ЛЕКЦИЯ 21
Дифференцирование сложных функций.
Пусть z=f(x,y) непрерывна дифференцируемая функция в D и пусть x=x(t), y=y(t) непрерывно дифференцируемые функции переменной t. Тем самым определена сложная функция z=z(t)=f(x(t),y(t)) одной переменной t. Найдем z' (t) . Придадим переменной t приращение ∆t ≠0. Оно в свою очередь
вызовет приращение функций ∆x =x(t +∆t) −x(t) , ∆y = y(t + ∆t) − y(t) , |
причем при |
|
∆t− > 0 |
∆x− > 0 и ∆y− > 0 в силу непрерывности этих функций, |
а, следова- |
тельно, |
p = (∆x)2 + (∆y)2 − > 0 при ∆t− > 0 . |
|
В силу дифференцируемости функции f(x,y) ее полное приращение ∆z в |
||
точке M(x,y) можно представить в виде ∆f (x, y) = fx' (x, y)∆x+ fy' (x, y)∆y+o(p), где limp−>0 o(pp) = 0 . Разделив все члены равенства на ∆t и перейдя к пределу в полученном равенстве при ∆t− > 0 , в силу дифференцируемости функций x(t)
и y(t) по переменной t, получим: |
|
∆y |
+ o( p)) = f ' (x, y)x' |
|
|
|
o( p) |
|||||||||
lim |
∆z |
= lim |
|
( f ' (x, y) ∆x |
+ f ' |
(x, y) |
+ f ' (x, y) y' |
+ lim |
||||||||
|
∆t −>0 ∆t |
|
∆t −>0 |
|
x |
∆t |
y |
|
∆t |
∆t |
x |
t |
x |
t |
|
∆t −>0 ∆t |
Покажем, что lim∆t −>0 |
|
o( p) |
=0. В самом деле, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
o( p) |
= lim |
|
o( p) |
* lim |
p |
= lim |
|
o( p) |
* lim |
|
( |
∆x )2 |
+ ( |
∆y )2 |
= |
|
∆t −>0 ∆t |
|
∆t −>0 |
p |
|
∆t −>0 ∆t |
|
∆t −>0 |
p |
|
∆t −>0 |
|
∆t |
|
∆t |
|
|
= 0 * |
(xt' )2 + ( yt' )2 = 0 . Таким образом, окончательно |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dfdt =∂∂fx * dxdt +∂∂fy * dydt = fx' (x, y)xt' + fy' (x, y)yt'
Это равенство называется цепочным правилом дифференцирования сложной функции.
Пример. Найти dudt , если u=u(x,y,z), x = e−t cos(t) , y = e−t sin(t) , z = e−t
dudt = ∂∂ux * dxdt + ∂∂uy * dydt + ∂∂uz * dzdt = 2x(−e−t cos(t) −e−t sin(t)) +2y(−e−t sin(t) +e−t cos(t)) +
+2z(e−t ) = e−t (2x(cos(t) + sin(t)) + 2 y(sin(t) − cos(t)) + 2z) = −e−t e−t * 2(cos2 (t) + sin(t) * cos(t)) +
+sin2 (t) −sin(t) * cos(t)) = −4e−2t
Пусть теперь задана непрерывно дифференцируемая функция z=f(x,y), где в свою очередь x=x(s,t), y=y(s,t) непрерывно дифференцируемые функции переменных s,t. Тем самым определена сложная функция f(x(s,t),y(s,t)=Ф(x,t) двух переменных s,t.
Так как при вычислении частных производных функции Ф(s,t) одна из переменных фиксируется, то этот случай по сути сводится к рассмотренному выше, в силу чего:
df |
= |
∂f |
* dx |
+ |
∂f |
* dy |
; |
df |
= |
∂f |
* |
dx |
+ |
∂f |
* |
dy |
|
ds |
∂x |
∂y |
dt |
∂x |
dt |
∂y |
dt |
||||||||||
|
ds |
|
ds |
|
|
|
|
|
Для функции n переменных аналогично. Упр. Записать формулу.
Производная по направлению. Градиент.
Любое направление l на плоскости или в пространстве характеризуется единичным вектором l0 = (cos(α),cos(β),cos(γ )) , где α, β,γ - углы, образованные направлением l с осями x,y,z соответственно.
Пусть функция u=f(x,y,z) определена в некоторой окрестности т. M0, ра- |
||||||
диус-вектор которой rv0 = (x0 , y0 , z0 ) . |
f (rv0 + tl0 ) − f (rv0 ) |
|
||||
Если существует конечный предел limt −>0 = |
|
, то он называ- |
||||
|
|
|||||
ется производной функции u=f(x,y,z) в точке M 0 |
t |
|||||
по направлению l и обозна- |
||||||
чается |
∂u(M ) |
или |
∂f (M ) |
|
|
|
∂l |
∂l |
|
|
|||
|
r 0 |
|
r 0 |
|
|
|
Получим координатную форму. Параметрические уравнения луча, выхо- |
||||||
дящего из т. |
M 0 |
в направлении l имеют вид: |
x = x0 + t cos(α) , y = y0 + t cos(β) , |
|||
z= z0 + t cos(γ ) , t ≥ 0
Вточках этого луча получим функцию
u = f (x0 + t cos(α), y0 + t cos(β), z0 + t cos(γ )) = F (t) . Тогда согласно определения, имеем
∂u(M |
|
) |
= |
f (x + t cos(α), y |
0 |
+ t cos(β), z |
0 |
+ t cos(γ )) − f (x0, y0, z0) |
= limt −>0 |
F (t) − F (0) |
= |
r |
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
|
|
t |
|||||
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=F ' (+0) , т.е. ∂u(Mr 0 ) совпадает с производной F ' (+0) . Если u=f(x,y,z) непре-
∂l
рывно дифференцируема в т.М0, то по цепочному правилу получаем
∂u(M ) |
= |
∂u(M ) |
cos(α) + |
∂u(M ) |
cos(β) + |
∂u(M ) |
cos(γ ) |
||||
∂l |
0 |
∂x |
0 |
∂y |
0 |
∂z |
0 |
||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||
В частности для z=f(x,y) двух переменных имеем:
|
|
|
∂z(M ) |
= |
∂z(M ) |
cos(α) + |
∂z(M ) |
cos(β) , где l |
0 |
= (cos(α), cos(β)) , β = π / 2 −α , |
α - |
||||||||||||
|
|
|
|
∂l |
0 |
|
|
∂x |
0 |
|
|
∂y |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
угол между вектором l0 и осью Х. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Тогда формула производной от непрерывно дифференцируемой функ- |
||||||||||||||||||||
ции z=f(x,y) в т. M 0 |
(x0 , y0 ) по направлению l имеет вид: |
|
|||||||||||||||||||||
|
∂z(M ) |
= |
∂z(M ) |
cos(α) + |
∂z(M ) |
sin(α) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∂l |
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
r 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Если |
в |
|
качестве |
|
направления |
l положительное направление оси Х, |
то |
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂rz |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
= (1,0,0) и тогда |
|
= |
∂x , |
то есть производная по направлению оси ОХ есть |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∂l |
||||||||||||||||||||
частная производная функции по Х. Аналогичный смысл имеют производные по другим осям. Т.е. отсюда следует, что производная функции в данной точке в данном направлении равна скорости изменения функции в данной точке в заданном направлении.
Теорема. |
Если производная |
∂u(M ) |
> 0( |
∂u(M ) |
< 0) |
, |
то в направлении l |
|||||||||
∂l |
|
∂l |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
r 0 |
|
|
r |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
функция u=f(M) строго возрастает (убывает) в т. M 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂u(M ) |
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
> 0 , тогда |
существует |
отрезок |
[0,E] |
такой, |
что |
||||||||||
|
∂l |
0 |
||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t[0,E], |
|
||
f (x0 +t cos(α), y0 +t cos(β), z0 +t cos(γ )) − f (x0, y0, z0) >0 |
|
для |
|
любого |
т.е. |
|||||||||||
f(M)>f(M0), т.е f(M) возрастает, что и требовалось доказать.
