ЛЕКЦИЯ 27
Определенный интеграл
Пусть функция f ( x) |
задана на отрезке [a, b]. Разбиением отрезка [a, b] |
назовем |
конечное |
множество |
точек |
x0 , x1 ,K, xn , |
где |
a = x0 < x1 < x2 < K< xn−1 < xn = b . |
и пусть ∆ = max{∆xi } длина макси- |
Обозначим ∆xi = xi − xi−1 , i = 1,2,K, n |
мального из отрезков разбиения, называемая диаметром разбиения. |
|
На каждом отрезке [ xi−1 , xi ], i = 1,2,K, n произвольно выберем точку ξi и |
|
|
|
|
n |
|
составим |
сумму σ n = f (ξ1 )∆x1 + f (ξ2 )∆x2 |
+K+ f (ξn )∆xn = ∑ f (ξi )∆xi , |
которая |
называется интегральной суммой Римана функции |
i=1 |
|
f ( x) , соответствующей |
данному разбиению отрезка [a, b] и выбора точек ξi .
Рассмотрим предел интегральных сумм при стремлении диаметра раз-
n
биения к нулю, То есть lim ∑ f (ξi )∆xi .
∆→0 i=1
Если существует этот предел, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a, b], ни от выбора промежуточных точек ξi , то говорят, что функция
f ( x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b], а сам предел называется оп-
ределенным интегралом и обозначаетсяI = ∫b |
f ( x)dx . Он также называется |
a |
на отрезке [a, b]. Итак, |
интегралом Римана от функции f ( x) |
n
f ( x)dx = lim ∑ f (ξi )∆xi .
∆→0 i=1
ОИ от функции f ( x) на отрезке [a, b] есть некоторое число I . Заметим, f ( x)dx = ∫b f (t)dt , то есть безразлично, по какой переменной x или t ин-
a a
тегрировать на отрезке [a, b], ибо в обоих случаях интеграл считается через интегральные суммы.
Выясним смысл интегральных сумм. Пусть функция f ( x) непрерывна на отрезке [a, b], причем f ( x) ≥ 0 x [a, b]. Назовем криволинейной трапецией фигуру, ограниченную графиком функции f ( x) , прямыми x = a, x = b и осью OX . Тогда произведение f (ξi )∆xi равно площади прямоугольника с ос-
n
нованием ∆xi = xi − xi−1 и высотой f (ξi ) , а сумма ∑ f (ξi )∆xi представляет со-
i=1
бой заштрихованной ступенчатой фигуры.
Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [a, b] сущест-
вует предел lim σ n = I , то естественно величину I назвать площадью криво-
∆→0
линейной трапеции. Таким образом, с геометрической точки зрения ОИ от
неотрицательной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.
С физической точки зрения интеграл от скорости υ(t) дает пройденный
T
материальной точкой путь за время t0 ≤ t ≤ T . S = ∫υ(t)dt .
t0
С экономической точки зрения это объем продуктов, произведенный за время t [t0 ,T], если f (t) задает изменение производительности труда
T
V = ∫ f (t)dt
t0
Также это работа переменной по величине силы F (| F |= f ( x)) , направленной вдоль оси OX по перемещению единицы массы из точки a в точку b вдоль OX
A = ∫b f ( x)dx
a
Свойства определенного интеграла
Теорема. Для интегрируемости функции f ( x) по Риману на отрезке [a, b] необходимо, чтобы она была ограничена на нем.
Доказательство. Если f ( x) неограниченна на [a, b], то она будет неограниченна хотя бы на одном отрезке [ xi−1 , xi ] для любого разбиения. Тогда мы можем выбрать точку ξi [ xi−1 , xi ] так, что величина | f (ξi ) | ∆xi окажется сколь угодно большой, то есть сумму σn можно сделать сколь угодно большой за счет выбора точки ξi . Значит, предел интегральных сумм не сущест-
вует, то есть интегрируемыми по Риману могут быть только ограниченные функции.
Это условие не достаточно, так как |
|
1, еслиx рациональное |
огра- |
f ( x) = |
|
еслиx иррациональное |
|
0, |
|
ничена, но не интегрируема, ибо можно сделать limσn = 0 или limσn = 1 в зависимости от выбора последовательности ξi .
Следующие теоремы приведем без доказательства.
Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Если функция f ( x) определена и монотонна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Если функция f ( x) ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна во всех точках этого отрезка, кроме конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв 1-ого рода, то эта функция интегрируема на отрезке [a, b].
Если интегрируемую функцию изменить в конечном числе точек, то получим интегрируемую функцию с тем же интегралом.
|
∫b |
f ( x)dx = ∫b |
f (t)dt = ∫b |
Свойства. |
1. |
f (u)du . |
|
a |
a |
|
a |
|
2. |
∫a |
f ( x)dx = 0 |
- очевидно, ибо ∆ = a − a = 0 . |
|
a |
|
|
|
|
3. |
∫b |
f ( x)dx = − ∫a |
f ( x)dx |
- тоже ясно, ибо ∆xi < 0 . |
ab
4.∫b dx =b − a .
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. ∫b kf ( x)dx =k∫b |
f ( x)dx k по определению. |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. ∫b (αf ( x) + βg( x))dx = α∫b |
f ( x)dx + β ∫b |
g( x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
Доказательство. ∑(αf (ξi ) + βg()ξi |
)∆xi = α∑ f (ξi )∆xi + β ∑g(ξi )∆xi . Переходя к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
пределу, получаем 6-ое свойство. Естественно, f ( x), g( x) |
интегрируемы на |
[a, b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. ∫b |
|
f ( x)dx = ∫c |
f ( x)dx + ∫b |
f ( x)dx c [a, b] . |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Если |
f ( x) ≥ 0 , то ∫b |
f ( x)dx ≥ 0, a ≤ b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Если |
f ( x) ≤ g( x) , то ∫b |
f ( x)dx ≤ ∫b |
g( x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
∫b |
f ( x)dx |
|
≤ ∫b |
|
f ( x) |
|
dx |
из определения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
M = sup f ( x) |
|
|
|
на |
|
[a, b], m = inf |
f ( x) . |
Тогда |
m(b − a) ≤ ∫b |
f ( x)dx ≤ M(b − a) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. ∫b |
f ( x)g( x)dx = f (ξ)∫b |
g( x)dx, ξ [a, b], |
g( x) |
- знакопостоянная функция. |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12а. ∫b |
f ( x)dx = f (ξ)(b − a), a ≤ ξ ≤ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. В силу 11 |
m ≤ |
1 |
∫b |
f ( x)dx ≤ M , где m наименьшее, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a a |
|
|
|
|
|
|
M наибольшее |
значения f ( x) на отрезке [a, b]. Значит, |
1 |
|
∫b |
f ( x)dx являет- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a a |
|
|
ся промежуточным значением непрерывной на замкнутом отрезке функции
f ( x) . |
Тогда ξ [a, b] , в которой это значение достигается, то есть |
f (ξ) = |
1 |
∫b |
f ( x)dx , откуда и следует 12а. |
|
|
b − a a |
|
Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление определенного интеграла с помощью предельного перехода в интегральных суммах приводит к значительным трудностям. Попытаемся найти способ вычисления определенного интеграла попроще.
Рассмотрим интегрируемую на [a, b] функцию f ( x) . Ясно, что она также ин-
тегрируема |
для |
x [a, b] |
на |
отрезке |
[a, x] , |
то |
есть |
существует |
Φ( x) = ∫x |
f (t)dt .Это функция верхнего предела x . |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Барроу. Если функция f ( x) |
непрерывна |
на отрезке [a, b], то |
функция Φ( x) = ∫x |
f (t)dt |
является первообразной для f ( x) |
на отрезке [a, b], то |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть Φ′( x) = |
d |
|
∫x |
f (t)dt = f ( x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
x+∆x |
x |
7. x |
|
x+∆x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆Φ( x) = Φ( x + ∆x) − Φ( x) = ∫ f (t)dt − ∫ |
f (t)dt = ∫ |
f (t)dt + ∫ |
f (t)dt − ∫ f (t)dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
x |
|
a |
|
|
x+∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ f (t)dt 12=a. f (ξ)( x + ∆x − x) = f (ξ)∆x , где ξ = x +θ∆x, 0 < θ < 1 - промежуточная |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка между |
|
x и |
∆x . Отсюда |
Φ′( x) = lim ∆Φ( x) |
= lim |
f ( x +θ∆x) = f ( x) |
в силу |
непрерывности f ( x) . |
|
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Любая непрерывная на отрезке [a, b] функция |
f ( x) |
имеет |
первообразную F( x) = ∫x |
f (t)dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Если функция |
f ( x) |
непрерывна |
на отрезке [a, b] |
и F ( x) ка- |
кая-нибудь ее первообразная, то справедлива формула Ньютона-Лейбница
∫b |
f ( x)dx = F(b) − F(a) . |
|
a |
Доказательство. По условию F ( x) |
- первообразная для f ( x) на отрез- |
|
ке [a, b]. Но по теореме Барроу Φ( x) = ∫x |
f (t)dt также первообразная на [a, b] |
|
a |
|
для f ( x) . Но две первообразные отличаются друг от друга на константу, то
есть ∫x |
f (t)dt = F ( x) + c x [a, b] |
a |
|
. Взяв x = a : 0 = F (a) + c c = −F (a) . Взяв
x = b : ∫b f ( x)dx = F(b) − F(a).
Разность F (b) − F (a) записывают в виде F ( x) ba .
