ЛЕКЦИЯ 2

Можно заметить, что определитель n -го порядка равен алгебраической сумме n! членов (n!=1 2 3 K n; 3!=1 2 3 = 6, 5!=1 2 3 4 5 =120) ,

каждый из которых равен произведению n элементов, взятых по объему из каждой строки и каждого столбца.

Свойства определителей:

1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить на соответствующие столбцы, т.е. A = AT

Доказательство:

Это свойство устанавливает равноправие строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя, сформулированные и доказанные для строк, справедливы и для столбцов.

2.При перестановке двух строк (столбцов) определителя, его знак меняется на противоположный.

Упражнение: Доказать самостоятельно.

3.Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Доказательство: Заменяя местами одинаковые строки, по свойству 2. получим, что знак изменяется, но не величина, т.е.

∆= −∆ 2∆ = 0 ∆ = 0

4.Общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя, можно выносить за знак определителя.

Доказательство: по формуле (7)

an1 L ann

∆= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +K+ ain Ain

∆λ = (λai1 ) Ai1 +K+ (λain ) Ain = λ ∆

Следствие 1: Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на какое-либо число, то и сам определитель умножится на это число.

Следствие 2: Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

5.Определитель, у которого элементы двух (или более) строк (столбцов) пропорциональны, равен нулю.

Доказательство: По 4. выносим общий множитель, а тогда по 3. имеем две одинаковые строки и ∆ = 0 .

6.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство: Поставим в определитель (5) на место j -й строки i -ю. Тогда по свойству 3. ∆ = 0 . Но, с другой стороны, разложив его по j -й строке, получим, произведение элементов i -й строки на алгебраическое дополнение элементов j -й строки:

7.Если каждый элемент i -й строки (столбца) определителя (5) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей; в одном из них i -й строкой (столбцом) служат первые слагаемые, в другом - вторые, а в остальных строках те же элементы, что и у исходного определителя.

Упражнение: Доказать самостоятельно.

8.Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число k , то значение определителя не изменится.

Доказательство:

= −1704

б) Вычтем из первого столбца третий, умноженный на 8. тогда в четвертой строке будет еще 3 нулевых элемента:

Матрица B называется правой обратной матрицей, если AB = E . Матрица

Cназывается левой обратной, если CA = E

Теорема: Если B и C существуют, то B = C . Доказательство: C = CE = C( AB) = (CA)B = EB = B

Обратную матрицу обозначают символом A−1 : A−1 A = AA−1 = E .

Теорема: Для того, чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно чтобы ∆ = det A ≠ 0

Перемножим A и A .

Из (8) следует, что для вычисления обратной матрицы нужно составить

bi ≠ 0, (i {1, m}) система называется неоднородной.

Решением системы называется всякая совокупность n чисел x1, x2 ,K, xn ,

которая, будучи подставлена в систему, превращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Если система (9) не имеет решений, то она называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной. Если система имеет более одного решения, то она называется неопределенной.

Решить систему – это, значит, определить, совместна она или нет, и, в случае совместности, найти все ее решения.

Линейную систему (9) удобно записывать в матричной форме, если ввести