждой

его точке пропорциональна расстоянию от центра шара.

Решение. Пусть масса шара произвольного радиуса

есть некоторая

функция m( x) . При увеличении x на малую величину dx объем V этого шара увеличивается на величину ∆ϑ , равную разности объема шаров с радиу-

сами	x и	x + dx .	∆ϑ =	4	π[( x + dx)3	− x3 ] =	4	π(3x2 dx + 3xdx2	+ dx3 ) ≈ 4πx2 dx = dϑ .
				3			3

Допуская, что во всех точках малого объема dϑ плотность остается постоян-

ной и

равной

kx ,

найдем

приближенную

величину

его

массы

dm = kxdϑ = 4kπx 3 dx . Полную массуM

шара радиуса r

получим, интегрируя

dm в пределах от x = 0 до x = r :

M = 4kπ ∫r

x3 dx = kπx4

0r = kπr 4 .

Пример 3. Определить работу, совершаемую при подъеме спутника с

поверхности Земли на высоту 200км. Мааса спутника 7т,

радиус

Земли

Rз = 6380км. g у поверхности Земли принять 10 м

2 .

mM з

gr 2

Решение.

Масса

Земли

M = mg = γ

M з =

кг

= 6,1 10

Нм

R+h mc M з

6,58 106 7 103

6,1 1024

2 dx = γ

∫

dx = 1,36 10

g .

γ =

1,5 10

кг

A = γ ∫

6,38 106

Приложение ОИ в экономике

Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования ОИ нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргументов).

1. Дневная выработка. Найти дневную выработку P за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение

дня меняется по эмпирической формуле p = f (t) = p0 (−0,2t 2	2 + 1,6 t	+ 3) , где
	t0	t0

t - время в часах, p0 - размерность производительности (объем продукции в часах), t0 - размерность времени (в часах).

Полагая, что производительность труда меняется в течение дня непрерывно, то есть p является непрерывной функцией аргумента t на отрезке [0,8], дневную выработку P можно выразить определенным интегралом:

P = p0		∫8	(−0,2t 2	t 2	+ 1,6 t t0			+ 3)dt = F(t) 08 =
		0		0
		t 3		t 2		8			,
		t 3		t 2		8
							= 41,06 p0 t0 = 41,06a0
= p0	− 0,2		2 + 0,8	t0	+ 3t		= 41,06 p0 t0 = 41,06a0
		3t0		t0		0
		3t0				0
где a0 - множитель,	имеющий размерность единицы продукции. Если бы в

течение всего дня работа велась ритмично и с максимальной производительностью pmax = 6,2 p0 , то дневная выработка составила бы pmax = 49,6a0 или примерно на 21% больше.

2. Выпуск оборудования при постоянном темпе роста.

Производство оборудования некоторого вида характеризуется темпом роста его выпуска K = ∆∆ty 1y , где ∆y - прирост выпуска этого оборудования за

промежуток времени ∆t , а y - уровень его производства за единицу времени на момент времени t . Найти общее количество оборудования, произведенного к моменту времени t , полагая, что k - известная постоянная величина, единицей времени является год, а в начальный момент времени t = 0 уровень ежегодного производства оборудования составил y0 .

Решение. Перейдем к пределу при ∆t → 0 , полагая, что он существует.

Полагаем, что y является непрерывной функцией от времени t .

По опреде-

лению

производной k = lim

∆y 1

y′

= (ln y)′ . Интегрируем от

0 до t :

∆t y

∆t→0

∫t

kdt = ∫t

(ln y)′dt = kt

0t = kt = ln

y0 (ekt − 1) . Например, при k = 0,05 (5% еже-

годного прироста) общее количество оборудования, выпущенное за 10 лет, составит Y (10) = 20 y0 (e0,5 − 1) ≈ 13 y0 , причем уровень его производства за ука-

занный период времени увеличится почти на 65%.

В экономике с помощью ОИ вычисляются средние значения, как например, средняя производительность труда, средняя мощность электроприборов, среднее значение издержек и тому подобное.

Также с помощью ОИ вычисляются статические моменты геометрических фигур относительно координатных осей, моменты инерции, координаты центра тяжести дуги плоской кривой или криволинейной трапеции и другие физические характеристики исследуемого объекта.

