ЛЕКЦИЯ 23

Упражнение. При каких значениях диаметра основания d и высоты h цилиндрическая банка, объем которой равен 54π , имеет наименьшую поверхность?

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + y2 в круге ( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 ≤ 9 .

Есть достаточные условия экстремума и в случае большего числа переменных и уравнений связи, но они, естественно, более сложны в написа-

нии. С экономической точки зрения множители Лагранжа λi (их столько, сколько условий связи) есть оценка единицы ресурса (в задачах линейного программирования c1 x1 +K+ cn xx → max, Ax ≤ b ).

Метод наименьших квадратов

Важное практическое значение имеет следующая задача. Пусть требуется установить функциональную зависимость между двумя переменными

тически, то есть дать формулу, связывающую между собой соответствующие значения переменных. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, принято называть эмпирическими формулами.

Следует заметить, что подбор эмпирической формулы не ставит задачу разгадать истинный смысл зависимости – эта задача математически неразрешима.

Ставится задача подобрать формулу, в каком-то смысле наилучшим образом отображающую полученные результаты. Применяются для этой цели различные методы. Можно построить многочлен, принимающий в заданных точках заданные значения. Достоинство этого способа – полученная формула точно воспроизводит заданные значения. Такого рода формулы называются интерполяционными. Но здесь по двум точкам строится прямая, по трем – парабола, по n точкам – многочлен степени (n − 1) , то есть с ростом n растет степень многочлена.

Можно разбить опытные данные на тройки точек и по каждой тройке строить параболу. В результате получится функция, “склеенная” из парабол. Достоинство, как и в предыдущем случае, недостаток – громоздкая запись, недифференцируемость в местах “склейки”. Это так называемая сплайн – интерполяция.

Третий способ заключается в следующем. Исходя из некоторых теоретических или практических соображений (можно нарисовать эти точки на плоскости) подбирается наиболее простая формула, которая дает наилучшее совпадение с опытными данными. Обычно в экономике достаточно линей-

ной, квадратичной, логарифмической, показательной, степенной и обратнопропорциональной зависимостей.

Слова “наилучшее совпадение” понимается здесь в том смысле, что из данного множества формул вида y = f ( x, a, b) наилучшим образом отображающим данные значения считается та, для которой сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных по формуле, является наи-

n

меньшей, то есть ∑( yi − f ( xi , a, b))2 → min .

i=1

Итак, пусть дана таблица с n экспериментальными данными и из теоретических соображений или из характера расположения экспериментальных

точек ( xi , yi ), i =1, n на плоскости XOY известно, что эмпирическую формулу следует искать в виде y =ax + b , где параметры a, b подлежат определению. Следуя способу наименьших квадратов составим функцию двух пе-

нужно найти минимум по a и b . Из необходимого условия экстремума имеем:

функции S(a, b) .

Пример. Рост производительности труда на предприятии за 5 лет отражен в следующей таблице:

Полагая эту зависимость линейной, установить ее аналитическую формулу. Решение. Уравнение искомой зависимости y =ax + b . Коэффициенты нормальной системы удобно искать с помощью следующей расчетной табли-

цы:

∑15 1347 55 4213

i=1

тему для отыскания стационарной точки:

можно предварительно прологарифмировать. Тогда имеем ln y =ln a + x ln b . Обозначая через Y =ln y, A =ln a, B =ln b , получим линейную функцию Y = A + Bx . Определив A и B , получим a =e A , b =e B .

Не существует общего правила для выбора подходящего вида эмпирической формулы. Для наиболее часто встречающихся зависимостей с двумя параметрами эмпирическую формулу можно выбирать с помощью следующей таблицы: