Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 17

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Говорят, что в точке x0 функция f имеет локальный максимум (минимум), если существует такое δ > 0 , что для всех x из δ -окрестности точки x0 выполняется неравенство:

f (x) ≤ f (x0 ) (f (x) ≥ f (x0 )) x x − x0 < δ .

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

x1, x3 - точки локального минимума, x2 - точка локального максимума.

Теорема Ферма:

определена

Пусть функция f

интервале (a,b) и в некоторой точке

x0 (a,b)

имеет

локальный

существует конечная производная f ′(x0 ) , то

экстремум. Тогда, если в точке

f ′(x0 ) = 0 .

Доказательство:

Пусть в точке x0

функция имеет локальный максимум, т.е.

f (x) ≤ f (x0 )

x Vδ (x0 )

или x,

x − x0

< δ . Тогда в силу дифференцируемости

в точке

при x > x0 :

f (x) − f (x0 )

≤ 0

lim

= f ′(x0 ) ≤ 0 ,

x − x0

а при x < x0

x − x0

x→x0 +0

будем иметь:

f (x) − f (x0 )

≥ 0

lim

f (x) − f (x0 )

= f ′(x0 ) ≥ 0

x − x0

x→x0 −0

x − x0

Эти неравенства одновременно имеют место лишь при f ′(x0 ) = 0 .

Теорема доказана.

Геометрически теорема Ферма означает, что в точке локального экстремума касательная к графику функции в точке (x0 , f (x0 ))

параллельна оси OX .

Об условия существенны.

Теорема Ролля:

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b] , дифференцируема в каждой точке интервала (a,b) и f (a) = f (b) . Тогда существует хотя бы одна точка c ,

a < c < b такая, что f ′(c) = 0 . Доказательство:

Если f (x) постоянная на [a,b] , то f ′(c) = 0 x (a,b) .

Если f (x) не постоянная, то она достигает в некоторых точках отрезка [a,b] наибольшего и наименьшего значений ( по теореме Вейерштрасса). Значит, или max f (x) или min f (x) обязательно достигаются функцией внутри отрезка (a,b) в некоторой точке c . Тогда, по теореме Ферма, f ′(c) = 0 .

Геометрически эта теорема означает следующее. Между двумя нулями функции лежит нуль производной.

Каждое из условий теоремы существенно.

Теорема Коши:

Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы в интервале (a,b) , причём g′(x) ≠ 0 x (a,b) . Тогда на (a,b) найдётся точка c

	f (b) − f (a)		f	′
такая, что		=		(c)	.
	g(b) − g(a)			′
			g (c)

Доказательство:

Заметим, что g(b) ≠ g(a) , т.к. в противоположном случае по теореме Ролля существует точка c такая, что g′(c) = 0 , что противоречии условию g′(c) ≠ 0

x (a,b) .

Рассмотрим вспомогательную функцию:

F(x) = f (x) − f (a) −	f (b) − f (a)	(g(x) − g(a))

	g(b) − g(a)

Функция F(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и

F(b) = F(a) (легко проверяется подстановкой). Тогда, по теореме Ролля существу-

		′
ет c (a,b) , чтоF (c) = 0 .					′
	′	′	f (b) − f (a)	′	′		f (b) − f (a)
Но	F (c) = f (c) −			g (c) = 0		=		.
Но	F (c) = f (c) −		g(b) − g(a)	g (c) = 0	′	=	g(b) − g(a)	.
			g(b) − g(a)		g (c)		g(b) − g(a)

Теорема доказана. Теорема Лагранжа:

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на

интервале (a,b) , то существует c (a,b) такая, что	f (b) − f (a)		′	или
		=	f (c)
	b − a	=	f (c)
′
f (b) − f (a) = f (c)(b −a) .

Доказательство:

Полагая g(x) = x в теореме Коши, получим формулу Лагранжа. Теорема доказана.

Геометрически: существует точка c (a,b)	такая, что касательная в точке
(c, f (c)) параллельна секущей, соединяющей точки (a, f (a)) и (b, f (b)).
	Применим формулу Лагранжа
к	функции	f (x) на	отрезке
[x0 , x0 + ∆x]:		′
		′
	f (x0 + ∆x)− f (x0 ) = f (c)∆x .
	Точку c	представим	в виде
c = x0 +θ∆x = x0 +θ(x − x0 ) ,			где
0 <θ <1.			Тогда

∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x)− f (x0 ) = f (x0 +θ∆x)∆x

. Это равенство называется формулой

конечных приращений Лагранжа.

Привило Лопиталя.

Отыскание предела функции в точке или на бесконечности часто приводит к рассмотрению неопределённости типа 00 , ∞∞ , 0 ∞, ∞−∞, 00 , ∞0 , 1∞ .

Докажем следующую теорему:

Пусть f и g - непрерывные функции, имеющие производные в окрестности точки x0 , за исключением, может быть, самой точки x0 . Предположим, что

g(x) ≠ 0 и

′

в указанной окрестности и

lim f (x) = lim g(x) = 0 .

g (x) ≠ 0

f ′(x)

x→x0

f (x)

Тогда, если существует lim

, то существует и

lim

g(x)

x→x0

g′(x)

f ′(x)

x→x0

lim

f (x)

lim

x→x0

g(x)

x→x0

g′(x)

Доказательство:

Доопределим функции f и g в точке x0 , полагая f (x0 ) = g(x0 ) = 0 . Тогда они будут непрерывны в точке x0 . Применим к ним теорему Коши на отрезке [x0 , x] (все условия выполнены) и получим:

f (x)	=	f (x) − f (x0 )	=	f ′(x)	,
	=		=	′	,
g(x)		g(x) − g(x0 )		g (x)

где точкаc удовлетворяет условию x0 < c < x . Если x → x0 , то и c → x0 , поэтому

lim	f (x)	= lim	f ′(x)	=	lim	f ′(x)	.
	g(x)		g′(x)
x→x0		c→x0			x→x0	g′(x)
Теорема доказана.

Итак, мы получим правило для раскрытия неопределённостей типа 00 . Сле-

дует отметить, что

lim

f (x)

может существовать, а lim

f ′(x)

нет, так что правило

x→x0

g(x)

x→x0

g′(x)

Лопиталя применимо не всегда.

Аналогичное правило имеет место и для неопределённостей вида ∞ , а

именно:

∞

и g - непрерывные функции, имеющие производные в окрестно-

Пусть f

сти точки x0 , и

lim

f (x) = ∞ и lim g(x) = ∞. Пусть

g(x) ≠ 0 и

′

g (x) ≠ 0 в этой окре-

x→x0

f ′(x)

f (x)

стности. Тогда, если существует lim

, то существует и

lim

, причём они

x→x0

g′(x)

x→x0

g(x)

равны.

Без доказательства.

Неопределённости типа 0 ∞, ∞−∞, 00 , ∞0 , 1∞ сводятся к вышеуказанным типам с помощью логарифмирования или элементарных преобразований.

Примеры:

ln x

sin x

− lim

sin x

cos x

sin x

= (∞0 )=

x→+0

lim

−

= e0 =1

lim

lim e

= ex→+0

−ln x

= 0

= e

sin x

= e

sin

x→+0 x

x→+0

tgx

−sin x

−cos x

2sin x

+sin x

lim

= lim

cos

= lim

cos

3x2

x→0

sin x

= lim

cos2

x 6

x→0

x −1−ln x

1−

x −1

lim

−

= (∞ −∞)= lim

= lim

x −1

(x −1) ln x

x −1

x→1 ln x

x→1

ln x +

x→1 x ln x + x −1

= lim

x→1 ln x +1

Формула Тейлора.

Поскольку наиболее изученными функциями являются многочлены, то возникает вопрос о возможности замены данной функции в окрестности точки x0

многочленом некоторой степени.

Ранее мы рассматривали приращение дифференцируемой функции и видели, что его можно представить в виде:

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ) , т.е. существует многочлен первой степени P1 (x) = f (x0 ) + Α(x − x0 ) такой, что при x → x0 f (x) = P1 (x) + o(x − x0 ) , причём

P1 (x0 ) = f (x0 ) , P1′(x0 ) = Α = f ′(x0 ) .

Поставим теперь более общую задачу.

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке n производных f ′(x0 ), f ′′(x0 ),..., f (n) (x0 ) . Попытаемся найти многочлен

Pn (x) степени выше n такой, что

f (x) = P (x) + o((x − x

)n )

, где P

(x) удовлетворяет условиям

f (x

) = P (x

) ,

f ′(x0 ) = Pn′(x0 ) ,…, f (n) (x0 ) = P(n) (x0 ) . Будем искать многочлен Pn (x) в виде:

(x) = Α

+ Α (x − x

) + Α

(x − x

)2 +... + Α

(x − x

)n .

Последовательно дифференцируя, получаем:

P′n (x) = Α1 + 2Α2 (x − x0 ) +... + nΑn (x − x0 )n−1

P′′n (x) = 2Α2 +3 2Α3 (x − x0 ) +... + n(n −1)Αn (x − x0 )n−2

………………………………………………………………….

P(n) (x) = n(n −1) (n − 2) ... 2 1 Αn

Отсюда и из условий f (k ) (x0 )= P(k ) (x0 ), k =

получаем:

0, n

Α0 = f (x0 )

Α1 = Pn′(x0 ) = f ′(x0 )

Pn(n) (x0 )

f (n) (x0 )

Α2

Pn′′(x0 )

f ′′(x0 )

,..., Αn =

Подставляя найденные коэффициенты, поучаем:

f (n) (x0 )

Pn (x0 ) = f (x0 ) + f

′(x0 )(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

(x − x0 )2

+... +

(x − x0 )n

Это и есть многочлен Тейлора функции f (x) . Покажем, что данный много-

член приближает f (x)

с точностью до бесконечно малой функции более высокого

порядка, чем (x − x0 )n . Обозначим через Rn (x) = f (x) − Pn (x) . По определению Pn (x)
следует, что Rn (x0 ) = Rn′ (x0 ) = ... = R(n) (x0 ) = f (x0 ) . Чтобы убедиться, что
n
Rn (x) = o((x − x0 )n ), докажем, что lim	Rn	= 0 . Применим n раз правило Лопи-
x→x0	(x − x0 )n

таля, получим:

R′ (x)

R(n) (x)

R(n) (x

)

lim

= lim

= .. = lim

= 0

, т.е.

(x − x0 )n

(x − x0 )n−1

x→x0

R (x) = ((x − x

)n ).

x→x0

Таким образом, нами доказана теорема.

Пусть функция

определена в некоторой точке окрестности точки x0 и n

раз дифференцируема в ней. Тогда при x → x0 имеет место формула:

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +	f ′′(x0 )	(x − x0 )2	+... +	f (n) (x0 )	(x − x0 )n + o(x − x0 )n
	2!			n!

Данная формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным чле-

ном в форме Пеано R

(x) = f (x) − P (x) = o((x − x

)n ),

x → x

Так как x − x0 = ∆x , то x = x0 + ∆x ,

f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = ∆f (x0 ) и формулу Тей-

лора можно записать в виде:

f (n) (x0 )

∆f (x0 ) = f ′(x0 )∆x +

f ′′(x0 )

∆x2 +... +

∆xn

+ o(∆x) , ∆x → 0 .

Если x0 = 0 ,

то формула Тейлора называется формулой Маклорена и при-

нимает вид:

′

f (x) = f (0) + f

(0)x

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Пусть функция f (x)

имеет и (n +1) -ю производную в окрестности точки x0 .

Введём новую функцию g(x) = (x − x0 )n+1 . Очевидно, что

g(x0 ) = g′(x0 ) = ... = g (n) (x0 ) = 0 ,

g (n+1) (x0 ) = (n +1)!≠ 0 .

К функциям Rn (x) = f (x) − Pn (x) и g(x)

на отрезке [x0 , x] применим теорему

Коши (n +1) раз и получим:

Rn′ (c1 ) =

Rn′ (c1 ) − Rn′ (x0 )

Rn′′(c2 ) = ... =

(cn ) =

Rn (x) = Rn (x) − Rn (x0 ) =

т.Коши

(n)

g(x)

g(x) − g(x0 )

g′(c1 )

g′(c1 ) − g′(x0 )

g′′(c2 )

g (n) (cn )

R(n) (c

) − R(n)

)

R(n+1) (ξ)

g (n) (cn ) − g (n) (x0 )

(n+1) (ξ)

где

c1 (x0 , x),c2 (x0 , c1 ),..., cn (x0 ,cn−1 ),ξ (x0 , cn ) (x0 , x).

Но g (n+1) (ξ)= (n +1)!,

Rn(n+1) (ξ)= f (n+1) (ξ)−0 = f (n+1) (ξ), следовательно:

R(n+1) (ξ)

(n+1) ξ

(x) = g(x)

( )

(x − x

)n+1 , x

< ξ < x .

g (n+1) (ξ)

(n +1)!

Это и есть остаточный член в форме Лагранжа. Если использовать для точ-

ки ξ = x 0 +θ(x − x 0 ) ,

0 <θ <1, получим формулу Тейлора с остаточным членом в

форме Лагранжа:

′′

)

(n)

)

(n+1)

(ξ)

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +

f (x

(x − x0 )2 + ... +

(x − x0 )n +

(x − x0 )n+1

(n +1)!

x0 < ξ < x (ξ = x0 +θ(x − x0 ),0 <θ <1).

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF