ЛЕКЦИЯ 24

Производственные функции

Производственная функция (ПФ) есть экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей-факторов.

Результаты деятельности обуславливаются большим количеством различных факторов: технических, экономических, социальных, природных, поэтому учесть их невозможно и бессмысленно, тем более, что некоторые не поддаются количественному выражению, а влияние других ничтожно. Поэтому в ПФ надо включить только главные факторы.

Из-за наличия неучтенных факторов и неоднозначного действия учтенных ПФ является функцией лишь в статическом смысле: описываемая ею математическая зависимость проявляется только в общем и среднем в массе на-

тивный показатель). Некоторые виды таких ПФ мы рассмотрели в предыдущем разделе (линейная, логарифмическая и т. д.).

Однофакторная или одноресурсная ПФ y = f ( x) дает объем производимой продукции за единицу времени в зависимости от объема x затраченного ресурса. Этот ресурс весьма часто – количество живого человеческого труда, выраженного в виде человеко-часов или числа работников. Допустим, в настоящий момент число работников фирмы равно a . Обычно ПФ дифференцируемы, так что f (a + 1) ≈ f (a) + f ′(a) . Если число работников велико, то вышеописанное приближенной равенство довольно точное. Но что такое f ′(a) в этом случае? Это ничто иное, как добавочная продукция, производимая новым сотрудником предприятия за единицу времени. Пусть υ - цена единицы продукции, а p - зарплата работника за единицу времени. Тогда, если υf ′(a) > p , то надо нанимать сотрудника, так как он приносит фирме больше, чем она ему платит. Это и есть золотое правило экономики.

Вообще, в рассматриваемой ситуации производную ПФ в точке a в

экономике называют предельной производительностью труда (при разме-

ре фирмы a ), в отличие от средней, которая равна f (a) a .

Рассмотрим некоторые однофакторные функции и определим их экономическое содержание.

1)Функция спроса D = D( p) - зависимость спроса D на некоторый товар от его цены p . Производная D′( p) дает приблизительно увеличение спроса при увеличении цены на 1 единицу. Поскольку, как известно, при повышении цены спрос уменьшается, то на самом деле абсолютное значение производной

показывает уменьшение спроса со стороны покупателя на товар при повышении его цены на одну единицу.

2)Функция предложения S = S( p) - зависимость предложения некоторого товара от его цены p . Производная S′( p) дает приблизительно увеличение предложения товара со стороны продавцов (производителей) при увеличении цены на 1 единицу.

3)Функция полезности u( x) - субъективная числовая оценка

данным индивидом полезности количества товара x для него. Производная u′( x) дает приблизительную оценку дополни-

тельной полезности от приобретения еще одной единицы товара.

Как мы уже знаем, производная функции y = f ( x) дает величину мгновенной скорости изменения пройденного за время x пути y ; производная ПФ дает предельную производительность труда и т.д. Но в экономике чрезвычайно удобно задавать такие вопросы: на сколько процентов изменится спрос на товар, если цена на него увеличится на 1%? На сколько процентов изменится предложение товара, если цена на него увеличится на 1%? И так далее.

Такие вопросы и ответы на них вводят новое понятие “эластичность функции по аргументу” или относительная производная.

изменение аргумента, ∆f ( x) f ( x) - относительное изменение функции. Ве-

личина ∆f ( x) f ( x) (∆x x) - отношение относительного изменения функции к относительному изменению аргумента, называется средней эластичностью

функции y по аргументу в точке x и обозначается Exy . Следовательно, если

эластичность спроса на товар равна 2, это означает, что при повышении данной цены на 1% спрос уменьшится на 2%. А если эластичность выпуска про-

дукции по труду равна 12 , это означает, что для увеличения выпуска продук-

ции на 1% надо увеличить количество работников на 2%.

Чаще строятся многофакторные ПФ, позволяющие измерить характер и силу совместного влияния нескольких показателей-факторов на величину ре-

печатает), то и цены возрастут в 2 раза (при условии, что остальные величины, то есть V ,Y останутся неизменными). Такие действия чаще всего и есть причина инфляции, что мы и видим практически ежедневно.

Другие примеры многомерных функций, используемых в экономике есть, скажем, задача об издержках продукции на складе, если ее не удается сбыть сразу, или, скажем, расчет кросс-курсов различных валют по отношению друг к другу (кросс-курс есть функция курса покупки сдаваемой вами валюты и курса продажи нужной вам валюты).

