y1

y2

y3

y4

y5

y6

6

7

5

2

1

1,3

Задание 4. Сформулируйте определения:

- конечного предела функции y(x)

при x → x0 ;

x → x0 + 0;

x → x0 − 0

x → +∞;

x → −∞ (где x0 - число);

- бесконечного предела функции y(x) приx → x0 ;

x → x0 + 0;

x → x0 − 0 ;

x → +∞;

x → −∞ (где x0 - число).

Изобразите схематические графики функций yi ,

i =

из приведенного

1,6

ниже множества:

y = 2 x ,

y

2

= x3 ,

y

3

= ln(x + 2) ,

y

4

= tgx ,

1

1,

если

x > 0,

1

y6 =

y5 = signx =

0,

если

x = 0,

.

x

если

x < 0,

−1,

Пользуясь определением предела и графиком, укажите те функции, кото-

рые удовлетворяют следующим условиям:

1)

lim

y(x) = −∞,

lim

y(x) = +∞,

lim y(x) = 0 .

x→−∞

x→+∞

x→0

2)

lim

y(x) = 0,

lim y(x) = +∞,

lim y(x) =1.

x→−∞

x→+∞

x→0

3)

lim

y(x) =1,

lim

y(x) = −1,

y(0) = 0.

x→+0

x→−0

4)

lim

y(x) = +∞,

lim

y(x) = −∞,

lim

y(x) = 0 .

x→+0

x→−0

x→±∞

5)

lim

y(x) = −∞,

lim

y(x) = +∞,

lim y(x) = 0

x→ −2+0

x→+∞

x→−1

6)

lim

y(x) = −∞,

lim

y(x) = −∞,

lim y(x) = 0 .

x→(π2 +πk )+0

x→(π2 +πk )−0

x→πk

Правильные ответы :

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

y2

y1

y5

y6

y3

y4

пределы (в них через α(x)

и β(x)

обозначены бесконечно малые в точке x0

функции) :

(2α(x) + 3β(x) − 5);

5.1)

lim

x→x0

5.2)

lim ((β(x) + 2) 2 − 4α(x) β(x));

5.3)

x→x0

(6α(x) sin x + 7β(x) cos x);

lim

x→x0

β(x))3

5.4)

lim

(3 −

;

2α(x)

x→x0

−

1

α2 ( x)+β

2 ( x)

5.5)

lim

3

+ 2

.

x→x0

Варианты ответов:

1) ∞;

2) 0;3)

2;

4)

-5;

5) 4.

Правильные ответы (номера):

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

4

5

2

1

3

Задание 6.

В указанном множестве функций {yi } найдите бесконечно

малые при x → 0 функции:

= 2 x−1 ;

= 2 x −1;

y = 2x + 3 ;

y

2

= x 2 ;

y

3

y

4

1

= sin 3 5x ;

y5 = cos 2x ;

y6

y7

=

x + 4 − 2 .

Правильные ответы: {y2 ;

y4 ;

y6 ;

y7 }.

sin x

tgπx

a

7.1)

lim

=1;

7.2)

lim

=1;

7.3) lim(1 − x) x = e ;

x

x→a

x→0

ax

x→0

7.4)

lim

a x −1

=1;

7.5)

lim

log

3

(1 − 2x)

=

1

.

x

x→0

x→0

ax

ln 3

Варианты ответов:

1) a = e ;

2) a =πk,

k Z ; в частности, a = 0 ;

3) a = −2 ;

4) a =π ;

5) a =1;

6) a = −1.

Правильные ответы (номера):

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

2

4

6

1

3

0

∞

[0 ∞], [∞ −∞],

[1∞ ],

[00 ], [∞0 ].

,

,

0

∞

Варианты ответов:

0

4) [00 ];

∞

1)

;

2) нет;

3)

;

0

∞

6) [∞0 ];

8) [1∞ ].

5) [0 ∞];

7) [∞ − ∞];

Правильные ответы (номера):

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

3

2

1

7

2

8

4

6

функции yi , i =

1,6

при x → 0 :

x

3

arcsin

x

3

y (x) =1 − cos x ;

y

2

(x) =

;

1

x 2

y3 (x) = ln(1 − 5x 4 )

;

y4 (x) = cos(2x 2 ) − cos(3x 2 ) ;

2tg

x

y5 (x) =

e3 x7 −1

;

y6 (x) = 75x − 7 2 x .

6(sin x) 5 2

y1

y2

y3

y4

y5

y6

4

1

2

3

6

5

ции yi ,

i =

1,5

, будут непрерывны в указанной точке x0 :

y1

=

x,

если

x ≤1,

x0 =1.

если

x >1,

a + ln x,

1

если

x < 2,

3 x−2 ,

y

=

x

= 2 .

2

a

,

если

x ≥ 2,

0

x

sin x

,

если

x < 0,

2x

y3

если

x = 0,

x0 = 0 .

=

a,

x

,

если

x > 0,

2x + x 2

tgx,

если

x <

π

,

π

y

=

4

x

=

.

4

0

4 cos2 x + a,

если

x ≥

π

,

4

1

4

если

x < 0,

(1 − 2x) x ,

y

=

(1 + 4x)

1

,

если

x > 0,

5

2x

x

0

= 0 .

ea ,

если

x = 0,

1)

a =

1

;

2) a = 0 ;

3) нет;

4) a = −1;

5) a =1.

2

Правильные ответы (номера):

y1

y2

y3

y4

y5

5

2

1

4

3

y

= (x − 3) 2 ;

y

2

=

1

;

y

3

= ln(x − 3) ;

y

4

=

(x − 3) 2

;

1

x − 3

x

− 3

− 3x,

если

x < 3,

y5

= sin x +

1

y6

;

=

2

+1,

если

x > 3.

x 2 + x

− 3

x

Варианты ответов:

1)

не является точкой разрыва;

2) точка устранимого разрыва;

3)

точка разрыва I типа;

4)

точка разрыва II типа.

Правильные ответы (номера):

y1

y2

y3

y4

y5

y6

1

4

4

3

1

3