ЛЕКЦИЯ 1
Матрицы и действия над ними. Определители.
Американский ученый Р. Беллман назвал теорию матриц арифметикой высшей математики. Во-первых, это удобные и гибкие обозначения; во-вторых, матрицы имеют приложения во всех разделах высшей математики, математической физики и математической экономике.
Литература по теории матричного исчисления:
1.Гонтмахер Ф.Р. “Теория матриц”, М. Наука, 1988
2.Р. Хори, Ч. Джонсон “Матричный анализ”, М. Мир, 1989
Матрицей |
размера |
|
m×n |
|
называется совокупность mn чисел, |
|||||||||||||||
расположенных в виде прямоугольной таблицы из m и n столбцов. |
||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
a |
L a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = |
|
a21 |
a22 |
L a2n |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
L |
L L L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
am2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
L amn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Числа, |
составляющие |
матрицу, называются элементами матрицы. Если |
||||||||||||||||||
m ≠ n , |
|
|
то |
матрица называется |
прямоугольной, если m = n - квадратичной |
|||||||||||||||
порядка n . Матрицу A , состоящую из m строк и |
n столбцов, будем называть |
|||||||||||||||||||
m×n |
матрицей |
и обозначать |
Am×n или |
A = [aij ], i =1,2,K, m; j =1,2,K, n . |
||||||||||||||||
Здесь индекс i указывает номер строки, |
j - |
номер столбца, на пересечении |
||||||||||||||||||
которых стоит данный элемент. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Существуют другие обозначения для матриц: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
a11 |
|
a12 |
L a1n |
|
a |
|
L a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A = |
|
|
a21 |
|
a22 |
L a2n |
|
11 |
1n |
|
aij |
|
i =1, m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, L L L , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
L |
|
L L L |
|
j =1, n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
am1 |
am2 |
L amn |
am1 |
L amn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В случае квадратной матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a |
|
a |
L a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = |
|
a21 |
a22 |
L a2n |
элементы |
a |
, a |
|
|
,K, a |
образуют главную |
|||||||||
|
|
L |
L L L |
|
|
|
11 |
|
|
22 |
|
nn |
|
|||||||
|
|
|
|
an2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
an1 |
L ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
диагональ, а элементы an1, a22 ,K, a1n - побочную диагональ. Квадратичная матрица вида
λ1 |
0 |
L 0 |
|
|
|
0 |
λ |
L 0 |
|
|
|
Λ = |
2 |
|
называется |
диагональной |
и обозначается |
L L L L |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
L λn |
|
|
|
|
Λ = diag(λ1,K,λn ), если |
в ней λ1 = λ2 |
=K= λn = λ |
матрица называется |
||
скалярной. При λ =1 скалярная матрица называется единичной и обозначается
|
1 |
0 |
L 0 |
|
|
0 |
1 |
L 0 |
|
E = |
. |
|||
L L |
L L |
|||
|
0 |
0 |
L 1 |
|
|
|
|||
Если внести символ Кронекера |
δij |
= |
0,i ≠ |
j |
, |
|
то диагональную матрицу |
||||||||||||||||
|
|
j |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,i = |
|
|
}, а E = [δ |
|
] |
|
|
||
можно записать в виде |
|
|
|
d |
δ |
ij |
|
|
|
n |
или {d |
d |
2 |
L d |
n |
ij |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нулевая матрица Om×n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L L L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Понятие равенства определяется только для |
матриц одинакового размера. |
||||||
Две m×n матрицы |
A = [aij ] |
и B = [bij ] |
называются равными, если |
||||
aij = bij , i = |
|
, j = |
|
. |
В этом |
случае имеет |
место матричное равенство |
1, m |
1, n |
||||||
A = B . |
|
|
|
||||
a1
Матрица размера m×1 вида La2 , состоящая из одного столбца называется
am
вектором-столбцом, а числа a1, a2 ,K, am - его координатами. Матрица размера
1×n |
состоит из одной строки и представляет собой вектор-строку |
A = |
[a1 a2 L an ]. |
|
Линейные операции над матрицами |
Суммой двух матриц одинакового размера Am×n и Bm×n называется матрица Cm×n = A + B , элементы которой равны сумме соответствующих элементов.
cij = aij +bij , i = |
1, m |
, j = |
1, n |
(2) |
Итак, по определению
a11 |
a12 |
L a1n |
b11 |
b12 |
|||
a |
21 |
a |
22 |
L a |
|
b |
b |
|
|
|
2n |
+ 21 |
22 |
||
L |
L |
L L |
L |
L |
|||
|
|
am2 |
|
|
|
bm2 |
|
am1 |
L amn |
bm1 |
|||||
L b1n |
(a11 +b11) |
||||
L |
b |
||||
|
2n |
= |
L |
|
|
L L |
|
|
+b |
) |
|
L |
b |
(a |
|
||
|
m1 |
m1 |
|
||
|
mn |
|
|
|
|
L(a1n +b1n )
LL
L(amn +bmn )
Из (2) следует, операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что
иоперация сложения действительных чисел, а именно:
1.A+B=B+A (коммутативность или переместительное свойство)
2.(A+B)+C=A+(B+C) (ассоциативность или сочетательное свойство)
|
0 |
L 0 |
|
|
|
|
|
3. A+O=O+A=A, где Om×n = L |
L L |
||
|
0 |
L 0 |
|
|
|
||
4.Для любых двух матриц А и В всегда существует единичная матрица Х такая, что Х=В-А и называется разностью матриц В и А. Уравнение
А+Х=О имеет решение Х=О-А которое называется матрицей, противоположной А и обозначается –А. Очевидно − A = [− aij ].
Для дальнейшего нам понадобятся некоторые сокращенные обозначения. Найдем вначале сумму элементов в строках матрицы (1).
n
a11 + a12 +K+ a1n = ∑a1 j = σ1 j =1
n
a21 + a22 +K+ a2n = ∑a2 j = σ2 j =1
LLLLLLLLLLLL
n
am1 + am2 +K+ amn = ∑amj = σm j =1
Говорят, что j - индекс суммирования, а 1, 2,…, m – свободный индекс. Теперь просуммируем все найденные суммы:
m
S = σ1 +σ2 +K+σm = ∑σi
i =1
m |
n |
= ∑ |
(∑aij ) |
i=1 |
j =1 |
если же все вышеперечисленное проделать по столбцам, то получим, что
n |
m |
|
|
m |
n |
n |
m |
|
|
|
|
|
||||
S = ∑(∑a ) . Мы доказали свойство ∑(∑a ) = ∑ |
(∑a ) . |
|
|
|||||||||||||
|
ij |
|
|
|
ij |
j =1 i=1 |
ij |
|
|
|||||||
j =1 i =1 |
|
|
i =1 j =1 |
|
|
|
|
|
||||||||
Произведением матрицы (1) на |
число |
α R |
показывает |
матрица |
||||||||||||
C = αA = [α aij ]i = |
|
, |
j = |
|
, т.е. Cij |
= α aij , i = |
|
, |
j = |
|
|
(3) |
|
|||
1, m |
1, n |
1, m |
1, n |
|
||||||||||||
Умножение матриц |
A и B на действительные числа α |
и β |
обладают |
|||||||||||||
следующими очевидными свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
(αβ)A = α(βA) |
- ассоциативность |
или |
сочетательное |
свойство |
|||||||||||
относительно умножения
2. (α + β)A = αA + βA - дистрибутивность или распределительное свойство относительно суммы чисел
3.α( A + B) = αA +αB - дистрибутивность или распределительное свойство относительно суммы матриц
4.1 A = A, (−1) A = −A, 0 A = Om×n
Произведение матриц |
Am×n = |
aij |
на |
Bn×k справа (или матрицы Bn×k на |
||||||||||
матрицу |
Am×n |
слева) |
называется |
матрица |
Cm×k |
с |
элементами |
|||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cij = ai1b1 j + ai2b2 j +K+ ainbnj = ∑aisbsj , i |
=1, m, j =1, n |
(4) |
|
|
||||||||||
|
|
|
s =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
||
Из произведения видно, что для |
существования |
произведения |
||||||||||||
необходимо, чтобы число столбцов матрицы |
A равнялось |
числу |
строк |
|||||||||||
матрицы B . Такие матрицы называются согласованными. |
|
|
j -го |
|||||||||||
Формула (4) словесно формулируется так: элемент cij i -й строки и |
||||||||||||||
столбца |
матрицы |
C = AB равен |
сумме |
|
попарных |
произведений |
||||||||
соответствующих элементов i -й строки матрицы |
A и j -го столбца матрицы |
|||||||||||||
B .
Произведение матриц в общем случае не обладает свойством
коммутативности, |
т.е. AB ≠ BA. Это, |
видно хотя |
бы из |
того, из |
||
согласованности матрицы A и B не следует согласованность B и A. Если |
||||||
AB = BA, матрицы A и B называются коммутативными. |
|
|
||||
Из |
определения |
произведения |
следует, |
что |
||
Am×n En = Em Am×n = A, Os×n = Os×m Am×n , |
Am×n On×k = Om×k |
|
||||
Упражнение: Доказать это. |
|
|
|
|
||
Если матрица |
A согласована с |
B , а B с C , то под произведением ABC |
||||
понимается матрица, полученная последовательным умножением данных матриц, т.е. ABC = ( AB)C . Если A - квадратная матрица, то n -й степенью
матрицы A называется произведение A A K A, составленное из n сомножителей A и обозначаемое An = A A K A .
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. |
( AB)C = A(BC) - ассоциативность (сочетательное свойство) |
|
2. |
( A + B)C = AC + BC |
- дистрибутивность или распределительное |
|
||
|
A(B +C) = AB + AC |
|
свойство
3. AB ≠ BA - антикоммутативность
Свойства 1. и 2. доказывают по определению (4) и свойства изменения порядка суммирования относительно (4)
Матрица AT , получаемая из данной матрицы A путем замены строк на столбцы и наоборот, называется транспонированной.
Если обозначить элементы транспонированной матрицы AT через aijT , то по
определению AT = [aij ]T = [aijT ] = [a ji ] .
Очевидно, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.
|
x |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
= (x x |
|
L x ); |
(y |
y |
|
|
T |
= |
y2 |
|
. |
||
L |
|
|
L y ) |
L |
|||||||||||
1 |
2 |
m |
1 |
|
2 |
n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|||
Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:
1.( AT )T = A
2.(αA)T = αAT , α R
3.( A + B)T = AT + BT
4.( AB)T = BT AT
Упражнение: Доказать свойство 4.
Определители и их свойства
Понятие определителя матрицы вводится только для квадратных матриц.
a |
a |
L a |
|
11 |
12 |
1n |
|
Пусть дана квадратная матрица n -го порядка A = a21 |
a22 |
L a2n . |
|
L |
L L L |
||
|
an2 |
|
|
an1 |
L ann |
||
Обозначим ее определитель символами ∆ = det A = |
|
A |
|
= |
a11 L a1n |
(5) |
||
|
|
L L L |
||||||
Если n =1, то матрица A = a11 |
|
|
|
|
|
an1 L ann |
|
|
состоит из одного элемента, и определителем |
||||||||
первого порядка назовем само это число: ∆ = det A11 = a11 . |
|
|||||||
a |
a |
|
|
|||||
Если n = 2 , т.е. A = 11 |
12 |
, то определителем второго порядка назовем |
||||||
a21 |
a22 |
|
||||||
число ∆ = det A = a11a22 − a21a22 |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
Минором Mik элемента |
aik |
определителя (5) называется определитель |
||||||
(n −1) -го порядка, полученный из определителя (5) вычеркиванием i -й строки
и k -го столбца. |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
||||
Например, пусть A = 4 |
5 |
6 |
. Найдем M31 = |
2 |
3 |
|
||||
=12 −15 |
= −3 . |
|||||||||
|
|
7 8 |
9 |
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Алгебраическим дополнением |
Aik |
элемента aik определителя (5) называется |
||||||||
произведение |
минора Mik |
|
этого |
элемента на |
множитель |
(−1)i +k , т.е. |
||||
A = (−1)i +k M |
ik |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: из предыдущего примера
A31 = (−1)3+1 M31 =1 (−3) = −3, т.е. алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора знаком или совпадает с ним.
Определителем (детерминантом) n -го порядка (n ≥ 2) называется число
|
|
n |
|
|
|
∆ = det A = |
A |
= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +K+ ain Ain = ∑aik Aik , i {1, n} |
(7) |
||
|
|
k =1 |
элементам i -й |
||
Формула |
(7) называется разложением определителя по |
||||
строки (i =1, n) или это формула Лапласа.
Упражнение: |
Получить формулу (6) пользуясь (7). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пользуясь (7), найдем определитель третьего порядка. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a11 |
|
a12 |
a13 |
|
((7), i=1) |
a A |
+ a A + a A |
|
|
= a |
|
(−1)1+1 M |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∆ = |
a |
21 |
|
a |
22 |
a |
23 |
|
= |
|
|
|
11 |
+ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
11 |
12 |
12 |
13 |
13 |
11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ a |
|
1+2 |
M |
|
|
|
1+3 |
a M |
|
= a |
|
a22 |
a23 |
|
− a |
|
a21 |
a23 |
|
+ a |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(−1) |
|
|
|
12 |
+ (−1) |
13 |
|
a |
a |
|
|
a |
a |
|
|
|||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
33 |
|
|
|
|
31 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
a22 |
|
= a11a22a33 − a11a32a23 − a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 − |
(8) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a31 |
|
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a13a31a22 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 −
−a13a22a33
Формулу (8) запомнить трудно, на практике можно пользоваться правилом
0 0 0 0 0 0
Саррюса. ∆ = 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+−
Можно правило Саррюса применить иначе: дописать за определителем первые два столбца и перемножить по линиям, параллельным диагоналям,
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
взятым со знаком ∆ = |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
3 |
1 |
|
|
+ |
|
|
2 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример: |
1 |
2 |
5 |
= −27 или |
1 |
2 |
5 |
|
2 |
= −27 . |
||||||
|
1 |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
−1 2 |
4 |
|
|
|
|
|
−1 2 |
4 |
|
−1 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|