ЛЕКЦИЯ 10

Действия над линейными операторами

Во множестве линейных операторов действующих из V в W определим

Очевидно, сумма операторов и произведение на число также являются линейными операторами. Так,

A и B , действующие из V в W в заданных базисах имеют матрицы A и B одинаковых размеров. Учитывая, что y = Ax , получаем матричные равенства

( A + B)(x) = Ax + Bx, (αA)(x) = α( Ax) для суммы операторов и

произведения оператора на число, т.е. матрицей суммы операторов является сумма матриц этих операторов и матрицей произведения оператора на число является произведение матрицы оператора на это число.

Пусть U ,V ,W - три линейных пространства размерностей соответственно. Произведением или композицией двух линейных операторов

Докажем линейность оператора C = AB :

C(αx + βy) = ( AB)(αx + βy) = A[B(αx + βy)] = A(αBx + βBy) =

=αA(B(x) + βA(By) = α( AB)x + β( AB) y = αCx + βCy

Нетрудно показать, что матрица произведения линейных операторов равна произведению матриц этих операторов. Как и для матриц, вообще говоря

AB ≠ BA.

Пример 1) Пусть A - поворот вектора плоскости R2 на угол ϕ вокруг

начал координат против часовой стрелки. Это преобразование линейно, т.к. неважно сложим ли мы векторы и повернем результат на угол ϕ либо

повернем каждый вектор на угол ϕ , а потом их сложим. Результат будет тот

же. Аналогично и дл произведения оператора на число. Найдем матрицу этого оператора.

Получим однородную систему из уравнений с n неизвестными x1, x2 ,K, xn -

координатами собственного вектора, соответствующую числу λ . Нас интересует только нетривиальное решение системы, т.к. x ≠ 0 . Это возможно только тогда когда r( A −λE) < n , что равносильно равенству нулю

определителя матрицы этой системы, т.е.

характеристическим уравнением матрицы A . Оно выражает условие, которому должны удовлетворять все собственные значения матрицы A. Левая часть характеристического уравнения представляет собой многочлен степени n , называемый характеристическим многочленом матрицы A.

Всякому корню λ0 отвечает собственный вектор, координаты которого определяются из системы после подстановки в нее вместо λ величины λ0 .

Таким образом, алгоритм нахождения свободных векторов и свободных значений следующий:

корни λ1,λ2 ,K,λn R ;

3.Для каждого λi составляем и решаем однородную систему, находя нетривиальные решения x1(i) , x2(i) ,Kxn(i) , являющиеся координатами

свободного вектора x(i) , соответствующего собственному значению

λi .

Пример 3) Найдем свободные векторы оператора проектирования векторов R3 на плоскость XOY. Т.к. матрица имеет вид (см. предыдущую лекцию)

Вернемся теперь к поставленному ранее вопросу: как привести матрицу линейного оператора A к наиболее простому виду?

Ответ дает следующая теорема.

Теорема. Пусть A : Rn → Rn . Для того, чтобы матрица A в некотором базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов матрицы A .