ЛЕКЦИЯ 20

Дифференциальное исчисление ФМП

При изучении многих вопросов естествознания встречаются такие зависимости между несколькими переменными величинами, когда значения одной из таких переменных полностью определяется значениями остальных переменных. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных.

Так, скажем, боковая поверхность конуса S=2πrl зависит от радиуса основания и образующей, т.е. определяется значением двух величин, объем параллелепипеда V=xyz зависит от длины, ширины и высоты, т.е трех величин, при изучении звуковых колебаний газа плотность р и давление Р зависит от четырех переменных – x,y,z и t – времени, в экономике – прибыль от выпуска n видов продукции x1 , x2 ...xn при стоимости каждого вида c1 ,c2 ...cn есть функ-

ция n переменных Z = c1 x1 +c2 x2 +cn xn .

Поскольку принципиальной разницы между случаями двух и большего числа переменных нет(главное, что их больше одной), в дальнейшем будем рассматривать случай двух или трех переменных , пользуясь при этом геометрическими иллюстрациями понятий, не нарушая при этом общности рассуждений.

Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре чисел (x,y) из некоторого множества по определенному закону или правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z.

При этом переменные x и y называются независимыми переменными, или аргументами, а переменная z – зависимой переменной или функцией.

Множество пар чисел (x,y), для которого определена функция z, называ-

ется областью определения этой функции.

Множество значений функции z называется областью изменения этой функции.

Если любой паре из области (х,у) из области определения функции существует одно значение z, то функция называется однозначной, в противном случае – многозначной. Будем далее предполагать, что рассматриваемые двух переменных однозначны.

Естественной областью определения аналитически зависимой функции z=f(x,y) называется совокупность всех пар чисел (х,у), которым соответствуют ---------- значения функции. В дальнейшем под областью определения аналитически заданной функции будем подразумевать ее естественную область определения.

Если пары чисел (х,у) изображать точками плоскости с выбранной системой координат, то область определения функции f(x,y) будет изображаться некоторым множеством D точек плоскости.

Как и в случае функции одной переменной, функция двух переменных может быть изображена графически в виде поверхности, представляющей

ГМТ пространства R3 с координатами (x,y,f(x,y)), когда точка (х,у) пробегает область определения функции D.

Примеры.

1. Ζ = x2 + y2 Область определения D = R2 , область значений E(z) = R+ , а изображающая поверхность – параболоид вращения.

2. Ζ = ln(x2 + y2 −1) , D(x, y) ={x2 + y2 >1}

3. Ζ = 1− x2 + 4 − y2 , |х|<=1,|y|<=2

В некоторых случаях наглядное представление о функции двух переменных может дать картина ее линий уровня.

Линией уровня функции z=f(x,y) будем называть ГМТ (х,у) плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение С(сечение поверхности по плоскости z=C).

Уравнение линии уровня имеет вид z=f(x,y)=c. Линии уровня используются в географии, термофизике (изобары, изотермы) и т.д. (Мы уже использовали метод параллельных сечений при построении поверхностей 2-го порядка).

Понятие функции трех и более переменных дается аналогично случаю двух переменных: U=f(x,y,z) или U=f( x1 , x2 ...xn ).

Изобразить функцию трех переменных с помощью графика в трехмерном пространстве мы не можем, но получить представление о поведении функции можно с помощью так называемых поверхностей уровня функции. Поверхностью уровня функции u=f(x,y,z) называется ГМТ пространства, в которых функция принимает одно и то же значение.

Уравнение поверхности уровня f(x,y,z)=c. Изменяя с получаем различные поверхности уровня. По их взаимному расположению можно судить о характере поведения функции.

Предел ФМП в точке.

Рассмотрим последовательность точек M1 (x1 , y1 ),M2 (x2 , y2 )....M n (xn , yn ) плоскости XoY. Будем говорить, что эта последовательность точек сходится

Т.о. последовательность точек M1 , M2 ....Mn плоскости называется сходящейся к точке M 0 , если в любом б-окрестности т. M 0 лежат все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Пусть функция z=f(x,y) задана в некоторой окрестности т. M 0 , кроме, может быть, самой этой точки. Если для любой последовательности точек M1 (x1 , y1 ),M2 (x2 , y2 )....M n (xn , yn ) этой окрестности ( Mi <> M 0 ), сходящейся к точке M0 (x0 , y0 ) соответствующая последовательность значений функции f (x1 , y1 ), f (x2 , y2 ).... f (xn , yn ) имеет пределом одно и то же число А, то это чис-

следовательность аппликат соответствующих им точек поверхности, изображающей функцию z=f(x,y) имеет пределом А. При этом в самой т. M 0 функ-

ция может быть как определена, так и не определена и иметь любое значение, как равное А, так и отличное от него. Предел функции z=f(x,y)при x− > x0 , y− > y0 определяется поведением вблизи точки (x0 , y0 ) или зависит от

значений функции в этой точке. Пример

1. Ζ = x2 + y2 Область определения D = R2 . Рассмотрим точку M 0 (1,2). Для любых точек (x1 , y1 ),(x2 , y2 )....(xn , yn ) сходящихся к т. M 0 имеет

Выберем последовательность точек (x1 ,0),(x2 ,0)....(xn ,0) . Тогда

Возьмем последовательность (0, y1 ),(0, y2 )....(0, yn ) . Тогда

0 − y2

limn−>∞ yn2 +0n = −1

Следовательно функция z при x->0, y->0 предела не имеет.

y− > y0 если для любого Е>0 существует б(Е)>0 такое, что для всех точек

окрестность т. M 0 (x0 , y0 ) , что во всех ее точках М(х,у) отличных от M 0 ап-

пликаты соответствующих точек поверхности, изображающей функцию z=f(x,y) отличаются от числа А по абсолютной величине меньше, чем на Е. Величина б зависит от Е и при Е->0, б->0.

