ЛЕКЦИЯ 13

Математический анализ. Дифференциальное исчисление ФДП.

Создателями дифференциальных исчислений и интегральных исчислений являются Ньютон и Лейбниц. Первая работа по дифференциальным исчислениям была опубликована Лейбницем в 1684 году. Она называлась «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества и особый для этого род исчисления». Это была работа, состоящая всего из шести страниц и излагавшая существо метода исчисления бесконечно малых последовательностей, в частности, правила дифференцирования.

Первая работа по интегральным исчислениям, опубликованная в 1686 году Лейбницем, называлась «О глубокой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных».

Ньютоном была решена задача о нахождении мгновенной скорости прямолинейного и неравномерного движения. На могиле Ньютона в Вестминстерском аббатстве высечены слова: «Пусть смертные радуются тому, что в их среде жило такое украшение рода человеческого».

Создание дифференциальных и интегральных исчислений позволило решить задачи о касательной, площади, объёме, массе и другие важные задачи.

Самостоятельно изучить по [5] ч.I стр.138-141 или по [11] стр.112-117 (о функции).

Числовая последовательность и её предел.

Перейдём к изучению числовой последовательности и её предела. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие дей-

ствительное число xn , то говорят, что задана последовательность x1, x2 ,..., xn ..., которая обозначается {xn }.

Можно считать, что {xn }= f (n) , т.е. последовательность есть функция

натурального аргумента. Пример:

m ≤ xn ≤ M для любого n N . В противном случае – неограниченной, т.е. для

любого M > 0 существует N такое, что для любого n > N , xn > M . Последовательность {xn } называется ограниченной сверху, если суще-

ствует M такое, что для любого n N xn < M и ограниченной снизу, если существует m, что xn > m .

Последовательность называется возрастающей, если xn ≤ xn+1 и монотонно возрастающей, если xn < xn+1 . Аналогично определяется убывающая и

монотонно убывающая последовательности. Пусть {xn }- числовая последовательность.

Число a называется пределом числовой последовательности {xn }

(обозначается a = lim xn ), если для всякого положительного сколь угодно ма-

n→∞

лого числа ε существует целое положительное число N = N(ε) такое, что для всех n < N(ε) выполняется неравенство xn − a < ε .

Другими словами, все члены последовательности, начиная с некоторого номера, содержатся в ε -окрестности точки a . Геометрически:

Вычислять предел можно либо по определению, либо по специальным правилам.

Пример:

1) {xn }= {(−1)n / n}

3) {xn }= {−cosπn}= {(−1)n }- нет предела

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися, в противном случае – расходящимися.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Связь между ними.

Переменная xn называется бесконечно малой, если lim xn = 0 , т.е. если

n→∞

для любого ε > 0 существует N = N(ε) , что как только n > N (ε) xn < ε . На-

Переменная yn называется бесконечно большой, если для любого E > 0 существует N = N(E) , то для любого n > N (E) yn > E .

Например, {yn }= {n2 }- бесконечно большая, т.к. n2 > E n > E N(E) =[ E ] +1.

Теорема:

Если переменная xn ≠ 0 есть бесконечно малая, то обратная величина

yn = 1 будет бесконечно большая. Верно и наоборот. xn

Доказательство:

Пусть xn - бесконечно малая последовательность. Следовательно, для

что lim 1 = 0 . Теорема доказана.

n→∞ yn

Бесконечно большая последовательность не имеет предела в смысле

определения, т.к. a - конечное число. Условно говорят, что lim xn = ∞ ( +∞ ,

n→∞

если с некоторого номера xn > 0 и −∞ , если с некоторого номера xn < 0 ). Таким образом, можно видеть, что число a является пределом последователь-

доказано.

Для большего числа слагаемых аналогично доказываем, потому что

αn + βn +γn ≤ αn + βn +γn < ε и т.д.

Для разности αn − βn тоже верно, ибо αn − βn =αn + (−βn ) .

бесконечно малое.

2° Произведение двух бесконечно малых есть также величина бесконечно малая.

Доказательство аналогично 1° (пусть ε = ε1 ε2 и т.д.).

Свойства сходящихся последовательностей.

Теорема:

Если последовательность имеет предел a > 0(a < 0) , то начиная с некоторого номера и сама переменная xn > 0(xn < 0) .

Доказательство:

Верно и наоборот.

Теорема:

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена. Доказательство:

Так как a = lim xn , то для любого ε > 0 существует N(ε) , что

n→∞

n > N (ε) xn − a < ε , то есть a −ε < xn < a + ε , вне этого интервала находится x1, x2 ,..., xN 2M новой последовательности. Выберем M = max(x1,...xN ) и

m= min(x1,..., xN ) . Тогда m ≤ xn ≤ M . Теорема доказана.

Анаоборот верно?

Теорема:

Если последовательность имеет предел, то он единственный. Доказательство:

lim yn = a , т.е. при переходе к пределу в неравенствах знак неравенства со-

n→∞

храняется.

бесконечно малая

Тогда lim (xn ± yn )= a ± b .

n→∞

2° (xn yn )= (a +αn ) (b + βn ) = ab +αnb + βna +αn βn lim (xn yn )= ab .

14444244443 n→∞

бесконечно малые

3° Следует из 2°.

4° Без доказательства.

Вычисление пределов последовательностей.

Пример 1:

Нахождение соответствующих пределов называется раскрытием пре-

дела.