Лекция 14

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Шилкин Лекции.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4614 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

			ЛЕКЦИЯ 14
	Предел функции в точке. Непрерывность.
Пусть имеются множества Χ = {x, x R} и множество Υ = {y, y R}.
Если каждому элементу		x Χ по определённому правилу						f поставлен в
соответствие элемент y = f (x) Υ , то говорят,						что задана функция с областью
определения Χ и областью значений Υ и пишут						f : Χ → Υ .
Если элемент	y единственный, то функция называется							однозначной,	в
противном случае – многозначной.
Число Α называется пределом функции					f	в точке x0 , если функция			f
определена в некоторой окрестности точки					x0	за исключением, может быть,
самой этой точки, а если для любой последовательности								{xn }, xn ≠ x0 ,
сходящейся к x0 ,	соответствует последовательность {f (xn )} значений функции
сходится к Α при n → ∞
lim f (x) = Α {x }, lim x			= x , x ≠ x			lim	f (x ) = Α
x→x0	n	n→∞ n	0	n	0	n→∞	n

Это определение предела функции по Гейне.

Имеется также определение предела функции по Коши, эквивалентное данному, или на языке ε −δ :

Число Α называется пределом функции f в точке x0 , если она определена в некоторой окрестности точки x0 , за исключением, может быть, самой этой


точки	x0 , и если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 можно указать
такое	δ =ϑ(ε, x0 ) > 0 ,	что для всех x , для которых 0 <		x − x0	< δ(ε, x0 )

выполнено неравенство		f (x) − Α	< ε .

Символически:

Α = lim f (x) ε > 0 δ(ε, x0 ) > 0,

x→x0

x : 0 < x - x 0 < δ(ε, x0 ) f (x) − Α < ε .

Геометрически:

Как только точка x попала в δ -окрестность точки x0 , сразу же f (x) попадает в δ -окрестность точки Α.

С вычислительной точки зрения: с какой

погрешностью

необходимо

вычислять значение точки x0 , чтобы погрешность вычисления предела

Α не

превосходила заданной точности ε .

Пример:

Для функции

f (x) =

−9

найти предел в точке

x = 3 .

x −3

}

такую,

что

lim{x

}= 3, x

≠ 3. Тогда

Возьмём последовательность

n→∞

(x )

x2 −9

(x −3)(x +3)

lim

= lim

= lim (x

+3)

= 6

n→∞

n→∞ x −3

x −3

n→∞

0 n→∞

доказательство по Гейне.

По Коши:

lim (x −3)(x +3) = lim(x +3) = 6 .

x→3

x −3

x→3

x≠3

Так

как

для

любого

ε > 0

x2 −9

−6

−6x +9

(x −3)2

x −3

< ε = δ(ε) ,

то

мы

указали

для

x −

x −3

−9

−6

< ε , т.е.

любого ε > 0 δ(ε) = ε > 0

, что как только 0 <

< δ , то

x −3

в самом деле, lim x2 −9 = 6 .

x→3 x −3

Упражнение:

Записать определение предела функции в бесконечности, т.е. при x → ±∞.

Свойства функций, имеющих предел, аналогичны свойствам последовательностей, имеющих предел. Напомним их:

1° Единственность предела.

2° Ограниченность функции в окрестности точки, если есть предел.

3° Сохранение знака	f (x) в окрестности точки x0 при Α > 0 или при Α < 0 .
4° Теорема о двух милиционерах.
5°
lim (f (x) ± g(x))= Α±Β, где Α = lim		f (x) , Β = lim g(x) ,
x→x0	x→x0	x→x0

lim (f (x) g(x))= Α Β,

x→x0

lim cf (x) = cΑ, c −counst ,

x→x0

lim	f (x)	=	Α	, Β ≠ 0 .
	g(x)		Β
x→x0

Доказательство этих свойств также аналогично доказательству для последовательностей в силу определения предела функции по Гейне.

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией при x → x0 ,					если
lim f (x) = 0 , т.е. для любого ε > 0 существует ϑ(ε, x0 ) > 0					x
x→x0
0 <	x − x0	< δ	f (x)	< ε .

Упражнение:
Дать определение бесконечно малой функции при x → ±∞.

Свойства бесконечно малой функции:

1° Сумма и произведение бесконечного числа бесконечно малой функции

при x → x0 есть бесконечно малая функция.

x → x0

2° Произведение бесконечно малой функции при

на ограниченную

функцию есть бесконечно малая функция при x → x0 .

Теорема:

f в точке x0 , необходимо

Для того, чтобы число Α было пределом функции

и достаточно, чтобы выполнялось

равенство

f (x) = Α +α(x) , где

α(x) -

бесконечно малая функция при x → x0 .

Доказательство:

Необходимость:

Пусть

Α = lim f (x) .

