ЛЕКЦИЯ 25

Интегральное исчисление ФДП

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Различные задачи математики, техники, естествознания, экономики приводят к решению обратной задачи – восстановлению функции по заданной ее производной или дифференциалу. С механической точки зрения это означает восстановление закона прямолинейного равномерного движения материальной точки по известной скорости ее движения.

ния. Таким образом, по определению ∫ f ( x)dx = F( x) + c , где F ( x) - какаялибо первообразная для f ( x) , а c - произвольная константа.

1

Для нашего примера ∫ x dx =ln | x | +c .

Отыскание первообразной и отыскание неопределенного интеграла от данной функции f ( x) называют интегрированием этой функции. Интегрирование – обратная к дифференцированию операция. Для проверки правильности выполнения интегрирования достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Установим основные свойства неопределенного интеграла. Пусть F ( x) первообразная для f ( x) на (a, b) . Тогда справедливы следующие соотношения:

взаимно “сокращаются”, но в это случае к F ( x) добавляется произвольная константа.

3. ∫[αf ( x) + βg( x)]dx =α∫ f ( x)dx + β ∫g( x)dx + c α, β R .

Действительно, в силу свойств операции дифференцирования имеем

(α∫ f ( x)dx + β ∫ g( x)dx)′ = α(∫ f ( x)dx)′ + β (∫ g( x)dx)′ = αf ( x) + βg( x) , то есть функция α∫ f ( x)dx + β ∫g( x)dx есть первообразная для функции αf ( x) + βg( x) . Но функция ∫[αf ( x) + βg( x)]dx также является первообраз-

ной для αf ( x) + βg( x) . А поскольку две первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную c , то отсюда и следует справедливость свойства.

4. Если ∫ f ( x)dx = F( x) + c и u = ϕ( x) , то ∫ f (u)du = F(u) + c . В частности,

Кроме этих, справедливы и некоторые другие свойства.

5.(∫ f ( x)dx)′ = f ( x) .

6.∫F ′( x)dx = F( x) + c .

лишь одна из первообразных для k f ( x) . Упр. Доказать эти свойства.

В дифференциальном исчислении была приведена таблица производных основных элементарных функций. Каждая формула этой таблицы вида F ′( x) = f ( x) может быть записана теперь в виде формулы

∫ f ( x)dx = F( x) + c . Таким образом, приходим к следующей таблице основных неопределенных интегралов.

xα+1

1. ∫ xα dx = α +1 + c, α ≠ −1 2. ∫dxx = ln | x | +c

4.∫e x dx = e x + c

5.∫cos xdx = sin x + c

6.∫sin xdx = −cos x + c

7.∫cosdx2 x = tgx + c

8.∫sindx2 x = −ctgx + c

9.∫ x2dx+ a2 = a1 arctg ax + c, a ≠ 0

14.∫tgxdx = −ln | cos x | + c

15.∫ctgxdx = ln | sin x | +c

Формулы данной таблицы, не имеющие аналогов в таблице производных, проверяются непосредственным дифференцированием. Эти интегралы

называются табличными. В различных учебниках и разделах науки, где применяются интегралы, таблицы могут незначительно отличаться в зависимости от конкретных потребностей.

Если первообразная F ( x) функции f ( x) является элементарной функцией, то говорят, что интеграл ∫ f ( x)dx выражается в элементарных

функциях. Однако это не всегда возможно. Так, например, известно, что интегралы

хотя и существуют, но не выражаются в виде конечных комбинаций элементарных функций.

Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов можно интегрировать некоторые элементарные функции (так называется непосредственное интегрирование). Однако функции, интегрируемые непосредственно, не исчерпывают даже основных элементарных функций, не говоря уже о сложных функциях. Так, например, среди табличных нет интегралов от ln x, arcsin x и так далее.

Задача интегрирования принципиально труднее задачи дифференцирования. В дифференциальном исчислении есть конструктивное определение производной и ряд теорем, дающих правила дифференцирования произведения, частного, сложных и обратных функций. В интегральном исчислении неопределенный интеграл определяется неконструктивно, правил для интегрирования произведения, частного, сложной и обратной функции нет. Имеются лишь отдельные приемы, позволяющие интегрировать отдельные классы функций. Изучением таких приемов и классов мы и займемся.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Доказательство. Продифференцируем обе части формулы по x :

(∫[f (ϕ( x))]ϕ′( x)dx)′x = f (ϕ( x))ϕ′( x)

(∫ f (t)dt + c)′x = (F(t) + c)′x = (F ′(t) t′x )= f (t) t′x = f (ϕ( x))ϕ′( x)

Равенство правых частей дает и равенство левых частей, т.е. формулу замены.

Данную формулу можно переписать и слева направо, то есть

∫f (t)dt = ∫ f (ϕ( x))ϕ′( x)dx .

Впервоначальном виде мы как бы “поводим” ϕ′( x) под знак дифференциала, ибо ϕ′( x)dx = dϕ( x) и, осуществив подстановку ϕ′( x) = t , полу-

чаем другую форму подынтегрального выражения. Удачный выбор новой переменной обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования, уметь “прикидывать”, что даст та или иная подстановка и твердо знать табличные интегралы.

x = ϕ −1 (t) , изменив подынтегральное выражение, иногда бывает проще вычислить интеграл в правой части, чем в левой. После вычисления необходимо

Удачная замена привела к табличному интегралу.

∫udυ = uυ − ∫υdu .

Доказательство следует из формулы d(uυ) = udυ +υdu .

Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого определяется искомый интеграл. При отыскании υ по известному dυ достаточно найти какую-либо одну первообразную, ибо прибавление к ней произвольной постоянной не меняет результата интегрирования, усложняя выкладки. В общем случае нельзя указать рецепта для выбора в подынтегральном выражении u и dυ . Рекомендуется мысленно “прикидывать”, что дадут те или иные обозначения.

Метод интегрирования по частям имеет более ограниченную область приложения, чем метод замены переменной. Существуют, однако, классы функций, интегрируемые по частям. К ним относятся, например, функции

= −xctgx + ∫ctgxdx = −xctgx + ln | sin x | +c .

Интегрирование рациональных функций

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, образуют рациональные функции

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Вслучае неправильной дроби мы всегда можем выделить целую часть

ипредставить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Многочлены интегрируются легко, поэтому осталось научиться интегрировать правильные рациональные дроби. Среди правильных различают 4 типа так называемых простейших дробей.

Для интегрирования дробей типа 3 и 4 выделим в квадратном трехчлене пол-