Градиентом дифференцируемой функции u=f(x,y,z) в т. М называется вектор, коэффициентами которого являются частные производные функции f по переменным x,y,z:
grad (u(M )) = ∂u(M0 ) ir + ∂u(M0 ) rj + ∂u(M0 ) kr
∂x ∂y ∂z
Из определения производной по направлению и градиента, получаем
∂u(rM ) |
r |
т.е. произведение по направлению l в точке М равно |
||||||
= (grad (u(M )), l0 ) , |
||||||||
∂l |
||||||||
скалярному произведению вектора grad u(M) и единичного |
вектора l0 |
на- |
||||||
правления l. Т.к. | l0 |
|=1, то |
∂u(M |
) |
=| grad (u(M )) | cos(ϕ) = Прrl |
grad (u(M )) , |
где |
||
r 0 |
|
|||||||
|
|
|
∂l |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ = (grad(u(M )), l0 ) , т.е производная в направлении есть проекция градиента на
направление дифференцирования. Отсюда следует, что производная ∂u(Mr 0 )
∂l
принимает максимальное значение, когда направление l совпадает с направлением градиента (ϕ = 0 ). В этом случае
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u(M ) |gradu =| grad (u(M )) |= |
(∂u(M ))2 |
+ ( ∂u(M ) )2 + (∂u(M ) )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
∂z |
|||||||||||||||
|
В |
|
|
противоположном |
направлении, |
|
задаваемом |
вектором - g |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
ad |
(u) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂u(M |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
промежуточное значение. Поэтому направление l = grad (u) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти ∂ur |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример. |
u = xy2 z3 . |
в т. М0(3,2,-1) в направлении |
|
0 |
|
, где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M |
N |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
M |
N |
= ( |
, |
, |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
N(5,4,2), M 0 N =(2,2,1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
l0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
| M 0 N | |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂u |
= y 2 z 3 |M 0 = 4 , |
∂u |
= 2xyz3 |M |
0 =12 , |
|
∂u = 3xy 2 z |M 0 |
= 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тогда ∂ur = 4 * |
2 |
+12 * |
2 |
|
+ 36 * |
1 |
= 22 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂l |
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
grad (u(M0 )) = 4ir+12 j +36k ,
|grad(u( M0 ))|=max |
∂u(M |
0 |
) |
= |
16 +144 +1296 = 1456 ≈ 38,16 |
r |
|
||||
|
|
||||
∂l |
|
|
|
||
|
Вектор-функции скалярного аргумента. |
||||
Если по определенному закону каждому значению t T R поставлен |
|||||
в соответствие вектор |
|
xr |
= xr(t) Rn , то говорят, что задана вектор-функция |
||
скалярного аргумента.
Кривая, описываемая концом вектор-функции называется годографом вектор-функции. Фактически, функция x(t) задает параметрическое представление годографа с параметром t.
Так, при n=2 имеем кривую х=х(t), у=у(t), t R на плоскости, заданную параметрически, при n=3 – в пространстве.
Вектор-функцию обычно записывают в виде: |
|
||||||||||||||
xr = xr(t) = (x1 (t), x2 (t)....xn (t)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Возьмем некоторую точку |
t0 |
и дадим приращение ∆t ≠ 0 . Рассмотрим |
|||||||||||||
вектор |
|
∆rr(t0 ) = rr(t0 + ∆t) − rr(t0 ) . |
|
|
Если |
существует |
|||||||||
lim∆t −>0 |
∆r (t0 ) |
= lim∆t −>0 |
|
∆r (t0 + ∆t) − ∆r (t0 ) |
, |
то он называется производной |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∆t |
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
вектор-функции rr(t) в данной точке и обозначается rr' (t0 ) . |
|
||||||||||||||
Пусть rr(t) = (x(t), y(t), z(t)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Т.к. lim∆t −>0 |
∆r (t0 + ∆t) − ∆r (t0 ) |
= (lim∆t −>0 |
|
x(t0 + ∆t) − x(t0 ) |
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y(t0 + ∆t) − y(t0 ) |
|
|
∆t |
z(t0 |
+ ∆t) − z(t0 ) |
∆t |
|
||||||
lim∆t −>0 |
|
|
,lim∆t −>0 |
) = (x' (t0 ), y' (t0 ), z' |
(t0 )) = r' (t0 ) |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∆t |
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|||
т.е. вычисление производной вектор-функции сводится к вычислению производных ее координат.
Теорема. Вектор |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
ad |
(u(M 0 )) ≠ 0 перпендикулярен к поверхности (ли- |
||||||||||||||
нии) уровня гладкой функции u=f(x,y,z) (u=f(x,y)) |
в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) этой |
|||||||||||||||
поверхности ( M 0 (x0 , y0 ) ) данной линии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вектор r ' = (x' (t0 ), y' (t0 ), z' (t0 )) направлен по касательной к кривой L. Т.к. |
||||||||||||||||
f (x(t), y(t), z(t)) = c , |
|
|
то |
df |
= ∂f * dx + |
∂f |
* dy |
+ ∂f |
* dz = 0 |
|
|
|
|
или |
||
|
|
|
|
|
|
dt |
∂x dt |
∂y |
dt |
∂z |
dt |
|
|
|
|
|
(grad (u(M ), r ) = 0 , что и означает |
перпендикулярность вектора |
g |
|
|
|
(u) к |
||||||||||
r |
ad |
|||||||||||||||
вектору касательной r , проведенному к поверхности уровня u=c, а значит, и к поверхности уровня, что и требовалось доказать.