Математика / Шилкин Тесты

Введение в анализ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Тесты для самопроверки

1. Элементы векторной алгебры и

аналитической геометрии

						Задание 1. Даны пары векторов:
						(3, −1,1),					(2,1, 0) ;							(−1, 2, −2),								(8, 2, −2);
1)			a			(3, −1,1),			b		(2,1, 0) ;			2)		a		(−1, 2, −2),							b	(8, 2, −2);
					(4, −1, −2),								(1, −1,1) ;						(3, 1),				(−4,12);
3)		a			(4, −1, −2),							b	(1, −1,1) ;	4)			a		(3, 1),			b	(−4,12);
																				2		3						6		4
5)	a(1, −2,3),									b(−2, 4, −6);				6)						2	, −	3						6	,	4
5)	a(1, −2,3),									b(−2, 4, −6);				6)	a					13	, −	13		,			b	52	,	52	;
																				13		13						52		52
				(−5, 4),				(15, −12).
7)		a		(−5, 4),			b	(15, −12).

Укажите среди этих пар векторов те, которые удовлетворяют следующим условиям:

1.1)

коллинеарны;

1.2)

скалярное произведение

равно 5;

1.3)

косинус угла между

равен 1

;

1.4)

ортогональны;

1.5)

образуют ортогональный базис в R2 ;

1.6)

образуют базис в R2 ;

1.7) длина вектора

равна

11, а длина вектора

равна 5 ;

1.8)

образуют ортонормированный базис в R2 ;

1.9)

векторное произведение

является вектором с координатами

(−3, − 6, −3) .

Правильные ответы:

1.1		1.2	1.3		1.4		1.5	1.6	1.7	1.8	1.9

5,	7	1	3	2,	4,	6	4	4, 6	1.	6	3

Задание 2. Даны тройки векторов:


1)	a (1, 0, 0),		b (0,1, 0) c (0, 0,1) ;
		(2, 0, 0),		(0, −3, 0)		(0, 0,1) ;
2)	a	(2, 0, 0),	b	(0, −3, 0)	c	(0, 0,1) ;


3)				1	,	2								1					,	3		5	, 0,	−1
3)	a			5	,	5	, 0						b 0,	10					,	10	c	26	, 0,	;
				5		5								10						10		26		26
			(1, −1,3),									(−2, 2,1)							(3, −2,5);
4)		a	(1, −1,3),							b		(−2, 2,1)					c		(3, −2,5);
			(1, −1, 2),									(3, 4,1)						(1, 6, −3);
5)	a		(1, −1, 2),								b	(3, 4,1)				c		(1, 6, −3);
			(1, 2, 0),						(0,1,3)						(5, 0, −1).
6)	a		(1, 2, 0),					b	(0,1,3)					c	(5, 0, −1).

Укажите среди этих троек векторов те, которые удовлетворяют следующим условиям:

2.1) a , b , c - компланарны;

2.2) смешанное произведение a , b , c равно -7;


2.3)	a				,	b				,			c				образуют правую тройку векторов;
2.4)		,									,						образуют базис в R3 ;
	a						b							c
2.5)			,									,					образуют ортогональный базис в R3 ;
	a							b							c
2.6)				,								,					образуют ортонормированный базис в R3 ;
	a								b							c

2.7)	объем параллелепипеда, построенного на векторах								a	,	b	,	c	, равен7.
Правильные ответы:
2.1		2.2	2.3		2.4	2.5	2.6		2.7
5		4	1,3,	6	1, 2, 3, 4,	1,2	1,	3	4
					6

Задание 3. Среди приведенных ниже уравнений прямой на плоскости выберите те, которые являются:

1)каноническим уравнением прямой;

2)общим уравнением прямой;

3)уравнением прямой, проходящей через точку A(1, − 2) ;

4)уравнением прямой, проходящей через точку A(1, − 2) , параллельно вектору e(0,3) ;

5)уравнением прямой, проходящей через точку A(1, − 2) , перпендикулярно вектору n (2,3);

6)уравнением прямой с угловым коэффициентом k = 32 ;

7)параллельными прямыми;

8)перпендикулярными прямыми;

9)совпадающими прямыми.

Уравнения прямых: 3.1) x −1 = 0;

3.2)		x +1			=		y − 2			;
3.2)		2			=	3				;
		2	+ 3y			3
3.3)	2x		+ 3y			+			4 = 0 ;
3.4)		x −1			=		y + 2				;
3.4)		2			=						;
		2				3
3.5)		y + 2 =					3	(x −1) ;
3.5)		y + 2 =				2		(x −1) ;
						2
3.6)		x −1			=		y + 2				.
3.6)		0			=						.
		0				3
		Правильные ответы:
3.1.					3.2				3.3			3.4	3.5	3.6	3.7	3.8	3.9
															1 и 6	2 и 3	1 и 6
2, 4, 6				1, 3					1, 3, 4, 5, 6			6	3	2, 4, 5	2 и 4	3 и 4	4 и 5
															2 и 5	3 и 5
															5 и 4
		Задание 4.							Стороны ∆ ABC лежат на прямых

AB : 2x −5 y +11 = 0, BC : 5x −3y −1 = 0, AC : 3x + 2 y + 7 = 0 .

Постройте этот треугольник в декартовой системе координат и найдите: 4.1) координаты вершин А, В, С; 4.2) координаты середины стороны ВС;

4.3) среди точек, приведенных в строке 4.3 таблицы вариантов ответов выберите точку, лежащую выше прямой АВ;

4.4) уравнение медианы, проведенной из вершины А;

4.5) уравнение высоты, проведенной из вершины В; 4.6) расстояние от т. В до т. А; 4.7) расстояние от т. А до прямой ВС.

Варианты ответов:

№ варианта
№ задачи	1		2			3
4.1	A(3,1), B (−2,−1),C (−1,+2)		A(−3,1), B (2,3),C (−1,−2)		A(−4,−1), B (2,4),C (0,3)
4.2	(0,5;	0,5)	(−0,5;	2)	(−2;	−0,5)
4.3	(−2;	1)	(−2;	4)	(0,5;	1,5)
4.4	x − 7 y − 4 = 0		− x + 7 y − 2 = 0		x + 7 y − 4 = 0
4.5	3x − 2 y + 5 = 0		2x − 3y + 5 = 0		2x + 3y − 7 = 0
4.6	47		41			29
4.7	19	34	18	34	19
		34		34	19

Правильные ответы:

4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7
2	1	2	3	2	3	1

Задание 5. Среди следующих плоскостей

П1 : x + y − z = 0 ;

П2 : 3x − 2 y + z +1 = 0;

П3 : x −3z −11 = 0 ;

П4 : 2 y −3z = 0 ;

П5 : 6x −4y + 2z −3 = 0 .

Выберите:

5.1) плоскость, проходящую через т. А(-1, 0, 2); 5.2) плоскость, проходящую через т. О(0, 0, 0); 5.3) плоскость, параллельную оси Оу; 5.4) плоскость, проходящую через ось Ох;

5.5) плоскость, отсекающую на осях координат Ох, Оу, Оz отрезки, равные соответственно a = 12 , b = −34 , c = 32 ;

5.6) плоскость, имеющую нормальный вектор n (3, −2,1);

5.7) пару параллельных плоскостей;

5.8) пару перпендикулярных плоскостей.

Правильные ответы (номера)

5.1			5.2			5.3		5.4		5.5		5.6	5.7	5.8
	П2	П1, П4				П3		П4			П5	П2	П2 и П5	П2 и П3
	П2	П1, П4				П3		П4			П5	П2	П2 и П5	П3 и П5
														П3 и П5

							2. Линейная алгебра
Задание 1.				Вычислите определители:
	1 1		2	−1			−3	2	1


		;			;		2 − 2 1
	−1 0		4	1			− 4	0	0
	−1 0		4	1			− 4	0	0

и поместите в ответ сумму их значений.

Варианты ответов: 1) 10; 2) –9; 3) –12; 4) 11; 5) –12.

Правильный ответ: 2) -9.

В ответ поместите корень уравнения.

Варианты ответов: 1) 3; 2) –2;

3) 2; 4) -3; 5) 0.

Правильный ответ:

Задание 3. Даны матрицы

2 3

−

0 7 5

A =

и B =

−8 3 2

−1 7

Получите матрицу

C = 2A −3B .

В ответ запишите сумму элементов матрицы С, расположенных в первой

строке.

Варианты ответов: 1) -34;

2) –28; 3) 32; 4) 40;

5) -40.

Правильный ответ:

-34.

(x1,..., xn ) системы

Задание 4. По методу Крамера неизвестные

линейных уравнений находятся по формулам xi

∆i

, i =1,..., n .

∆

Найдите ∆1, ∆2

∆3 системы

+ x

− x

= 0

3x2 + 4x3 + 6 =

0 .

+ x

В ответ поместите сумму ∆1 + ∆2 + ∆3.

Варианты ответов: 1) 26; 2) 14; 3) -13;

4) 16;

5) 19.

Правильный ответ:

-13.

Задание 5. Даны матрицы An×m и Bk×p . Предлагается пять вариантов

четверок чисел (n, m, k, p). При каком из них произведение матриц A × B смысл.?

1) (1, 2, 3, 4); 2) (2, 3, 5, 2); 3) (6, 3, 3, 4); 4) (3, 2, 4, 4); 5) (2, 3, 4, 3).

Правильный ответ: 3) (6, 3, 3, 4).

Задание 6. После умножения матриц A u B из задания 5 получится

новая матрица размеров:

(3×4 ), ( 4 ×6 ), ( 6 ×4 ), ( 2 ×3), (5 ×3).

Правильный ответ: ( 6 ×4 ).

Задание 7.			Дана матрица
	1	−3	5	4
	2	−6	4	3
A =
	3	−9	3	2

−3	5
Вычислите все миноры, окаймляющие минор	4	. В ответ
−6	4

поместите их сумму.

Варианты ответов: 1) 10; 2) –12; 3) 4; 4) 6; 5) 0.

Правильный ответ: 5) 0.

Задание 8. Найти матрицу, обратную матрице

2	1	3
1	0	2 .
	0
1	0	4

В ответ запишите сумму элементов ее первой строки.

Варианты ответов: 1) 3; 2) –2; 3) 5; 4) 4; 5) 1.

Правильный ответ: 5) 1.

Задание 9.						Матрица Х является решением матричного уравнения
АХВ =С и равна
1) C−1 AB;						2)		A−1BC ;		3) BCA−1; 4) A−1CB−1 ; 5) B−1CA.
Правильный ответ : 4) A−1CB−1 .
Задание 10.						При каком значении α система уравнений
x −		4x	2	+		3x	3	= −22
	1
	2x1 +3x2 +5x3 =12									совместна.
	3x	− x		2	+8x			3	=α
	1

Варианты ответов: 1) 4; 2) –10; 3) 8; 4) 12; 5) 6.

Правильный ответ: 2) –10.

Задание 11. При каком значении α система линейных однородных уравнений

3x1 + 4x2 − x3 = 0x1 −3x2 +5x3 = 0αx1 + x2 + 4x3 = 0

имеет бесконечно много решений ?

Варианты ответов: 1) 2; 2) 3; 3) – 4; 4) 5; 5) 4.

Правильный ответ: 5) 4.

Задание 12. При α = 4 найдите такое решение системы из задания 11, для которого x3 =13. В ответ запишите сумму x1 + x2 .

Варианты ответов: 1) –1; 2) 3; 3) –2; 4) –3; 5) 4.

Правильный ответ: 1) –1.

a	b
Задание 13. Убедитесь, что множество матриц	, где a, b, c, d –

c	d

действительные числа, образует линейное пространство, если сложение матриц и умножение матрицы на число выполняются принятыми в теории матриц способами. Какова размерность полученного линейного пространства?

Варианты ответов: 1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 5; 5) 6.

Правильный ответ: 2) 4.

			Задание 14.					Убедитесь, что векторы
				1	0			0	1				0	0			0	0
	e			1	0	e		0	1		e		0	0	e		0	0
	e		=	0	,	e		=		,	e		=	,	e		=	образуют базис
		1		0	0		2	0	0			3	1	0		4	0	1
линейного пространства из задания 13. Найдите координаты вектора
			−	3	5
a			−	3	5				(e1 , e		2 , e 3 , e 4 ). В ответ поместите сумму всех
a		=			− 2	в базисе			(e1 , e		2 , e 3 , e 4 ). В ответ поместите сумму всех
			6		− 2

координат.

Варианты ответов: 1) 5; 2) 4; 3) 6; 4) -2; 5) 3.

Правильный ответ: 3) 6.

Задание 15. Найдите матрицу линейного преобразования, состоящего в транспонировании матриц

a	b
	, являющихся векторами линейного пространства из задания 13. В

c	d

ответ запишите сумму элементов матрицы линейного преобразования.

Варианты ответов: 1) 6; 2) -4; 3) 5; 4) 8; 5) 4.

Правильный ответ: 5) 4.

Задание 16. Найдите матрицу перехода от базиса (e1 , e 2 , e 3 , e 4 )

кбазису (e 3 , e 4 , e1 , e 2 )в пространстве матриц из задания 14.

Вответ поместите сумму элементов матрицы перехода, стоящих на главной диагонали.

Варианты ответов: 1) 4; 2) 3; 3) 0; 4) 2; 5) 1.

Правильный ответ: 3) 0.

Задание 17. В линейном пространстве из задания 13 скалярное произведение определено следующим образом:

a	b		a	2	b	2	= a a		+b b	+ c c		+ d		d		. Убедитесь, что такая
1	1				d			2			2		1		2
c d		1	c	2		2	1		1 2	1
1

операция удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. В полученном евклидовом пространстве найдите косинус угла между векторами

	1 2			3 4

a =	− 2 4	и	b =	−1 3	.

Варианты ответов: 1)	35	;	2)	4	; 3) −	15	; 4)	7	; 5)	23 .
Варианты ответов: 1)	35	;	2)	5	; 3) −	5	; 4)	9	; 5)	23 .
	35			5		5		9		5
Правильный ответ: 1)	35 .
	35

Тесты для самопроверки

Задание 2.

Решите уравнение

	Задание 1.
y	=	x +1		;

1		x	2 −1

y4	=		1		;
			5x − x 2
	4

Найдите области определения функций:

y2 = 2 − x − x 2 ;

y3 = lg(1 − x 2 ) ;


	3−x				+1,
					x
y5		tg			x	,
	=
	=				2
				x	2
				x			,
			2				,
			2	− 2
	x			− 2

если −1 ≤ x < 0, если 0 ≤ x <π,

если π < x < 6.

Варианты ответов:

(−∞; ;−1) (−1,1)

(−∞,+∞)

(1;+∞)

(−∞,−1) (1,+∞)

(−∞;1)

(1;+∞)

(−2;1)

[−1;2]

(−1;2]

(−2;−1)

[−2;1]

(−1;1)

[−1;1]

(−∞;1)

(−∞;−1)

(−1;+∞)

(5;+∞)

(0;5)

(−∞;5)

[0;5]

(−5;0)

[−1;6)

[−1;π) (π;6)

(−1;6)

[−1;6]

[−1;0) (0;π)

( ;6)

Правильные ответы (номера):

Задание 2. Используя определение сложной функции, составьте функ-

ции u(x) = f (ϕ(x))

и v(x) =ϕ( f (x)) , если функции f и ϕ заданы:

2.1)

f (x) = x5 ;

ϕ(x) = 2x − 3.

2.2)

f (x) = 2 x ;

ϕ(x) = x 2 .

2.3)

f (x) = ln

ϕ(x) = sin x .

В каждом из случаев 1) – 3) найдите области определения u(x) и v(x) .

Варианты ответов :

2.1

u = 2(x − 3)5 , D(u) = R

u = (2x − 3)5 , D(u) = R

u = 25 x −35 , D(u) = R

= (2x)5 −3, D(v) = R

v = 2x5 −3, D(v) = R

v = (2x −3)5 , D(v) = R

2.2

u = 2x2 , D(u) = R

u = (2x)2 , D(u) = R

u = 2

, D(u) = R

= 2 2x, D(v) = R

v = 2x

, D(v) = R

v = 22 x , D(v) = R

u = ln sin x

u =

ln sin x

u = ln sin x;

2.3

D(u) = (2πn;π + 2πn)

D(u) =

D(u) = R

n Z

−

+ 2πn / n Z

v = sin ln x

v = sin(ln x)

v = sin(ln

D(v) =[1;+∞)

D(v) = (0;+∞)

Правильные ответы (номера):

2.1

2.2

2.3

Задание 3. Опишите, с помощью какого преобразования из графика функции

y = sin x можно получить график функции yi ,						i =		1,6	.
y1 = −sin x;		y2 =	sin x	;	y3 = sin x + 2;

y4 = 2 sin x;		y5 = sin 2x;			y6 = sin(2x + 4) .
					Варианты ответов:

1	“Сжатие” в 2 раза вдоль оси Ох

2	“Растяжение” в 2 раза в направлении оси Оу

3	Параллельный перенос вдоль оси Ох на					2	единицы влево

4	Параллельный перенос вдоль оси Ох на					2	единицы вправо

5	Параллельный перенос вдоль оси Оу на					2	единицы вверх

6	Симметричное отражение относительно оси Ох

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
11.05.2015562.97 Кб58Контрольные_работы_по%20разделам_высш_матем_Линейная_алгебра.pdf
#
11.05.20153.35 Mб71Сборник-АГ.pdf
#
11.05.20153.42 Mб111Сборник-ЛА.pdf
#
11.05.2015613.76 Кб21Типовой рассчет.PDF
#
11.05.20157.25 Mб31Шилкин Лекции.PDF
#
11.05.20151.02 Mб24Шилкин Тесты.PDF