ЛЕКЦИЯ 22

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4622 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

d 2 f ( M 0 ) = 0, то формула Тейлора имеет вид:

d 3 f (M0 ) +

f (M0 ) +K и нужно исследовать знаки последующих

дифференциалов.

Производные и дифференциалы высших порядков

∂z ∂z

Если частные производные ∂x , ∂y функции z = f ( x, y) в свою очередь

являются дифференцируемыми функциями, то можно находить их частные производные.

	∂	∂f	∂	∂f	∂	∂f

Частными производными		,		,
							,
	∂x	∂x	∂y	∂x	∂x	∂y

ются

частные

производные

второго

порядка

∂2 f

∂2

соответственно.

∂x

∂y∂x

∂x∂y

∂y

∂ ∂f называ- ∂y ∂y

обозначаются

Аналогично вводятся частные производные третьего порядка. Например,

∂	3	f		∂	∂	∂f
			=

∂x∂y∂x
				∂x	∂y	∂x

Частные производные высших порядков функции f по различным переменным называются смешанными производными. Примерами их являются

∂3 f	,	∂4 f	и т. д.
∂x∂x∂y	,	∂x∂y∂x∂y	и т. д.
Производные высших порядков по одной переменной типа				∂3 f	,	∂2 f
Производные высших порядков по одной переменной типа				∂x∂x∂x	,	∂y∂y

обозначаются

∂4 f

чается ∂x2 ∂y2

∂3 f		,	∂2 f		и т.д. соответственно. Производная
∂x	3		∂y	2

. Иногда используются и другие обозначения:

		∂3	f		∂3 f
f ′′2′	=			=		= f	\|\|\|	x2 y .
		∂x2	∂y		∂x∂x∂y
x y

∂4 f

∂x∂y∂y∂x обозна-

Пример. Найти частные производные 2-го порядка для функции z =sin( x + cos y) .

∂z

=cos( x + cos y),

∂z

=cos( x + cos y) (−sin y),

∂y

∂x

∂2 z

=−sin( x + cos y),

∂2 z

= −sin( x + cos y)(−sin y),

∂x2

∂x∂y

∂2 z

= −sin( x + cos y)(−sin y),

Решение. Имеем ∂y∂x

∂2 z

= sin2 y sin( x + cos y) −cos y cos( x + cos y),

∂y2

∂3 z

=−cos( x + cos y).

∂x3

∂2 z

Отметим, что здесь оказались равными

. Оказывается, справедлива

∂x∂y

∂y∂x

Теорема. Если функция

z = f ( x, y)

имеет в точке M0 ( x0 , y0 ) непрерывные

частные производные f xy′′ и

f yx′′ , то они равны.

Без доказательства.

Аналогично и для всех остальных смешанных производных: если они непрерывны, то порядок дифференцирования несущественен.

Пусть функция z = f ( x, y) независимых переменных x и y имеет непрерывные частные производные высших порядков. Тогда и дифференциал первого

порядка dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy является, по существу, функцией четырех перемен-

ных: x, y, dx, dy.

Вторым дифференциалом от этой функции называется дифференциал от

первого дифференциала, то есть d 2 z =d(dz) ,

так как вычислении частных про-

изводных

по

переменные

dx и

dy считаются постоянными, то

d 2 z =d(dz) =

∂

(dz)dx

∂

(dz)dy =

∂

(

∂z

dx +

∂z dy)dx

∂

(

∂z

dx +

∂z dy)dy =

∂x

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

∂2 z

dx2

+ 2

∂2 z

dxdy +

∂2 z dy2 .

∂x∂y

∂x2

∂y2

Здесь

учтено,

что

∂2 z

dx2 =dx dx,

dy2 =dy dy.

и, кроме того,

∂x∂y

∂y∂x

Можно заметить,

что второй дифференциал функции

z = f ( x, y)

представляет

собой квадратичную форму Q(dx, dy)

относительно переменных dx и dy и его

можно

записать

виде

где

d z =Q(dx, dy) =(dx, dy) H

∂

∂x

∂x∂y

H =

матрица квадратичной формы, называемая матрицей Гессе.

∂2 z

∂x∂y

∂y

u = f ( x, y, z) ее

Для

функции

трех

переменных

второй

дифференциал

d 2 u =

∂2 u2

dx2 + 2

∂2 u

dxdy + 2

∂2 u

dxdz + 2

∂2 u

dydz +

∂2 u2 dy2

∂2 u2

dz2

также

∂x∂y

∂x

∂x∂z

∂y∂z

∂y

∂z

является

квадратичной

формой

Q(dx, dy, dz)

относительно dx, dy, dz . Тогда

′′

uxx

uxy

uxz

u =(dx, dt, dz)H(dx, dy, dz)

, где H =

′′

uyx

uyy

uyz

′′

Аналогично и для n переменных.

uxz

uyz

uzz

Если

найдем

d 3 z =d(d 2 z)

функции

z = f ( x, y) ,

получим

∂

3 z =

dx 3 + 3

∂ z

dx 2 dy + 3

dxdy2

z3 dy3 и т. д.

∂x

∂x∂y

∂y

∂x

∂y

Можно заметить,

что формально d n z

можно искать, используя бином Нью-

тона d n z =(

∂

dx +

∂

dy)n z.

∂x

∂y

Это равенство понимают так: раскрываем скобки по формуле бинома Нью-

тона, а затем к полученному выражению возле

∂n

приписываем рядом z и

понимаем уже не как степень, а как соответствующую производную.

Аналогичная формальная запись для облегчения отыскания дифференциала

n-ого порядка верна и для большего числа переменных, чем 2.

Пример. Найти d 2 f

для функции

f = x2 ln y

и написать ее соответствую-

щую матрицу Гессе в точке M0 (1,1).

Решение. Находим вторые частные производные:

∂f

∂2

∂f

∂2

∂2 f

2 x

= 2 x ln y,

2 = 2 ln y,

= −

∂x

∂y

∂x∂y

d 2 f = 2 ln ydx2 + 2

2 x dxdy −

dy2 .

Тогда

2 ln y

2 x

Матрица Гессе

2 x

H =

−

x 2

− 1 .

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция

z = f ( x, y)

имеет в окрестности точки

M0 ( x0 ,

y0 ) не-

прерывные частные производные до (n + 1) − го порядка включительно. Да-

дим

x0 и

y0 приращения ∆x, ∆y , не выводящие за пределы данной окрест-

ности и рассмотрим вспомогательную функцию F(t) = f ( x0 + t∆x,

y0 + t∆y) ,

где 0 ≤ t

≤ 1. Фактически это функция

z = f ( x, y) , рассмотренная на отрезке

прямой,

соединяющем точки

M0 ( x0 , y0 )

M( x0 + ∆x, y0 + ∆y).

Следова-

тельно, функция F (t) непрерывно дифференцируема на отрезке [0,1]

(n + 1)

раз

силу

дифференцируемости

функции

z = f ( x, y)

∆z = f ( x0 + ∆x,

y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) = F(1) − F(0).

Разложим

F (t) по фор-

муле Маклорена, получим

F(t) = F(0) + F ′(0)t +

F ′′(0)

t 2

+K+

F ( n) (0)

t 2

F ( n+1) (θt)

t n+1

, где 0 < θ < 1.

(n + 1)!

Находя F ( k ) (t) и вычисляя их при t

= 0, t

= 1 , получим

f ( x0

+ ∆x, y0 + ∆y) = f ( x0 , y0 ) + ∂f ( x0 , y0 ) ∆x + ∂f ( x0 , y0 ) ∆y +

∂x

∂y

∂2 f ( x

, y

)

∂2 f ( x

, y

)

∂2 f ( x

, y

)

∆x2

+ 2

∆x∆y +

∆y2

+K+

∂x

∂x∂y

∂y

∂

n+1

∆x +

∆y

f ( x0 +θ∆x, y0

θ∆y) , 0

< θ < 1.

1)!

∂y

∂x

Это и есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Эту

формулу

удобно

записывать

дифференциальном

виде

∆f = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) =df ( x0 , y0 ) +

d 2 f ( x0 , y0 ) +K+

d n f ( x0 , y0 ) +

d n+1

f ( x0 +θ∆x, y0 +θ∆y), 0 <θ < 1.

(n +1)!

Пример.

Разложить по формуле Маклорена функцию z =e x+ y

до членов

третьего порядка включительно.

d 2 z, d 3 z

Решение.

Можно искать dz,

и подставить. А можно использовать

старый багаж:

e x =1 + x +

+ o( x3 ), e y =1 + y +

+ o( y3 ) z =e x+ y =e x e y =

= 1 + x + y + xy +

2 y

y2 x

+ o(ρ 3 ).

Упражнение. Сделать через дифференциалы.

Экстремум функции многих переменных

Пусть функция z = f ( x, y) определена в некоторой области D Rn . Говорят,

что функция f	имеет во внутренней точке		M0 ( x0 , y0 ) D локальный ми-
нимум (максимум), если окрестность			точки M0	Uδ (M0 ) такая, что
f (M0 ) ≤ f (M )	(f (M0 ) ≥ f (M )) для	M Uδ (M0 ).		Другими	словами,
∆f (M0 ) = f (M ) − f (M0 ) ≥ 0 (∆f (M0 ) ≤ 0).				строгим,
Минимум	(максимум)	называется			если
f (M0 ) < f (M ) ( f (M0 ) > f (M )) .

Максимум или минимум функции называется экстремумом или опти-

мальным решением, а точки min и max называются точками локального экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция z = f ( x, y) во внутренней точке

M0 ( x0 , y0 )

∂f ( x0 , y0 ) =0,

∂x

области	D	имеет	локальный	экстремум,	то
∂f ( x0 , y0 )	=0 , то есть df ( x0 , y0 ) =0.
∂y

Доказательство.				Зафиксируем			y = y0 . Тогда функция z = f ( x, y) в
точке x = x0	имеет экстремум. А по необходимому условию для функции од-
ной переменной		dz	= ∂f ( x0 , y0 )		=0.	Аналогично и по			y. Для функции n пе-
ной переменной			= ∂f ( x0 , y0 )		=0.	Аналогично и по			y. Для функции n пе-
		dx		∂x
				∂f ( x0 , x	0 ,K, x0 )
ременных аналогично:				∂f ( x0 , x	0 ,K, x0 )			=0, i = 1, n.
ременных аналогично:				1	2	n		=0, i = 1, n.
				∂xi
Точки	M , в которых df ( M ) =0,						называются стационарными точка-
ми функции	f .

Теорема (достаточное условие экстремума).

Пусть функция z = f ( x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и во внутренней точке M0 ( x0 , y0 ) D выполнены условия

1) f x′( M 0 ) =0, f y′( M 0 ) = 0.

2) Матрица Гессе	f xx′′		f ′′xy
	H(M0 ) =	′′	′′	отрицательно определена.

	f yx		f yy
Тогда в точке M0	функция f имеет локальный максимум.

Если H(M0 ) положительно определена, то в точке M0 локальный минимум.

Если	H(M0 ) знакоопределена,			то в точке M0 локальный экстремум
отсутствует.
Если d 2 f ( M 0 ) = 0, необходимы дополнительные исследования.
Доказательство. Разложим функцию z = f ( x, y)						в точке M0	по фор-
муле	Тейлора.		Так	как	df (M0 ) =0,		то
∆z = f ( x, y) − f ( x0 , y0 ) =		1	d 2 f ( x0 , y0 ) + o(ρ2 ),		где ρ =	∆x 2 + ∆y2 .	В силу

		2!

непрерывности двух частных производных окрестность точки M0 , в которой матрица Гессе отрицательно определена, если она была отрицательно

определена в точке M0 , то есть d 2 f (M0 ) < 0.	Поскольку o(ρ 2 ) в сравнении
с d 2 f ( M 0 ) пренебрежимо мало, то ∆z	имеет знак d 2 f ,	то	есть
∆z = f ( x, y) − f ( x0 , y0 ) < 0 f ( x, y) < f ( x0 , y0 ) . Следовательно,		в	точке

M0 ( x0 , y0 ) имеем локальный максимум в соответствии с определением. Для минимума аналогично.

Если же H(M0 ) знакоопределена, то ∆z принимает как положительные, так и отрицательные значения, то есть экстремума нет.

Если вспомним теперь критерий Сильвестра знакопеременности квадратичных форм, то для локального минимума функции двух переменных имеем следующие условия:

1)	∂f (M0 )	=0,	∂f (M0 )
	∂x		∂y
2)	′′		′′
2)	f xx (M0 ) > 0 ( f yy (M

Для локального максимума:

1)	∂f (M0 )	=0,	∂f (M0 )
	∂x		∂y
2)	′′		′′
2)	f xx (M0 ) < 0 ( f yy (M

=0
0 ) > 0),	′′	′′	′′	2	(M0 ) > 0
0 ) > 0),	f xx (M0 ) f yy (M0 ) −		f xy		(M0 ) > 0
=0
0 ) < 0),	′′	′′	′′	2	(M0 ) > 0
0 ) < 0),	f xx (M0 ) f yy (M0 ) −		f xy		(M0 ) > 0


Если же	H( M	0 )		′′		′′	′′	2	( M0 ) < 0, то экстремума нет.

				= f xx	(M 0 ) f yy ( M0 ) −		f xy
В случае			H ( M 0 )			= 0 неясно, надо исследовать дальше.

Примеры. Исследовать на экстремум.

1) z = f ( x, y) = xy(1 − x − y)

∂z

=( xy − x 2 y − xy2 )′x = y − 2 xy − y2 = y(1 − 2 x − y) =0

∂x

∂z

= x − 2 xy − x = x(1 − 2 y − x) =0

∂y

всюду и непрерывны. Решив систему (она разбива-

Частные производные

ется на 4 системы) получим 4 точки: M1 (0,0), M2 (1,0), M3 (0,1), M4 (

Находим

вторые

частные

производные:

∂2 f

=− 2 y,

∂2

=−

2 x,

∂2

=1 − 2 x

− 2 y .

∂x

∂y

∂x∂y

Они непрерывны всюду.

∆ =

− 2 y

1 − 2 x − 2 y

=4 xy − (1 − 2 x − 2 y)2

(0,0) =−1 < 0

- экстремума

1 − 2 x − 2 y

− 2 x

нет.

= − 1 < 0,

< 0 - аналогично. Экстремума нет.

∆(1,0 )

∆( 0,1)

∆

−

1 −

−

> 0. Экстремум есть.

Так как f xx′′ =−

< 0

, то в точке M4 имеем максимум.

2) u = x 2 3 + y 2 3 + z 2 3

∂u =

∂u

∂u =

. Эти частные производные не обращаются

∂x

33 x

∂y

33 y

∂z

33 z

в нуль ни при каких x, y, z. Но при

x = y = z =0 они не существуют. Точка

O(0,0,0)

лежит внутри R3 , где определена функция u. Поэтому P0 критиче-

ская точка. Достаточные условия не подходят, т. к. производные не существуют. Исследуем ∆u :

∆u = u( M ) − u(0) = x 2 3						+ y 2 3 + z 2 3 > 0 umin = u(0) = 0.
3) z =( x − y)2 + ( y −1)3
	∂z	=2( x − y) =0

	∂x
	∂x
	∂z					2
		=− 2( x − y) + 3( y −1) =0

	∂y
	∂y
M0 (1,1),			∂2 z	=2,	∂2 z =2 + 6( y −1),		∂2 z	=− 2, ∆ =	2 − 2
			∂2 z				∂2 z		2 − 2	=0
							∂x∂y		− 2 2	=0
			∂x2		∂y2		∂x∂y		− 2 2

Исследуем дополнительно знак приращения:

∆z = z( M ) − z( M 0 ) =( x − y)2 + ( y − 1)3 . Возьмем y = x. Тогда ∆z =( y −1)3 и если y < 1, ∆z < 0 , а при y > 1, ∆z > 0 , то есть вблизи точки M0 разность

∆z не сохраняет знака, следовательно, экстремума нет.

По аналогии с функцией одной переменной можно вводить понятие наибольшего и наименьшего значения функции в некоторой области D . Для этого находим стационарные точки функции и точки, где частные производные первого порядка не существуют, вычисляем значения функции в этих точках и сравниваем их с наибольшим и наименьшим значениями функции на границах области. Взяв наибольшее и наименьшее значения, найдем тем самым глобальный минимум и глобальный максимум функции в области D .

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

В математике и ее приложениях, в частности, в экономике, часто встречается задача об отыскании экстремумов функций, аргументы которых удовлетворяют дополнительным условиям связи.

Функция z = f ( x, y) , экстремум которой отыскивается, называется целевой, ограничение g( x, y) =0 называется уравнением связи, а сама задача отыскания этого экстремума - задачей на условный экстремум.

Пример.

Решение. x +

z = x2 + y2 → min x + y −1=0

y −1=0 y =1 − x, z = x2 + (1 − x)2 =2x2 − 2x +1 → min,

z′x	=4x − 2, z′=0 x =	1	, y =1 −	1	=	1
		2		2		2
						1			1		1
z′x′ =4 > 0 − точка минимума, zmin					( усл) = z			,		=
z′x′ =4 > 0 − точка минимума, zmin					( усл) = z		2	,	2	=	2
							2		2		2

zmin (безусл) = z(0, 0) =0.

В примере решение найдено легко, так как удалось исключить y и получить задачу нахождения экстремума функции одной переменной.

Рассмотрим более общую задачу. Пусть надо отыскать экстремум при усло-

z = f ( x, y) → extr
	g( x, y) =0		.
вии	g( x, y) =0		.
Точка		( x0 , y0 )	называется точкой	условного max	(min) функции
z = f ( x, y)		при условии g( x, y) =0 , если существует некоторая окрестность
точки	M0 ( x0 , y0 ) , что для всех M =( x, y) Uδ (M0 ) , удовлетворяющих ус-
ловию		связи	g( x, y) =0	выполняется	неравенство

f ( x, y) < f ( x0 , y0 ) ( f ( x, y) > f ( x0 , y0 )) .

Одним из наиболее эффективных методов решения задачи на условный экстремум является метод множителей Лагранжа, позволяющий свести эту

задачу к некоторой новой задаче на экстремум без ограничений, которую мы уже знаем, как решить.

Составим функцию Лагранжа				L( x, y, λ) = f ( x, y) + λg( x, y),		где λ -
некоторый параметр, называемый множителем Лагранжа.
Теорема (необходимое условие условного экстремума)
Пусть функции f ( x, y), g( x,y)			непрерывно дифференцируемы в некоторой
окрестности точки	M0 ( x0 , y0 ) ,		для которой g( x, y) =0 .		Если функция f
имеет в точке M0	условный экстремум и ∂f ( M0 ) = 0, ∂f ( M 0 ) = 0, то су-
				∂x	∂y
ществует число	λ0	такое,	что	в точке M0 выполнены		условия:
L′x = 0, L′y =0, Lλ′ =0.

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4622 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF