|
ЛЕКЦИЯ 19 |
|
|
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке |
|
||
Наибольшее max f (x) |
и наименьшее min |
f (x) значения непрерывной |
|
a≤x≤b |
a≤x≤b |
|
|
функции f на отрезке |
[a,b] называются |
глобальным max и |
min |
соответственно или глобальным экстремумом.
Глобальный экстремум существует в силу теоремы Вейерштрасса. Ясно, что точками глобального экстремума могут быть точки локального экстремума или концы отрезка. Отсюда правило отыскания глобального экстремума непрерывной функции f на отрезке [a,b] :
1)Находим точки возможного экстремума на интервале (a,b) .
2)Вычисляем значение функции f в этих точках и значения f (a), f (b)
Наибольшее из этих значений есть max f (x) , а наименьшее - min |
f (x) . |
||||||||
|
|
|
|
|
a≤x≤b |
a≤x≤b |
|
||
Пример: |
|
Найти глобальный |
экстремум |
y = 3 2(x +1)2 (x −2) |
на отрезке |
||||
[−2,5] . |
y |
′ |
= |
3(x2 −1) |
|
x = ±1, x = 2 - точки |
|
|
|
33 2(x +1)4 (x −2)2 . |
Отсюда |
возможного |
|||||||
|
|||||||||
экстремума, |
потому что все они принадлежат интервалу [−2,5] . |
Находим |
|||||||
y(−1) = 0, y(1) = −2, y(2) = 0, y(a) = y(−2) = −2, y(b) = y(5) = 23 9 . |
Таким |
||||||||
образом, |
ymax = y(5) = 6, ymin = y(1) = y(−2) = −2. |
|
|
||||||
Исследование функции на экстремум широко используется во всех областях человеческой деятельности – математике, физике, экономике, биологии, химии и пр. В частности смотрите пример из лекции 9.
Выпуклость и точки перегиба
Говорят, что дифференцируемая функция f обращена в точке x0 выпуклостью вверх (вниз), если существует окрестность Uδ (x0 ) этой точки такая, что для x Uδ (x0 ) \ x0 касательная к графику f в точке ( x0 , f (x0 ) ) расположена выше (ниже) графика функции.
Точка x0 |
называется точкой перегиба функции f , если существует такая δ - |
|||||||||||||||
окрестность Uδ (x0 ) |
точки |
x0 , |
что для всех |
x (x0 −δ, x0 ) |
график функции |
|||||||||||
находится с одной стороны касательной, а для всех x (x0 , x0 +δ) |
- с другой. |
|||||||||||||||
Теорема: |
(первое |
достаточное условие выпуклости). Если |
f (x) дважды |
|||||||||||||
непрерывно дифференцируемая функция в точке x0 |
и |
f ′′(x0 ) > 0 ( f ′′(x0 ) < 0) , |
||||||||||||||
то в точке x0 функция f выпукла вниз (вверх). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Доказательство: |
|
Рассмотрим некоторую окрестность Uδ (x0 ) точки x0 , к |
||||||||||||||
графику функции |
f |
в точках (x0 , f (x0 )) проведем касательную, уравнение |
||||||||||||||
которой имеет вид |
Y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) . Функции |
f |
разложим по |
|||||||||||||
формуле |
Тейлора |
с |
остаточным |
членом |
в |
форме |
Лагранжа: |
|||||||||
f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + |
|
f ′′(ξ) |
(x − x0 )2 , ξ Uδ . |
Вычтем |
из одного |
|||||||||||
|
2! |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равенства другое: |
f (x) −Y = |
′′ |
− x0 ) |
2 |
- это разность координат кривой |
|||||||||||
2 |
f (ξ)(x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f ′′(x0 ) > 0, то и f ′′(ξ) > 0 в некоторой |
|||||||||
и касательной к ней в т. |
x Uδ . Если |
|||||||||||||||
достаточно малой окрестности, |
поэтому и |
f (x) −Y > 0 . Если |
f ′′(x0 ) < 0 , то и |
|||||||||||||
f (x) −Y < 0 , а это и означает, что в первом случае функция выпукла вниз, а во
втором вверх. |
|
|
|
|
f |
|
Теореме: (необходимое условие точек перегиба). Если функция |
имеет |
|||||
непрерывную производную |
в точке x0 |
f ′′(x0 ) и x0 - точка перегиба, то |
||||
f ′′(x0 ) = 0. |
|
|
f ′′(x0 ) > 0 ( f ′′(x0 ) < 0) , |
|
||
Доказательство: Если бы в точке перегиба |
то по |
|||||
предыдущей теореме f была бы выпукла вниз (вверх). |
|
|
|
|||
Итак, точками, подозрительными на |
перегиб являются точки, |
в |
которых |
|||
f ′′ = 0 либо не существуют. |
|
|
|
f |
|
|
Теорема: (достаточное условие точек перегиба). Если функция |
дважды |
|||||
дифференцируема в окрестности точки x0 |
и f ′′(x0 ) > 0 ( f ′′(x0 ) < 0) при x > x0 , |
|||||
f ′′(x0 ) < 0 ( f ′′(x0 ) > 0) при |
x < x0 , то |
точка |
x0 является точкой |
перегиба |
||
функции f . |
|
|
|
|
|
|
Доказательство: Согласно достаточным условиям выпуклости для |
x < x0 |
|||||
функция f выпукла вверх (вниз), а для x > x0 |
- выпукла вниз (вверх), т.е. x0 - |
|||||
точка перегиба по определению.
Если f ′′(x) при переходе через точку x0 меняет знак с минуса на плюс, то график f , расположенный ниже касательной, пересекает ее, касаясь в точке (x0 , f (x0 )), и располагается выше касательной, если знак меняется с плюса на минус.
Теорема: (второе достаточное условие перегиба). |
Если f |
имеет |
||
непрерывную третью производную |
f ′′′(x0 ) и f ′′(x0 ) = 0, а |
f ′′′(x0 ) ≠ 0 , то точка |
||
x0 - точка перегиба. |
|
|
|
|
Доказательство: Т.к. f ′′′(x0 ) ≠ 0 |
следовательно, что |
f ′′(x0 ) либо возрастает |
||
( f ′′′(x0 ) > 0), либо убывает ( f ′′′(x0 ) < 0 ) в точке x0 . Т.к. |
f ′′(x0 ) = 0, то в любом |
|||
из этих случаев найдется такая окрестность точки x0 , в пределах которой |
′′ |
|||
f (x) |
||||
имеет разные знаки слева и справа от x0 . Значит, в точке x0 |
имеется перегиб. |
|||
f ′′(x)
Справедливо и более общее достаточное условие перегиба. |
|
||||||||||||
Пусть |
|
в |
точке |
x0 |
для |
|
функции |
f |
выполнены |
условия |
|||
f ′′(x0 ) = |
f ′′′(x0 ) =K= |
f (n−1) (x0 ) = 0 |
и существует непрерывная в точке x0 |
||||||||||
производная |
f (n) , n > 2 , причем |
f |
(n) (x |
) ≠ 0. Тогда если n = (2k −1) , то в |
|||||||||
точке x0 - перегиб. |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||||
Доказательство: |
Разложим |
|
|
по |
|
формуле |
Тейлора: |
||||||
f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + |
f (n) (ξ) |
(x − x0 )n , |
где |
ξ (x0 , x) . |
Если |
||||||||
|
|||||||||||||
Y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) |
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||
- |
|
|
уравнение |
|
касательной, |
то |
|||||||
f (x) −Y = |
f (n) (ξ) |
(x − x )n , где n нечетное. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n) (x ) |
и f (n) |
(ξ) |
|
|
||||
В силу непрерывности знаки |
совпадают в некоторой |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
окрестности точки x0 . |
Но тогда при переходе через точку x0 слева на право |
||||||||||||
знак разности |
f (x) −Y |
меняется, т.е. график функции располагается по разные |
|||||||||||
стороны от касательной, т.е. в точке (x0 , f (x0 )) имеется перегиб. Пример: y = x2 +6x +8 −2ex+2 , x0 = −2. Исследовать.
Пример: Найти асимптоты |
y = |
2 − x2 |
. |
x = ±3, |
lim |
2 − x2 |
= +∞, т.е. |
||||||||
9x2 |
|
9x2 − |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
x→± |
2 |
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. k = lim |
2 − x2 |
|
1 |
, b = |
|
|
2 − x2 |
|
x |
|
= 0 |
|
|
y = ± |
|
= m |
3 |
lim |
|
|
± |
3 |
|
|
|||||
3 |
9x2 −4 |
|
|||||||||||||
|
x→±∞ x |
9x2 −4 |
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|||||||
Общая схема построения графиков:
1.Находим область определения функции
2.Находим точки пересечения с осями координат
3.Исследуем на периодичность, четность, нечетность
4.Исследуем на монотонность и экстремумы
5.Находим точки перегиба и промежутки выпуклости
6.Отыскиваем асимптоты
7.Строим график по этим данным
Пример: 1) Построить график y = |
x2 |
−3x +3 |
. |
|||||
|
x −1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
ОДЗ: x ≠1 lim |
y = ±∞, x =1 - вертикальный асимптот |
||||||
|
|
|
x→1± |
0 |
|
|
|
|
2. |
x = 0, y = −3, y = 0 x2 −3x +3 = 0, D < 0 , |
точка (0,−3) - пересечение с |
||||||
OY |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Функция общего вида |
|
|
|
|
|||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, x = 0, x = 2 . Таблица:
|
|
|
|
|
5. |
x |
(−∞,0) |
0 |
(0,1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
y |
↑ |
max |
↓ |
|
|
|
|
- |
|
y′ |
+ |
0 |
y |
′′ |
|
2(x −1)3 |
−2(x −1)(x2 −2x) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
|
(x −1)4 |
|
|
|
|
= (x −1)3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,2) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(2,+ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
min |
|
|
|
↑ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
(−∞,1) |
|
|
|
(1,+∞) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
вверх |
|
|
|
вниз |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
- |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптоты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k = lim |
|
x2 |
−3x +3 |
=1, b |
= lim ( |
x2 −3x +3 |
− x) = lim |
−2x +3 |
= −2 |
. Асимптота |
|||||||||||||
|
|
x2 − x |
|
|
|
|
x −1 |
|
x −1 |
||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|||||||||||
y= x − 2
8.Строим
y
x
Пример: y = 3 (x −3)(x2 −6x +6)
1.ОДЗ: x R, y R
2.x = 0, y = −3 3, y = 0, x = 3, x = 3 ± 
3
3. |
общего вида |
|
|
||||
4. |
y |
′ |
= |
x2 −6x +6 |
|
|
|
33 (x −3)2 (x2 −6x +6)2 . |
Критические |
точки |
|||||
|
|||||||
x = 3, x = + ± 
1, x1 = 2, x2 = 4, x = 3 ± 
3
x |
(−∞,3 − |
3) |
3 |
− 3 |
(3 − 3,2) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y |
↑ |
|
|
|
↑ |
|
|
|
|
|
|
y′ |
+ |
|
Не сущ. |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(2,3) |
3 |
(3,4) |
|
|
|
|
3 2 max |
↓ |
|
↓ |
|
|
|
|
0 |
- |
Не сущ. |
- |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
(4,3 + |
3 + 3 |
|
(3 + 3,+∞) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 min |
|
↑ |
|
|
↑ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
+ |
|
Не сущ. |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −3)(x2 −6x +6)L(x −3)2 (x2 −6x +6)2 x = 3 ± 3 |
||||||||
|
x |
|
(−∞,3 − 3 |
|
3 − 3 |
|
(3 − 3,3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
вниз |
|
перегиб |
|
вверх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
|
+ |
|
|
Не сущ. |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
(3,3 + 3) |
|
3 + 3 |
|
|
(3 + |
3,+∞) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
перегиб |
|
вниз |
|
перегиб |
|
|
вверх |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не сущ. |
|
+ |
|
|
Не сущ. |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптоты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k = lim |
3 (x −3)(x2 |
−6x +6) |
=1, b = |
lim (3 (x −3)(x2 |
−6x +6) − x) = |
|||||||
x |
|
|
||||||||||
x→±∞ |
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|||
= lim |
|
(x −3)(x2 −6x + |
6) − x3 |
|
|
= |
|
|
||||
|
|
|
|
−3)(x2 −6x +6) + x2 |
|
|
||||||
x→±∞ 3 (x −3)2 (x2 −6x +6)2 + x3 (x |
|
|
|
|||||||||
= lim |
|
|
−9x2 −12x −18 |
|
|
= − |
9 |
= −3 |
||||
|
|
|
|
−3)(x2 −6x +6) + x2 |
3 |
|||||||
x→±∞ 3 (x −3)2 (x2 −6x +6)2 + x3 (x |
|
|
||||||||||
Итак, |
y = x −3 - асимптота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Строим, получаем результат. y
x