Тогда

обозначим

α(x) = f (x) − Α, получим

x→x0

lim α(x) = 0 .

x→x0

Достаточность:

lim α(x) = 0,

Если

f (x) = α(x) + Α

то

очевидно,

что

x→x0

lim f (x) = lim (α(x) + Α)= 0 + Α = Α.

x→x0

Теорема доказана.

Если

f (x) → +∞

при

x → x0 ,

то f (x) называется бесконечно большой

т.е. lim

f (x) = +∞(−∞) Μ > 0 δ(Μ) > 0 ,

функцией,

что как

только

x→x0

0 <

x − x0

< δ f (x) > Μ (f (x) < −Μ).

x → x0 ±0:

Односторонние пределы функции.

Назовём левой полуокрестностью точки x0

произвольный интервал (a, x0 ) ,

a < x0 , а правой - (x0 ,b) , x0 < b .

в точке x0 справа (слева), если

Число Α называется пределом функции

функция

определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки x0

если для

любой последовательности

{x },

lim x

= x ,

> x

, ( x

< x

)

n→∞

соответствующая последовательность {f (xn )}

значений функции f

сходится к

Α.

Символически:

Α = lim

f (x) = lim

f (xn ) = lim

f (x) ;

x→x0

x→x0 +0

x>x0

Α = f (x0 −0) = lim

f (x) = lim f (xn ) =

lim f (x) .

x→x0

x→x0 −0

x<x0

Пределы справа и слева называются односторонними пределами функции в точке. Предел f (x) в точке x0 существует, если существуют и равны односторонние пределы.

Определим, к примеру, бесконечно большую функцию при

lim f (x) = −∞ Μ > 0 δ(Μ) > 0 , x , x0 < x < x0 +δ f (x) < −Μ .

x→x0 +0

Свойства бесконечно больших функций.

1° Произведение двух бесконечно больших функций есть бесконечно большая функция.

2° Если f (x) - бесконечно большая функция при x → x0 , то	1	-
	f (x)

бесконечно малая функция при x → x0 , а если g(x) - бесконечно малая функция при x → x0 и g(x) ≠ 0, то g(1x) есть бесконечно большая функция.

На основании этого свойства чисто символически пишут, что если a > 0 , то:

= +∞,

= −∞

= +0 ,

= −0 ,

= 0 ,

a = ∞.

+ ∞

−∞

+ 0

−0

∞

Если α(x) и β(x)

- бесконечно малые функции при x → x0 , то выражение

α(x)

при x → x0 называется неопределённостью типа

β(x)

f (x)

Если

f (x) и g(x) - бесконечно большие функции при x → x0 , то

дают

g(x)

∞

неопределённость типа

, а

f (x) − g(x) - неопределённость типа ∞ −∞.

∞

Аналогично определяются 0 ∞, 1∞ , ∞0 , 00 . Раскрыть неопределённость

значит найти предел соответствующего выражения, если он существует.

Пример:

3x2

−4x +1

∞

3 −

3 −0 +0

Вычислить lim

= lim

4 +

x→∞ 4x2 + 2

∞

x→∞

2x2

Вычислить lim

−3x +1

= lim

(2x −1)(x −1)

= lim

2x −1

3x2 − 2x −1

(x −1)(3x +1)

3x +1

x→1

При	раскрытии		неопределённости типа	0	важную роль играет понятие
При	раскрытии		неопределённости типа		важную роль играет понятие
			0
эквивалентности бесконечно малых функций.						и β(x) при x → x0 .
Пусть имеются бесконечно малые функции α(x)						и β(x) при x → x0 .
Если	lim	α(x)	= 0 , то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка
	x→x0	β(x)
малости, чем β(x) и записывают α(x) = o(β(x)).
Если	lim	α(x)	= c , c = const, то α(x) и β(x)			бесконечно малыми одного
	x→x0	β(x)
порядка малости и пишут α(x) = O(β(x)).
Если	lim	α(x)	= ∞, то β(x) = o(α(x)).
	x→x0	β(x)
Если	lim	α(x)	не существует, то говорят, что α(x) и β(x) несравнимы.
	x→x0	β(x)

Бесконечно малые функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при

x → x0	, если lim	α(x)	=1.
	x→x0	β(x)

Справедлива следующая теорема: Если α(x) ~ β(x) при x → x0 , то:

lim α(x) h(x) =			lim β(x) h(x) ,
x→x0			x→x0
lim	α(x)	= lim	β(x) .
x→x0	h(x)	x→x0	h(x)

Эти равенства понимаются в том смысле, что если существуют пределы правых частей, то существуют и равные пределы левых частей.

Доказательство:

Так как lim α(x) =1, то:

x→x0 β(x)

lim α(x) h(x) =	lim	α(x)			=	lim	α(x)	lim	β(x) h(x) =
			β(x)	β(x) h(x)			β(x)
x→x0	x→x0					x→x0		x→x0	.

= lim β(x) h(x)

x→x0

Вторая формула - аналогично. Теорема доказана.

Практический смысл этой теоремы в том, что при вычислении пределов можно заменять эквивалентные бесконечно малые функции друг на друга.

	Непрерывность. Свойства непрерывных функций.
Функция	f	: Χ → Υ называется			непрерывной		в точке	x0 Χ,	если	она
определена в точке x0			и в некоторой её окрестности, при чём					lim f (x) = f (x0 ) ,
т.е. предел функции в точке равен её значению в этой точке.								x→x0

Упражнение: сформулировать на языке ε −δ .
Функция	y = f (x)		называется непрерывной				в точке	x0 справа, если
существует	f (x0 +0) =			lim f (x) = f (x0 )		и	слева,	если существует
				x→x0 +0
f (x0 −0) =	lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0 −0					f (x)	непрерывна		в точке	x0 ,	то
Очевидно,		что если		функция

f (x0 +0) = f (x0 −0) = f (x0 ).

Понятие непрерывность можно ввести и по-другому.

Приращением ∆x аргумента x в точке x0 называется разность ∆x = x − x0 . Приращением ∆y функции y = f (x) в точке x0 называется разность

∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (x) − f (x0 ), ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 +∆x) − f (x0 ) =.

Теорема:
Для непрерывности функции y = f (x) ,			определённой в точке x0 , необходимо
и достаточно, чтобы		lim ∆y = 0 , т.е. бесконечно малое приращению аргумента
		∆x→0
соответствовало бесконечно малое приращение функции.
Доказательство:
Необходимость.			x0 ,
Пусть	f (x) непрерывна в точке		x0 ,	т.е. lim	f (x) = f (x0 ) . Тогда
				∆x→0
lim ∆y =	lim (f (x0	+ ∆x) − f (x0 ))= lim (f (x0		+ ∆x))− lim f (x0 ) =
∆x→0	∆x→0	∆x→0		∆x→0		Достаточ
= lim f (x0 ) − lim f (x0 ) = f (x0 ) − f (x0 ) = 0						Достаточ
= lim f (x0 ) − lim f (x0 ) = f (x0 ) − f (x0 ) = 0
∆x→0	∆x→0
ность.		lim ∆y = 0 .				Тогда
Пусть		lim ∆y = 0 .				Тогда
		∆x→0
0 = lim ∆y = lim (f (x0 + ∆x) − f (x0 ))= lim f (x) − lim					f (x0 ) = 0
∆x→0	∆x→0	x→x0		x→x0		.

lim f (x) = f (x0 )

x→x0

Теорема доказана.

1° Функция, непрерывная в точке, ограничена в некоторой окрестности этой


точки.	f (x) непрерывна в точке			x0 и f (x0 ) > 0 (f (x0 ) < 0), то
2° Если функция
существует некоторая окрестность точки x0 , что				f (x) > 0 (f (x) < 0).
3° Если функции	f (x) и	g(x)	непрерывны в точке x0 , то и функции
f (x) ± g(x) , f (x) g(x) , f (x)		g(x)	(g(x) ≠ 0) непрерывны в точке x0 .

Доказательство этих свойств основано на доказательстве аналогичных теорем о пределах последовательности и функции, достаточно заменить слова «имеет предел» на «непрерывна» и Α на f (x0 ) .

4° Непрерывность сложной функции.

Пусть функция y = g(x) непрерывна в точке x0 , а функция z = f ( y) непрерывна в точке y0 = g(x0 ) . Тогда сложная функция z = f (g(x)) непрерывна

в точке x0 . Доказательство:

При ∆x → 0 ∆y → 0 . При ∆y → 0 ∆z → 0 в силу непрерывности функций y = g(x) и z = f ( y) . Следовательно, при ∆x → 0 ∆z → 0 , т.е. функция z = f (g(x)) непрерывна в точке x0 (бесконечно малому приращению ∆x соответствует бесконечно малое приращение ∆z . Свойство доказано.

Отсюда следствие:
lim	f (g(x))= f lim g(x) = f (g(x )), т.е. под знаком непрерывной
x→x0	x→x0	0

функции можно переходить к пределу.

Данное соотношение лежи в основе метода замены переменной для отыскания пределов непрерывных функций: если функция y = g(x)

непрерывна в точке x0 , а функция z = f ( y) непрерывна в точке y0 = g(x0 ) , то
lim	f (g(x))= lim f ( y) , y = g(x) .
x→x0	y→y0

Точки разрыва. Классификация точек разрыва.

Понятно, что если пределы слева и справа не равны, либо не равны значению функции в этой точке, либо просто не существуют, то функция не является непрерывной, т.е. говорят, что она терпит разрыв.

Точка x0	называется точкой разрыва I рода функции	f (x) ,	если в ней
существуют конечные пределы справа f (x0 +0) и слева		f (x0 −0) , при этом
разность δx0	= f (x0 +0) − f (x0 −0) называется скачком функции f		в точке x0 .
Точка x0	называется точкой устранимого разрыва функции		f (x) , если

f (x0 +0) = f (x0 −0) ≠ f (x0 ) . Для устранения разрыва достаточно положить f (x0 ) = f (x0 ±0) , т.е.изменить значение функции в одной точке x0 (говорят, доопределить функцию до непрерывности).

Если f (x0 +0) ≠ f (x0 −0) и конечны, то точка x0 называется точкой

неустранимого разрыва рода.

Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует, то в точке x0 имеет место разрыв II рода.

Примеры: 1.

Из курса математики средней школы известно, что все элементарные функции непрерывны в области своего определения. Более подробно, с доказательством см. [5], ч.I, стр. 165-166.

Функция	y = f (x)		называется непрерывной на множестве Χ, если она
непрерывна в каждой точке этого множества.
Теорема:					Χ = [a,b] и на этом множестве
Пусть функция f (x)			задана на множестве
						f
монотонно возрастает (убывает). Тогда для любого x [a,b]→ y [Α,Β],
где Α = f (a) ,		Β = f (b)	и для x1 < x2 f (x1) < f (x2 ) (f (x1) > f (x2 )). Тогда
если y = f (x)		непрерывна		на [a,b], то	существует	обратная функция
x = f −1( y)	на	[Α, Β]	также	монотонна возрастающая		(убывающая). (Без

доказательства).

Существует ещё ряд свойств, которыми обладают непрерывные на отрезке функции. Мы их рассматривать не будем, а интересующиеся могут посмотреть

[5], стр. 173-177.

Замечательные пределы.

1° lim sin x =1

x→0 x


	Имеем по определению тригонометрических функций 0 < sin x < x < tgx для
достаточно				малых	x .	Делим	на	sin x > 0 ,	получаем
1 <	x	<	1	cos x < sin x		<1.
1 <	sin x	<	cos x	cos x < sin x		<1.
	sin x		cos x		x
Так как cos x - непрерывная функция, то lim cos x =1. Поэтому, переходя к
							x→0

пределу в неравенстве, по теореме о двух милиционерах, получим lim sin x		=1 -
x→0	x
первый замечательный предел.

		1 x		1
2° lim 1	+		= lim(1+ x)x		= e = 2,718281828... - второй	замечательный
x→∞		x	x→0
предел.
Логарифм		действительного			числа x > 0 по основанию	e называется

натуральным и обозначается ln x . Без доказательства. ◊◊

Спомощью второго замечательного предела раскрываются

неопределённости типа 1∞ .

Приведём таблицу эквивалентности бесконечно малых функций.

x → 0

α(x)

sin x

tgx

arcsin x

arctgx

1−cos x

β(x)

x → 0

ex −1

a x −1

ln(1+ x)

loga (1+ x)

x ln a

x loga e

x → 0

(1+ x)α −1

tgx −sin x

αx

Примеры:

Найти

23x −32 x

(23x

−1) − (32 x −1)

3xln 2 − 2xln 3

lim

= lim

+ arcsin x

x + x

x→0 x

x→0

= lim

= ln

1 + x2

x→0

πx

π( y +1)

cos

= x −1

cos

lim

= y +1

= lim

y→0 1− y +1

x→1 1− x 0 x

−sin

πy (1+

y +1)

−

πy

(1+

y +1)

= lim

y +

= lim

y→0

− y +1)(1+

y→0

1− y −1

= lim

π(1+

y +1)=π

y→0

x − 2

y = x −32

y +

− 2

25 1 +

− 2

lim

= lim

tgπx

x = y +

32)

= lim

tgπy

x→32

→0 tgπ( y +

y →0

1 y

−1

5 32 2

1 2

= 2 lim

= lim

tgπy

160π

80π

→0

πy

2x −1

ln(3+2 x)

]

y = x

−1

2 y +1

ln(5+2 y)

ln(2−x)

∞

= lim

ln(1− y)

lim

x = y

y +1

x→1 x

y →0

y +1

ln(5+2 y)

− y

ln(5+2 y)

y +1

ln(1− y)

−lim

lim

ln(1− y)

y +1

= e−ln 5

= e

y→0

= lim 1 +

y +1

y →0

+ 4

4 2

0+2

lim

x→0 x

+ 3n −1 + 3 2n2 +1

∞

1 +

−

+ 3

lim

= lim

n + 2 sin n

n→∞

∞

n→∞

1 +

2 sin n

1 + 0 − 0 + 3 0 + 0

1 + 0

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4614 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб59Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб74Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб116Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб22Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб33Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб25Шилкин Тесты.PDF

ЛЕКЦИЯ 14