Будем называть функцию f(x,y) бесконечно малой при x− > x0 , y− > y0 ,

Как и в случае функции одной переменной можно вывести основные свойства б.м. функций, доказать теорему о том, что разность между функцией и ее пределом есть б.м. функция, доказать основные теоремы об арифметических операциях над пределами. Напомним их:

y−>y0

2.Если функция f имеет в т. M 0 предел, то существует окрестность этой точки, в которой функция f ограничена.

для всех точек М которой f(m)>0(f(m)<0).

Доказательства этих свойств ничем не отличаются от доказательств аналогичных теорем из диф. исчислений. В дальнейшем, говоря о пределах, будем иметь ввиду конечный предел.

Непрерывность ФМП.

Функция z=f(x,y), определенная в некоторой окрестности т. (x0 , y0 ) на-

зывается непрерывной в этой точке, если limx−>x f (x, y) = f (x0 , y0 ) .

y−>y00

Геометрически при приближении точки М(х,у) по любой последовательности точек к точке M 0 (x0 , y0 ) аппликаты соответствующих точек поверхности, изображающей функции z=f(x,y) стремятся к аппликате поверхности в точке M 0 .

Функция f(x,y) называется непрерывной в точке (x0 , y0 ) , если для любого E>0 существует б>0 такое, что для всех точек (x0 , y0 ) удовлетворяющих ус-

ловию (xn − x0 )2 + ( yn − y0 )2 <δ => |f(x,y)-f(x0,y0)|<E.

Если функция непрерывна в каждой точке множества D, то она называется непрерывной на множестве D.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах можно показать, что для функции двух переменных сумма и произведение есть непрерывная функция, частное есть непрерывная функция и т.д.

Если функция f(x,y) определена в окрестности т. M 0 (x0 , y0 ) кроме, может быть, самой т. M 0 , и не является непрерывной в этой точке, будем называть ее разрывной в т. M 0 .

f (x, y) = x2 +1 y2 разрывна в точке (0,0), т.к. она определена всюду, кроме

этой точки.

Точка М0 называется внутренней, если она принадлежит множеству D вместе с некоторой ее б-окрестностью. Точка M1 называется граничной точкой множества D, если в любой ее б-окрестности существуют точки из D и не принадлежащие D. Мн-во D со своей границей называется замкнутым множеством.

Для ФДП выполнялись свойства (ограниченность на отрезке, достижение наибольших и наименьших значений и т.д.). Все эти свойства имеют место и в случае ФМП, если функцию рассматривать в замкнутых ограниченных областях, являющихся двумерным аналогом отрезка.

Частные производные ФМП.

Пусть z=f(x,y) задана на области D R2 .

Если значения независимых переменных x и y получают некоторые приращения ∆x , ∆y , то приращение ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) называется полным приращением функции в т. (x0 , y0 ) .

Тогда определение непрерывности функции f в т. M 0 означает, что

lim∆x−>0 ∆z(M 0 ) = 0 <=>для любого Е>0 существует б>0 такое, что для лю-

∆y −>0

бого ∆x2 + ∆y2 <δ => | f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) |< E .

Давая приращение лишь одной переменной (при неизменных значениях остальных переменных), мы получим частное приращение функции f(x,y) по этой переменной.

Разности ∆x f (x0 , y0 ) = f (x0 + ∆x, y0 ) − f (xo , y0 )

∆y f (x0 , y0 ) = f (x0 , y0 + ∆y) − f (xo , y0 ) называются частными приращениями функции z=f(x,y) по переменным х и у в точке M 0 (x0 , y0 ) .

Пример. z = x2 +3xy

∆z = (x + ∆x)2 +3(x + ∆x)( y + ∆y) −(x2 +3xy) = 2x∆x +(∆x)2 +3x∆y +3y∆x +3∆x∆y

-полное приращение функции в т. М(х,у)

∆x z = (x + ∆x)2 +3(x + ∆x) y −(x2 +3xy) = 2x∆x +(∆x)2 +3y∆x

∆y z = x2 +3x( y + ∆y) −(x2 +3xy) = 3x∆y

также.

Из определения следует, что частные производные – это обычная производная функции одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных.

Пример.

Полный дифференциал ФМП.

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой во внутренней точке M 0 (x0 , y0 ) области определения D,если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

∆z(M 0 ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = A∆x + B∆y + o( p) ,

где p = (∆x)2 + (∆y)2 , А и В – постоянные.

Так, например для функции z = x2 +3xy в точке M 0 (x0 , y0 ) ∆z = (2x0 +3y0 )∆x +3x0 ∆y +((∆x)2 +3∆x∆y) Выясним смысл коэффициентов А

Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения ∆z, линейная относительно приращений аргументов ∆ х

и ∆ у, обозначается символом df( M 0 ). Т.е. dz = ∂∂xz ∆x + ∂∂yz ∆y

Дифференциалы независимых переменных x и y совпадают с их приращениями, т.е. dx= ∆x, dy= ∆y. Тогда dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy

Из определения дифференциала следует, что разность между полным приращением и полным дифференциалом в данной точке есть б.м. более высокого порядка, чем ∆ х и ∆ у. Этим пользуются в приближенных вычислениях, заменяя приращение функции z(x,y), которое может сложным образом зависеть от ∆ х и ∆ у ее дифференциалом, зависящим от ∆ х и ∆ у линейно и дос-

таточно просто вычисляемая. Аналитически это выглядит таким образом

При достаточно малых ∆ х и ∆ у допускаемая при этом погрешность может быть сделана сколь угодно малой.

Пример.