Рассмотрим некоторые экономические показатели, которые можно получить с помощью ПФ и дающие широкие возможности для анализа и выводов о характере изучаемой зависимости. Рассмотрим эти показатели на примере функции Кобба-Дугласа.

Предположим, что в масштабе народного хозяйства изучается зависимость величины созданного общественного продукта от двух факторов: совокупных затрат живого труда (в материальном производстве) и суммарного объема применяемых производственных фондов. Зависимость исследуется с

ко-часах или количестве среднегодовых работников). Величины a0 , a1 , a2 - параметры ПФ, их числовые значения определяются на основе статистических данных с помощью корреляционных методов. Коэффициенты a1 , a2 в соответствии со своим экономическим содержанием изменяются в интервале

Производительность труда определяется как отношение величины общественного продукта к совокупным затратам труда:

xy =a0 x1a1 −1 x2a2 .

1

Величина y x1 характеризует среднюю производительность, то есть

показывает среднее количество продукции, приходящееся на единицу времени. Так как 0 < a1 < 1, то a1 − 1 < 0 , а, следовательно, с увеличением затрат труда средняя производительность труда снижается при неизменном объеме других ресурсов, в том числе производственных фондов.

В анализе ПФ наряду со средними показателями существенную роль играют предельные величины.

Предельная производительность труда показывает, сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затраченного

труда. Предельная производительность труда есть частная производная y′x1 ,

Из этого уравнения следует, что с увеличением затрат труда при неизменных фондах предельная производительность труда снижается.

Из выражений для производительности труда и предельной производи-

ет, что предельная производительность труда всегда ниже средней производительности труда.

Значение средней и предельной производительности труда зависит от единиц измерения объема производства и трудовых затрат. Наряду с нахождением абсолютного прироста продукции на единицу прироста затрат труда вычисляют и показатель, характеризующий относительный прирост объема производства на единицу относительного увеличения ресурсов труда

ка продукции по затратам труда. Для рассматриваемой функции относительная предельная производительность труда не зависит от объемов ресурсов и при любом их сочетании увеличение трудовых затрат на 1% приводит к рос-

ту объема производства на a1 %.

Аналогичные показатели можно рассчитать и по отношению ко второму фактору функции – производственным фондам. Объем продукции в расчете на единицу используемых производственных фондов называется фондоотдачей. Средняя фондоотдача для функции Кобба-Дугласа равна

Эластичность выпуска продукции по объему производственных фондов

С помощью данной ПФ можно рассчитать потребность в одном из ресурсов при заданном объеме производства и величине второго ресурса

Важный экономический показатель – фондовооруженность труда. В нашей функции это отношение переменных x2 и x1 :

Взаимодействующие в рамках ПФ ресурсы могут замещать друг друга. Это означает, что единицу одного ресурса можно заменить некоторым количеством другого ресурса так, что объем продукции не изменится. На основе ПФ можно рассчитать предельную норму замещения ресурсов. В нашем случае предельная норма замещения затрат труда производственными фондами

ному от деления предельной производительности труда на предельную фондоотдачу, то есть если предельный продукт в расчете на единицу одного фактора, скажем, вдвое больше предельного продукта на единицу другого фактора, то и предельная норма замещения первого фактора вторым равна двум. Знак “-” означает, что при фиксированном объеме производства увеличению одного ресурса соответствует уменьшение другого и наоборот.

Можно также исследовать и другие характеристики, как, например, эластичность замещения ресурсов, сумма коэффициентов эластичности выпуска по затратам, то есть A=a1 + a2 и другие.

При n показателях-факторах ПФ имеет общий вид y = f ( x1 , x2 ,K, xn ) . Для любого ресурса i средняя и предельная производительности (отдача,

Приведем пример конкретной ПФ Кобба-Дугласа.

Чтобы увеличить выпуск продукции на 3%, надо увеличить фонды на 6% или численность рабочих на 9%. В настоящее время один работник за месяц производит продукции, к примеру, на 1 млрд. рублей, а всего работников 1000. Основные фонды оцениваются в 10 трлн. рублей. Написать ПФ и величину средней фондоотдачи.

Видим, что эластичность выпуска по труду β = 13 , а по фондам α = 12 ,