Приближенное вычисление ОИ

Определение первообразной для многих функций может быть сложным процессом, да и не все ОИ имеют в качестве первообразной элементарную функцию. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления ОИ. Следует заметить, что приближенными методами обычно пользуются и для вычисления интегралов, выражающихся через элементарные функции, потому что, как правило, для вычислений используются ПЭВМ.

Очевидно, что любая интегральная сумма задает приближенное значе-

b	n
ние ОИ, то есть ∫ f ( x)dx ≈ ∑ f (ξi )∆xi		. Наиболее известными являются фор-
a	i=1

мулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Рассмотрим формулу трапеций: разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками a = x0 < x1 < K< xn = b . Точки xi , i = 0, n называются узлами интегрирования. Расстояние h между двумя соседними узла-

ми называется шагом интегрирования и равно

b − a

. Оно есть величина по-

b − a

стоянная, то есть ∆xk

= xk − xk−1 =

= h . В качестве f (ξk )

возьмем величи-

ну

f ( xk−1 ) + f ( xk )

yk=1 − yk

Тогда

∫b

f ( x)dx ≈

( y0 + y1 ) +

( y1

+ y2 ) +K+

( yn−1 + yn ) = h(

+ y1 +K+ yn−1 +

) =

−

+ y

n−1

b a

(

+ y

+K+ y

n−1

) , то есть

∫

f ( x)dx =

f (a) f (b)

∑

f (a + ih) .

i=1

Это и есть формула трапеций. Очевидно, что чем больше n, тем точнее значение интеграла. Погрешность, то есть разность между точным и приближенным значением ОИ, для формулы трапеций выражается неравенством

∆(n) ≤

(b − a)3

M 2 , где M

2 = max | f ′′( x) | .

12n2

[a,b]

Более точной является формула Симпсона. Для нее промежуток интег-

рирования

[a, b]делят

на четное

число

частей

так,

что

h =

b − a

, xk

= a + kh, k =

. Площадь криволинейной трапеции,

ограничен-

0,2n

ной осью OX , прямыми x = 2k, x = 2k + 1

и y = f ( x) заменяют на каждом про-

межутке [ x2k , x2k +2 ]

площадью такой же криволинейной трапеции с одним от-

личием – сверху

она

ограничена параболой,

проходящей через 3

точки

( x2k , f ( x2k )), ( x2k +1 , f ( x2k+1 )), ( x2k +2 , f ( x2k +2 )) (это

всегда

возможно).

Тогда

n−1

b − a

∫ f ( x)dx ≈

∑(f ( x2k ) + 4 f ( x2k +1 ) + f ( x2k +2 )) или ∫ f ( x)dx ≈

[ f (a) + f (b) +

3 k =0

+ 2( f ( x2 ) + f ( x4 ) +K+ f ( x2n−2 )) + 4( f ( x1 ) + f ( x3 ) +K+ f ( x2n−1 ))].

Оценка погрешности ∆ ≤	(b − a)5			M4 , где M4		= max \| f 4 ( x) \| .
	2880n4
							[a,b]
Пример. Зная, что ∫1		dx		= arctgx	10 =	π	вычислить приближенно число

		1 + x	2			4
	0

π , воспользовавшись формулой трапеций при n = 10 . Оценить погрешность.

Решение.

b − a

= 0,1, x0

= 0, x1

= 0,1,K, x9

= 0,9, x10 = 1

= 1,

y1 =

,K, y9

y10

= 0,5 .

Тогда

1 + 02

1,01

1,04

1,81

1 +

∫1

= π

≈ 0,1(0,75000 + 0,99099 + 0,961538 + 0,917431 + 0,862069 + 0,800000 +

0 1 + x

+ 0,735294 + 0,671141 + 0,609756 + 0,552486) = 0,7849814 π = 3,139926

Оценим погрешность.

′

′′

2(3x2 −1)

′′

( x) |= 2 .

( x) = − (1 + x2 )2 , f

( x) =

(1 + x2 )3 , M2 = max | f

Значит

∆ ≤

2 =

1200

600

Несобственные интегралы

Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подынтегральная сумма ограничена на этом отрезке. Если хоть одно из этих условий невозможно, то данное выше определение интеграла Римана теряет смысл. Рассмотрим некоторые возможные обобщения определенного интеграла.

Пусть функция f ( x) непрерывна на промежутке a ≤ x ≤ +∞ , тогда она

непрерывна на любом отрезке [a, b], а, следовательно, ∫b f ( x)dx . Этот инте-

грал является функцией своего верхнего предела b , определенной на проме-

жутке a ≤ b ≤ +∞ . Если при b → ∞ ∫∞ f ( x)dx стремится к конечному пределу, то

этот предел обозначают символом ∫∞ f ( x)dx и называют несобственным ин-

тегралом по бесконечному промежутку или несобственным интегралом 1-

го рода.

∫∞	f ( x)dx = limb→∞	∫b	f ( x)dx
a		a

Если это предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечно-

сти, то расходящимся.

Аналогич-

но, ∫b	f ( x)dx = alim→−∞∫b	f ( x)dx	∫∞	f ( x)dx = a→∞lim,b→−∞∫b	f ( x)dx = ∫0	f ( x)dx + +∞∫ f ( x)dx .
−∞	a		−∞	a	−∞	0

Несобственные интегралы не являются пределами интегральных сумм, а являются пределами определенных интегралов с переменным верхним пределом или нижним пределом при стремлении этих пределов к бесконечности.

Примеры.

+∞∫

= lim

∫b

= lim arctgx

сходится.

1 + x

b→+∞

1 + x

b→+∞

+∞∫cos xdx = sinx

0∞ расходится.

∫1

e2 x dx =

1 e2

сходится.

−∞

непрерывна на полуинтервале [a, b) и не

Пусть теперь функция

f ( x)

ограничена вблизи b .

Эта функция непрерывна, а значит, интегрируема на

любом отрезке [a, b1 ], a ≤ b1

< b . Интеграл ∫ f ( x)dx

есть функция своего верх-

него предела. Если при b1

→ b − 0

существует конечный предел ∫ f ( x)dx ,

то

этот предел обозначают символом ∫b

f ( x)dx

и называют несобственным инте-

по отрезку [a, b]

или несобствен-

гралом от неограниченной функции

f ( x)

ным интегралом второго рода.

∫b

f ( x)dx = limα→0 b∫−α f ( x)dx .

Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящим-

ся, в противном случае – расходящимся.

Несобственный

интеграл

∫b

f ( x)dx

( f (c) = ∞, a < c < b)

называется схо-

дящимся,

если

существуют

пределы

c−α

limα→0

∫ f ( x)dx

limβ →0 ∫ f ( x)dx

c+β

c−α

∫ f ( x}dx = limα→0 ∫

f ( x)dx + limβ →0

∫ f ( x)dx , и расходящимся, если не существует хо-

+β

тя бы один из них.

Пример.

∫2

1−ε

∫2

= lim

∫

+ lim

−1 3 ( x −

1)2

ε1 →+0

−1

3 ( x −1)2

ε2 →+0

1+ε2

3 ( x −

1)2

= lim 33 x −1

1−ε1

+ lim 33 x − 1 2

= 3 lim (3 − ε1

− 3 − 2 ) + 3 lim (3 1 − 3 ε2 ) = 33 2 + 1

ε1 →+0

−1

ε2

→+0

1+ε2

ε1 →+0

ε2

→+0

Для графика подынтегральной функции

y =

прямая x = 1 яв-

3 ( x −1)2

ляется вертикальной асимптотой. Интегралы от этой функции в пределах от -

1 до 1 − ε1 и от 1 + ε2 до 2 выражают площади криволинейной трапеции. При ε1 → +0, ε2 → +0 эти трапеции неограниченно простираются вверх и вместе с тем имеют конечные площади, сумма которых равна найденному значению данного несобственного сходящегося интеграла.

+∞ dx

∫1 xα

+∞

−1

Пример 1.

x1−α

+∞

, α >

1 .

∫1 xα

−α

∞, α < 1

При

α = 1

+∞∫

= lnx

1∞ = ∞ .

Таким образом, несобственный интеграл

сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1 .

∞, α ≥ 1

∫

= lim ∫

= lim

1−α

, α < 1

a1 →0 a1

a1 →01 −

1 −α

∫

→0

∫

При

α = 1

1 dx

= lim ln x

= −∞ .

То есть несобственный интеграл

сходится при α < 1 и расходится при α ≥ 1 .

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4629 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF