ЛЕКЦИЯ 15

Производной функции

f

в точке

x0 называется число,

обозначаемое

f ′(x0 ) и

равное пределу

отношения

f (x) − f (x0 )

,

если

x → x0 , т.е.

f (x) − f (x0 )

x − x0

f ′(x0 ) =

lim

, если этот предел существует.

∆x→0

x − x0

Т.к. x − x0 = ∆x , то можно записать иначе:

f ′(x0 ) =

lim

f (x0 + ∆x) − f (x0 )

=

lim

∆f (x0 )

,

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

т.е. производная функции

f

в точке x0 есть предел отношения её приращения

y′(x ) ,

y′

(x )

,

df (x0 )

, f ′(x

0

) |

x =x

и т.д.

0

x

0

dx

0

Если функция

f определена в некоторой правой (левой) окрестности

точки x0 , то правой (левой) производной функции

f

в точке x0 называется

предел

′

′

f (x) −

′

f (x) − f (x0 )

f (x0 )

f

(x

) = f (x + 0) =

lim

f

(x −0) =

lim

,

x − x

x − x

+

0

0

x→x0 +0

0

∆x→−0

или

0

0

f

(x + ∆x) − f (x )

+ ∆

−

f (x0 + 0) = lim

f (x0

x)

f (x0 )

f ′(x0 −0)

=

lim

0

0

.

∆x

∆

∆x→+0

x

∆x→−0

Правая и

левая производные

функции

f

в

точке

x0 называются

существование правой и левой производных в точке x0

производных, равных

между собой, гарантирует наличие производной функции

f (x) в точке x0 , т.е.

f ′(x0 ) = f+′(x0 ) = f−′(x0 ) .

′

Пример: Найти (cos x) .

cos(x +∆x) −cosx

−2sin(

2x +

∆x

)sin

∆x

′

2

2

=

= lim

= lim

(cosx)

∆x

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x) lim

sin

=− lim sin(x +

2

=−sin x.

∆x

∆x→0

2

x→0

f+′(0) и

2

Пример: Найти

f−′(0) для y =| x |.

| x

| ∆x | −0

∆x

f+′(0) =

lim

+ ∆x | − | x |

=

lim

=

lim

=1

∆x →+0

∆x

∆x →+0

∆x

∆x →0

∆x

f−′(0) =

lim

| 0 + ∆x | − | 0 |

=

lim

− ∆x = −1

∆x →−0

∆x

∆x →−0

∆x

Таким образом, в точке x = 0 функция y =| x |

не дифференцируема,

нием

x − x0

=

y − f (x0 )

.

Это

x

− x

f (x ) − f (x

0

)

1

0

1

уравнение секущей, проходящей через точки Α и Β графика функции f

. Его

можно привести к виду:

y =

f (x1 ) − f (x0 )

(x − x0 ) + f (x0 ) , где

k =

f (x1 ) − f (x0 )

-

угловой

x1 − x0

x − x0

называется касательной к графику функции

f в точке x0 . Ясно, что касатель-

f (x1 ) − f (x0 )

′

ная существует, если существует конечный

lim

=

f (x ) , ко-

x

− x

x1→x0

0

1

0

торый называется угловым коэффициентом касательной к графику функции

f

в точке

Α(x

0

, f (x

0

)) . Таким образом,

f ′(x

) есть угловой коэффициент каса-

0

в точке (x0 , f (x0 )) . Тогда урав-

тельной, проведённой к графику функции f

нение касательной к графику функции

f в точке (x0 , f (x0 )) имеет вид:

y = f ′(x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) .

Прямая,

перпендикулярная к касательной графика функции f

в точке

(x0 , f (x0 )) , называется нормалью к кривой, определяемой функцией

f в этой

точке. Поскольку угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны

соотношением

k k

2

= −1, то отсюда,

предполагая,

что

f ′(x) ≠ 0 , получаем,

1

в точке (x0 , f (x0 )) имеет вид:

что уравнение нормали к графику функции f

y = −

1

(x − x0 ) + f (x0 ) .

f

′(x0 )

Пример: Составить уравнение касательной и нормали к кривой

y =

x2

− 2x −3

в точке x0 = 4 .

4

Найдём

′

(x +∆x)2 −2(x +∆x) −3−x2

+2x +3

= lim

2x∆x +∆x2 −2∆x

=

2x −2

=

y (x) = lim

4∆x

4∆x

4

∆x→0

∆x→0

y =

3

(x − 4) + 5 , y = − 2 (x − 4) +

5

или

2

4

3

4

4 y − 6x +19 = 0 , 12 y +8x − 47 = 0 .

Может оказаться, что производная функции f

в точке x0 бесконечна

π

(т.е. угол наклона касательной есть

2 ). Возможны следующие случаи:

f ′(x ) = +∞

,

f ′(x ) = −∞, f ′(x −0) = −∞ ,

f ′(x + 0) = +∞,

0

0

0

0

f ′(x − 0) = +∞,

f ′(x

0

+ 0) = −∞ .

0

время

x . Есть и другие экономические понятия,

требующие введения произ-

водной.

Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если функция f (x) в точке x

имеет производную f ′(x

0

) ,

0

то эта функция непрерывна в точке x0 .

Доказательство: Согласно связи между функцией, бесконечно малой

функцией и её пределом, имеем:

∆f (x0 )

= f ′(x0 ) +α(∆x) , где

lim α(∆x) = 0 .

∆x

∆x→0

Тогда ∆f (x0 ) = f ′(x0 )∆x +α(∆x) ∆x . Переходя к пределу при ∆x → 0 ,

имеем

lim ∆y = 0 , т.е. функция непрерывна в точке x0 . Теорема доказана.

∆x →o

Обратное неверно (см. пример с ∆y =

x

).

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируе-

мой в этой точке.

и v(x) дифференцируемы в точке x0 , то:

Теорема: Если функции u(x)

u

′

′

′

=

u v −uv

, v ≠ 0

3)

v2

v