Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 26

Вычислим правый интеграл:

∫

tdt

∫

d(t 2

+ a2 )

+ c .

(t 2 + a2 )k

(t 2

+ a2 )k

2(1 − k)

(t 2

+ a2 )k −1

Обозначим второй интеграл Ik

и проинтегрируем по частям:

2ktdt

Ik =

u =

, du = −

dυ

= dt, υ = t

∫(t 2 + a2 )k

(t 2 + a2 )k

(t 2 + a2 )k +1

(t 2 + a2 )k

+ 2k∫

t 2 dt

+ 2k∫

(t 2 + a2 ) − a2

dt =

+ 2k∫

+ a

)

k+1

+ a

)

+ a

)

k +1

+ a

)

+ a

)

− 2ka

+ 2kIk − 2ka2 Ik +1

∫(t 2 + a2 )k +1

(t 2 + a2 )k

То есть

Ik =

+ 2kIk

− 2ka2 Ik+1 . Отсюда получаем так называемую

+ a

)

рекуррентную

формулу

Ik+1

2k −1

Ik , k = 1,2,K. Таким

2ka

+ a

)

2ka

образом,

зная интеграл

arctg

+ c ,

по этой формуле можем

∫ t 2

+ a2

найти I2

= ∫

и так далее.

)

+ a

Оказывается, любую правильную рациональную дробь можно представить в виде конечного числа простейших дробей вида 1-4.

Изучая многочлены, мы доказали теорему, что любой многочлен представим в виде произведения линейных и квадратичных множителей.

( x) = b xm + b xm−1 +K+ b

x + b = b ( x − x

)m1

( x − x

)m2 L( x − x

)mk ×

m−1

×( x2 + p1 x + q1 )mk +1 L( x2 + pl x + ql )mk +l ,

где

m1 + m2 +L+ mk + 2(mk+1 +L+ mk+l ) = m,

x1 ,Kxk

действительные корни

многочлена

Qm ( x)

кратности

m1 , m2 ,Kmk

соответственно,

p12 − 4q1 ,K, pl2 − 4ql < 0 .

Теорема. Если R( x) = Pn ( x) - правильная рациональная дробь, знаменатель

Qm ( x)

Qm ( x) которой представим в виде произведения линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами, то эта дробь может быть

−

разложена

на

сумму

элементарных

дробей

по

следующей

схеме:

( x)

+K+

Qm ( x)

x − x1

(x − x1 )2

(x − x1 )m1

x − xk

(x − xk )2

Bmk

M1 x + N1

M2 x + N2

+K+

Mmk +1 x + Nmk +1

(x − xk )mk

x2 + p1 x + q1

(x2 + p x + q

)mk +1

R x +

+l x + Sm

+K+

, причем это разложение един-

+ pl x + ql

(x2 + pl x + ql )mk +l

ственно с точностью до порядка следования слагаемых. Без доказательства.

Практически разложение конкретной правильной рациональной дроби

Pn ( x) на сумму элементарных дробей производится методом неопределен-

Qm ( x)

ных коэффициентов: разлагаем Qm ( x) на множители, записываем разложение по теореме и затем приравниваем многочлен, получившийся в числителе после приведения дробей к общему знаменателю, к многочлену Pn ( x) . Решая полученную систему уравнений, находят неопределенные коэффициен-

ты A1 ,K, Bmk , M1 ,K, Rmk +l , N1 ,K, Smk +l . Существование решения такой системы вытекает из сформулированной теоремы.

Вместо того чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x , можно давать переменной x ряд конкретных произвольных значений (столько же, сколько неопределенных коэффициентов) и получить тоже систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

Иногда удобно применять комбинацию этих двух методов.

Итак, общее правило:

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь надо:

1. Если рассматриваемая дробь Pn ( x) неправильная, то выделить из нее

Qm ( x)

целую часть	Pn ( x)	= Tk−m ( x) +	Pm−1 ( x)	,
	Qm ( x)		Qm ( x)

Pm−1 ( x) правильная рациональная дробь.

Qm ( x)

2. Правильную рациональную дробь P1 ( x)

Qm ( x)

элементарных дробей.

где Tk−m ( x) - многочлен, а

представить в виде суммы

3.Представить интеграл от данной дроби в виде суммы интегралов от целой части и от элементарных дробей и взять эти интегралы.

Пример. ∫ 6 x5 − 8 x4 − 25x3 + 20x2 − 76x − 7dx = I . 3 x3 − 4 x2 −17 x + 6

Решение. Дробь неправильная, выделяем целую часть.

20 x2 − 25 x − 25

20x2 − 25 x − 25

+ 3 +

x + 3 x + ∫

I = ∫ 2 x

3 x

− 4 x

−17 x +

dx =

( x + 2)( x − 3)(3 x −1)

20x2 − 25x − 25

Делаем этап 2:

( x + 2)( x − 3)(3x −1)

x + 2

x − 3

3x −1

20x2 − 25x − 25 = A( x − 3)(3x −1) + B( x + 2)(3x −1) + C( x + 2)( x − 3) .

Для

нахождения A,

B, C будем давать x

произвольные значения. Этот метод бы-

стро приводит к цели, если в качестве произвольных значений брать корни

многочлена, стоящего в знаменателе, то есть в данном случае

− 2, 3,

x = −2 : 105 = 35A A = 3; x = 3 : 80 = 40B B = 2; x =

: − 280 = −56C C = 5

x3 − 6 x2 + 13 x − 6

3-ий этап. ∫

dx = ln( x + 2)

−

+ c .

( x + 2)( x − 2)

2( x − 2)

Итак,

∫

20 x 2 − 25 x − 25

dx = 3 ∫

+ 2 ∫

+ 5 ∫

= 3 ln | x + 2 | +2

( x + 2 )( x − 3)( 3 x − 1)

x +

x −

3 x − 1

+ ln | x − 3 | +

ln | 3x −1 | +c .

Окончательно,

I =

x3 + 3x + ln | x + 2 |3

| x − 3 |3 | 3x −1 |5 3 +c .

Теперь ясно, что если некоторую функцию нам удастся свести к рациональной дроби тем или иным приемом, то мы всегда проинтегрируем данную функцию.

Пример. ∫

8x3

− 2 x2 + 13x − 2

dx .

( x

+ 2)( x

Решение. Дробь правильная, делаем этап 2.

8 x3 − 2 x2 + 13 x − 2

Ax + B

Cx + D

. Для нахождения

A, B, C, D сравним коэф-

x2 + 2

x2 + 1

( x2 + 2)( x2 + 1)

фициенты при одинаковых степенях многочленов:

8 x3 − 2 x2 + 13 x

A + C = 8

B + D = −2A + 2C = 13

B + 2D = −2

= 32 ln | x2 + 2 | −

− 2 = Ax 3 + Bx 2 + Ax + B + Cx 3 + Dx2 + 2Cx + 2D

C = 5

∫

8 x3 − 2 x2 + 13 x − 2

= 3

dx = ∫

3 x − 2

dx +

D = 0

( x

+ 2)( x

+ 1)

+ 2

B = −2

arctg

+ 5 ln | x2

1 | +c

xdx =

5∫ x2 + 1

Интегрирование тригонометрических выражений

Будем называть многочленом или целой рациональной функцией относительно u и υ сумму конечного числа слагаемых вида cumυ k , где

m, k Ν, c R .

Рациональной функцией R(u,υ) называется отношение двух многочленов относительно u и υ .

Теорема. Интеграл вида ∫R(sin x,cos x)dx подстановкой t = tg 2x приво-

дится к интегралу от рациональной функции от t (который всегда выражается в элементарных функциях).

Доказательство.

∫R(sin x, cos x)dx =

t = tg

, dx =

2dt

, cos x =

− t

, x = 2arctgt,sin x =

+ t

1 + t

− t

2dt

= ∫R

= ∫r(t)dt

, где r(t) - рациональная функция.

1 + t

+ t

1 + t

Так как подстановкой t = tg 2x интеграл от любой рациональной функции относительно sin x и cos x приводится к интегралу от рациональной функции, то подстановка t = tg 2x называется универсальной тригонометри-

ческой подстановкой. Пример.

∫

t = tg

= ∫

2dt

2∫

+ 8cos x + sin x

8(1 − t

)

+ 9t

− 8t

+ 2t

(1 + t

)

+ t

t + 1

+ 1

= 2∫

2∫

arctg

+ c

arctg

+ c

+ 2t + 17

(t + 1)

+ 16

Следует заметить, что хотя универсальная подстановка для интегрирования выражений вида R(sin x, cos x) всегда приводит к цели, однако используют ее сравнительно редко, так как она часто приводит к грандиозным вычислениям. Поэтому, как правило, используют другие приемы и особенности подынтегральных функций, которые приводят к цели. Сложность заключается в большом количестве формул и связей между тригонометрическими функциями.

Пример.

∫cos2 x sin5 xdx = t = cos x, dt = −sin xdx = −∫t 2 (1 − t 2 )2 dt = −∫t 2 (1 − 2t 2 + t 4 )dt =

= −∫(t 2 − 2t 4 + t 6 )dt = −	t 3	+	2t 5	−	t 7	+ c = −	1	cos3	x +	2	cos5	x −	1	cos7	x + c
			5				3			5			7
3				7

Теорема. Если функция R(sin x, cos x) нечетна относительно cos x , то есть R(sin x,cos x) = −R(sin x,−cos x) , то ∫R(sin x,cos x)dx рационализуется подстановкой t = sin x .

Если

∫R(sin x,cos x)dx = −R(−sin x,cos x) ,

то есть функция нечетна

относительно sin x , то

∫R(sin x,cos x)dx рационализируется подстановкой

t = cos x .

R(sin x, cos x)

имеет

четный

характер

относительно

Если

функция

sin x и cos x , то есть

R(sin x,cos x) = R(−sin x,−cos x) , то ∫R(sin x,cos x)dx

рационализируется подстановкой t = tgx .

Доказательство. Самостоятельно.

Пример.

∫

= ∫

cos2 x

= tgx, dt =

sin

x + 6 sin x cos x −16 cos

x + 6tgx −16

cos

= ∫

t + 3 − 5

+ c =

tgx − 2

+ c

+ 6t + 16

(t + 3)

− 25

t + 3 + 5

tgx + 8

При вычислении интегралов от тригонометрических выражений также широко применяются формулы понижения степени sin x и cos x , если они четные, формулы преобразования в сумму или разность.

Примеры. ∫sin2	x7 xdx =		1	∫(1 − cos14x)dx =						1	x −	1		sin14x + c
												28
	2						2
∫sin 7 x sin 2 xdx =	1	∫(cos 5 x − cos 9 x)dx = −						1	sin 5x −				1		sin 9 x + c .
	2
							10					18
Интегрирование иррациональных функций
Теорема. Интеграл вида ∫						n	ax + b

					R x,					dx (n Ν, a, b, c, d R) под-
							cx + d
становкой вида t = n (ax + b)(cx + d )					рационализируется.

Следствие 1. ∫ R( x, n ax + b)dx подстановкой t = n ax + b рационализи-

руется.

Следствие 2. Если подынтегральная функция является рациональной

	ax + b p q	ax + b r s
функцией относительно		,	,K,

	cx + d	cx + d

числа, то интеграл рационализируется подстановкой меньшее общее кратной знаменателей q, s,K.

где p, q, r, s,K - целые

ax + b = t n , где n - наи- cx + d

Пример.

∫

x −1 + 4 x −1

dx = t = 12 x −1, dx = 12t11dt, x = t12 + 1 = 12∫

t11 (t 4 − t 3 )

dt =

( x

−1)(1 +

x −1)

+ t

)

t + 1

− 6 ln 6

x −1 + 1 −12arctg12 x −1 + c

= 12∫ (t + 1)

+ 1

dt = 66 x −1 + 1212 x −1

Среди интегралов от иррациональных функций наибольшее практиче-

ское применение имеют интегралы вида

∫R( x,

ax2 + bx + c )dx .

Поскольку

квадратный трехчлен ax 2 + bx + c путем выделения полного квадрата и замены переменных может быть представлен в форме двучлена вида ± u2 ± m 2 , то

достаточно	рассмотреть				3	вида	интегралов:
∫R(u, m2 − u2 )du, ∫R(u,			m 2 + u2 )du, ∫R(u, n2 − m2 )du .
Теорема.	Интеграл		∫R(u,		m 2 − u2 )du рационализируется подстанов-
кой u = m sin t или u = m cos t .
Интеграл	вида	∫R(u,		m2 + u2 )du		подстановкой	u = m tgt	или
u = m ctgt сводится к интегралу от рациональной функции относительно
sin t и cos t .
Интеграл	вида	∫R(u,		u2	− m2 )du	подстановкой	u = m sec t	или

u = m cos ect

сводится к интегралу от рациональной функции относительно

sin t

и cos t .

Пример.

a sec2 tdt

∫

= x = atgt,

+ x

= a sec t, dx = a sec

tdt =

∫

+ x

ta sec t

∫

cos3 t

dt =

∫

− sin 2 t)

+ c =

sin

d sin t = −

sin

sin t

= Таккак sin t =

tgt

, то sin t =

= −

(a2

+ x2 )3 2

+ x2

+ c

3a4 x3

a4 x

+ tg2 t

+ x2

Биномиальным

дифференциалом

называется

выражение

x m (a + bx n ) p dx , где m, n,

p - рациональные числа.

Интегралы от биномиальных дифференциалов выражаются через элементарные дифференциалы лишь в трех случаях:

1.p - целое. Подстановкой λ x = t , где λ - общий знаменатель чисел m

иn. ∫ xm (a + bxn ) p dx рационализируется.

2.mn+ 1 целое или равно 0. Подстановка a + bx n = t s , где s - знамена-

тель числа p .

m + 1

+ p целое или равно 0. Подстановка ax −n + b = t s , где s - знаме-

p .

натель числа

Во всех остальных случаях, как доказал Чебышев, интеграл от биноми-

ального дифференциала через элементарные функции не выражается.

Пример

∫ x

+ x

)

2 dx =

m +

= 2, t = 1

+ x

, x = t

−1, dx

dt =

−1

= ∫(t 2

−1) 3 2 t

tdt

= ∫t 2 (t 2

−1)dt = ∫

(t 4

− t 2 )dt =

t 5 −

t 3

+ c =

(1 + x2 )5 2 −

(t 2

−1)

−

(1 + x2 )3 2 + c

Пример

m + 1

0 + 1 −

4 1 +

4x4

∫ 4

+ p =

= 0,

= t, x = (t 4

−1)−14 , dx = −t 3 (t 4 −1)−5 4 dt

1 + x

= −∫t

−1

−1)

4 t

−

−5

4 dt

= −∫

2 dt

= −∫

−

∫

−

+ 1

−1

= −arctgt −

∫ (t

= −

arctg

4 x4 + 1

−

x4 +

1 − x

+ c .

− 1)(t + 1)(t 2 +

x4 +

1 + x

На практике часто встречаются интегралы от элементарных функций,

не выражающиеся через элементарные. Так,

∫R( x,

P( x)dx) , где P( x) много-

член степени выше второй в общем случае не выражается через элементарные функции. При этом если степень P( x) равняется 3 или 4, то эти интеграл называются эллиптическими, если же степень выше 4, то ультраэллиптическими. В некоторых частных случаях интегралы вида ∫R( x, P( x)dx) мо-

гут выражаться через элементарные функции, тогда они называются псевдо-

эллиптическими.

Из интегралов от трансцендентных функций, не выражающихся через элементарные функции и имеющих большое прикладное значение, следует

указать интеграл Пуассона ∫e− x2 dx , интегралы Френеля ∫sin x2 dx, ∫cos x2 dx ,

интегральный логарифм ∫					dx	и сводящийся к нему ∫	e x	dx , синус и косинус
					ln x		x
	sin x		cos x
∫		dx, ∫		dx .
	x		x

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF