ЛЕКЦИЯ 12

Комплексные числа. Полярная система координат. Многочлены.

Рассказать историю возникновения действительных чисел как потребность решения различных уравнений. Остановиться на квадратных уравнениях. Про-

стейшее уравнение x2 +1 = 0 не имеет решений, поэтому возникла необходимость расширения множества действительных чисел, чтобы это и подобные ему уравнения имели решения.

Рассмотрим множество пар чисел (a,b) , где a R , b R . Введём операции над этими парами следующим образом:

1°. Две пары (a,b) и (c, d) будем считать равными, если a = с, b = d - аксиома равенства.

2°. Операция сложения:

(a,b) + (c, d) = (a +c,b + d).

3°. Операция умножения:

(a,b)(c, d) = (ac −bd, ad +bc).

Для введённых таким образом операций выполняются все аксиомы обычной арифметики:

1.Коммутативность

(a,b) + (c, d) = (c, d) + (a,b).

Доказательство: (a,b) + (c, d ) 2=°(a + c,b + d ) = (c + a, d +b) 2=°(c, d) + (a,b).

2.Ассоциативность

((a,b) + (c, d)) + (e, f ) = (a,b) + ((c, d) + (e, f )).

Доказывается аналогично.

3.(a,b) + (0,0) = (a + 0,b + 0) = (a,b) , т.е. пара (0,0) играет роль нулевого

элемента.

4. (a,b) + (−a,−b) = (a + (−a),b + (−b)) = (0,0) , т.е. для любой пары (a,b) су-

ществует противоположный элемент – пара (−a,−b). Теперь можно ввести операцию вычитания

так: (a,b) −(c,d) = (a,b) + (−c,−d) = (a −с,b −d).

5.Коммутативность умножения

(a,b)(c, d) = (c, d)(a,b).

Доказательство: (a, b)(c, d ) 3=°(ac −bd, ad + bc) = (ca − db, da + cb) 3=°(c, d)(a, b).

6.Ассоциативность умножения (самостоятельно).

7.(a,b)(1,0) = (a 1−b 0, a 0 +b 1) = (a,b) , т.е. пара (1,0) играет роль едини-

цы.

8.Можно ввести операцию деления для пар (a,b) ≠ (0,0) . Таким образом,

1

цию деления вводим таким образом:

Итак, все арифметические законы действительных чисел выполняются и для пар чисел с операциями сложения 2° и умножения 3°. Эти пары и называются комплексными числами.

Вернёмся теперь к уравнению x2 +1 = 0 или x2 = −1. Рассмотрим комплексное число (0,1) и найдём его квадрат:

(0,1)(0,1) = (0 0 −1 1,0 1+1 0) = (−1,0) = −1.

Таким образом, пару (0,1) обозначают буквой i и называют комплексной

единицей. Таким образом, i2 = −1.

Любую пару (a,b) можно представить в виде:

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0)(1,0) + (b,0)(0,1) = a +bi - алгебраическая форма ком-

плексного числа. Здесь a - действительная часть, b - комплексная часть, i - комплексная единица. Умножение в алгебраической форме выполняется по правилу

умножения двучленов с учётом того, что i2 = −1:

(a +bi)(c + di) = ac + adi +bci +bdi2 = (ac −bd) + (ad +bc)i .

Сложения, вычитание:

(a +bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i .

Деление:

Если на плоскости ввести прямоугольную декартову систему координат, то пары чисел соответствуют точкам плоскости или радиус-векторам этих точек. Пара (1,0) - это обычная единица на оси OX , называемой действительной осью; пара (0,1) - это обычная единица на оси OY , называемой комплексной осью. Тогда операция сложения есть обычное сложение векторов, а вычитание – обычное вычитание:

2

том комплексного числа.

По этой формуле −π <ϕ ≤π . В частных случаях при y = 0 ϕ = 0 , если x > 0

В 1748г. Л.Эйлер вывел формулу:

eiϕ = cosϕ + i sin ϕ , откуда z = reiϕ есть показательная форма комплексного

числа.

Положив ϕ = π , получим: eiπ = cos π + i sin π . eiπ = −1 + 0 i .

Американский математик Т.Данциг: «Она содержит самые важные символы: таинственное единение, в котором арифметика представлена посредством 0 и

1 , алгебра – посредством −1 , геометрия – посредством π , а анализ – посредством e».

Выясним геометрический смысл операций умножения и деления комплексных чисел:

z1 z2 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) r2 (cosϕ2 + i sinϕ2 ) = r1r2 ((cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2 ) +

+ i(cosϕ1 sinϕ2 + cosϕ2 sinϕ1)) = r1r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 ) + i sin(ϕ1 +ϕ2 )

Таким образом, при умножении модули перемножаются, углы складыва-

ются.

Умножение любого числа на i озна-

4

Деление. Рассмотрим

Упражнения: Доказать, что

z1 = r1 (cos(ϕ1 −ϕ2 ) + i sin(ϕ1 −ϕ2 )). z2 r2

Формула Муавра. Извлечение корня n- ной степени из комплексного числа.

Применяя формулу умножения комплексного числа последовательно n раз, получим (формула Муавра):

Если r =1, то (cosϕ + i sin ϕ)n = cosϕ + i sin ϕ .

При n = 3 получим:

(cosϕ + i sinϕ)3 = cos3 ϕ + 3i cos2 ϕsinϕ − 3cos4 ϕsin2 ϕ − i sin3 ϕ = cos 3ϕ + i sin 3ϕ .

По условию равенства комплексных чисел имеем:

cos 3ϕ = cos3 ϕ − 3cosϕsin2 ϕ = cos3 ϕ − 3cosϕ(1 − cos2 ϕ) = 4 cos3 ϕ − 3cosϕ sin 3ϕ = 3cos2 ϕsinϕ − sin3 ϕ = 3(1 − sin2 ϕ)sinϕ − sin3 ϕ = 3sinϕ − 4sin3 ϕ

Аналогично можно получить и формулы для sin 4ϕ , cos 4ϕ и т.д. Упражнения: Получить формулы для sin 4ϕ , cos 4ϕ .

Пусть n - натуральное число. Корнем n-ной степени из комплексного числа w = z(cosθ + i sinθ) называется такое комплексное число z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) ,

Два комплексных числа α ≠ 0 и β ≠ 0 в тригонометрической форме записи могут быть равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2π , то есть:

ρn = r , nϕ = θ + 2kπ , k Z .

Тогда ρ = n r , ϕ = θ + 2kπ . n

Окончательно имеем:

5

который вписан в окружность радиуса n r . Замечание 1: Аналога комплексных чисел в трёхмерном пространстве нет, хотя Гаусс, Мёбиус и другие математики потратили

много усилий на отыскание подобных аналогов. Лишь позднее Гамильтон показал, что можно построить гиперкомплексные числа в R4 вида (1,i, j, k) - так назы-

ваемые кватертионы и т.д. – системы чисел по степеням 2. Замечание 2: Комплексные числа по вели-

чине не сравниваются.

Пусть есть комплексное число z = a +bi Число zr = a −bi называется сопряжённым

числу z . Свойства:

zr = z , arg(z) = −arg z

(zr) = z, z = zr

6

Верно следующее:

Теорема: Если в комплексном числе β , составленном с помощью четырёх арифметических действий из комплексных чисел β1, β2 ,..., βn , все эти числа заменить на сопряжённые, то и само число β заменится на сопряжённое.

(Без доказательства).

Заметим, что только действительные числа сопряжены между собой.

бы один корень, в общем случае комплексный.

На основании свойств сопряжённых чисел нетрудно увидеть, что если комплексное (но не действительное) число α является корнем многочлена с действи-

тельными коэффициентами, то и α является корнем для f (x) .

Известно, что для любых двух многочленов f (x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x) , что f (x) = g(x) q(x) + r(x) , причём степень r(x) и q(x) определяются однозначно.

равен значению f (c) многочлена f (x) при x = c .

Доказательство: Пусть f (x) = (x − c) q(x) + r , r - многочлен нулевой степени, от x не зависит. Тогда при x = c имеем:

f (c) = (c − c) q(c) + r f (c) = r . Теорема доказана. Следствие: (иногда его называют теоремой Безу)

7

Число c тогда и только тогда будет корнем многочлена f (x) , если f (x) делится на (x − c) .

Вернёмся теперь к многочлену

f (x) = a0 xn + a1xn−1 +... + an−1x + an , a0 ≠ 0 .

По основной теореме Алгебры для него существует корень α1 , вообще гово-

ря, комплексный. Тогда по следствию из теоремы Безу для него справедливо разложение:

f (x) = (x −α1 ) ϕ(x) .

В свою очередь, многочлен ϕ(x) снова обладает корнем α2 , то есть:

u(x) = (x −α2 ) ψ (x) и так далее. В конце концов, получим:

f (x) = a0 (x −α1 )(x −α2 )...(x −αn ) , где, возможно, не все α1,α2 ,...,αn различ-

ные.

Теорема:

9 Данное разложение является единственным с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство:

Предположим противное, т.е. пусть имеется ещё одно разложение

f (x) = a0 (x − β1)(x − β2 )...(x − βn ) , так как это один и тот же многочлен, име-

ем:

(x −α1 )(x −α2 )...(x −αn ) = (x − β1)(x − β2 )...(x − βn ) .

Поставим вместо x αi . Если αi ≠ βi , то слева имеем 0 , а справа – число, т.е. противоречие.

Возможно, правда, что среди αi , i =1,n могут быть и равные. Например,

нет, а справа он есть, а выше было показано, что это противоречие. Значит, S = t . Теорема доказана.

Если в разложении многочлена на множители объединить вместе одинаковые сомножители, получим:

f (x) = a0 (x −α1 )k1 (x −α2 )k2 ... (x −αS )kS , где k1 + k2 +... + kS = n .

Сейчас уже среди α1 нет равных.

Если все коэффициенты многочлена действительные числа, а x = α1 - комплексный корень, то и x = α1 тоже корень. Тогда, по следствию из теоремы Безу,

8

f (x) делится на (x =α1 )(x =α1 ) = x2 − (α1 +α1 ) x +α1α1 = x2 + px + q , где p = −α1 −α1

действительное и q =α1α1 действительное. То есть x2 + px + q - квадратный трёхчлен, у которого дискриминант отрицателен. Окончательно получим, что для мно-

2) Pn (x) = 4x4 +8x3 −3x2 −7x +3

Делим на (2x −1)(2x +3) = 4x2 + 4x −3 . Получим x2 + x −1, и так далее.

9