Математика / Типовой рассчет

этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения (5,3,-7) в положение (1,-1,2).

2.2.Даны вершины треугольника А=(1,-1,2), В=(5,-6,2), и С=(1,3,-1).

Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

2.3.Доказать, что четыре точки А=(1,2,-1), В=(0,1,5), С=(-1,2,1), D=(2,1,3)

лежат в одной плоскости.

2.4.Даны три вектора а=(3,-1), b=(1.-2), c=(-1,7). Определить разложение вектора p=a+b+c по базису a,b.

2.5.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a=p+2q, b=3p-q, где │p│=1, │q│=2, (p,^q)=30°.

2.6.Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках А=(2,-1,1), В=(5,5,4), С=(3,2,-1), D=(4,1,3).

2.7.Вектор х, коллинеарный вектору а=(6,-8,-7.5), образует острый угол с осью Z. Зная, что │х│=50, найдите его координаты.

2.8.Cила Q=(3,4,-2) приложена к точке С=(2,-1,-2). Определить величину

инаправляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

2.9.Вектор с перпендикулярен векторам а и b (a,^b)=30°. Зная, что │a│=6, │b│=3,│c│=3, вычислите a,b,c.

2.10.Даны три вектора а=-2i+j+k, b=i+5j, c=4i+4j+2k. Вычислить: 1)│а+2b│; 2) прс (3а-2b).

2.11.Даны точки А=(1,2,0), В=(3,0,-3), и С=(5,2,6). Вычислить площадь

треугольника АВС.

2.12.Компланарны ли векторы a,b,c если а=(2,3,-1), b=(1,-1,3), c=(1,9,-11)?

2.13.Вектор х, перпендикулярный векторам а=3i+2j +2k и b=18i+22j-5k, образует с осью Y тупой угол. Найти его координаты, зная, что

│х│=14.

2.14.Сила P=(2,2,9) приложена к точке А=(4,2,-3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С=(2,4,0).

2.15.Даны вершины тетраэдра: А=(2,3,1), В=(4,1,-2), С=(6,3,7), D=(-5,-4,8).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

2.16.Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам а=(2,3,-1) и b=(1,-2,3) и удовлетворяет условию х(2i-j+k)=-6.

2.17.Даны точки А=(2,-1,2), В=(1,2,-1), С=(3,2,1). Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, где а=BC-2СА, b=CB.

2.18.Объем тетраэдра V=5, три его вершины находятся в точках А=(2,1,-1), В=(3,0,1), С=(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Y.

2.19.Даны два вектора а=(3,-1,5) и b=(1,2,-3).Найти вектор х при условии, что он перпендикулярен оси Z и удовлетворяет условиям: (х,а)=9, (х,b)=-4.

2.20.Даны три силы M=(2,-1,-3), N=(3,2,-1) и Р=(-4,1,3), приложенные к

точке С=(-1,4,-2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А=(2,3,-1).

2.21.Векторы а, b, c, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что│а│=4, │b│=2, │c│=3, вычислить (a,b,c).

2.22.Даны вершины треугольника: А=(3,2,-3), В=(5,1,-1), и С=(1,-2,1).

Определить его внешний угол при вершине А.

2.23.Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а и b,

где a=3p+q, b=p-2q, │p│=4,│q│=1, (p,^q)=п/4.

2.24.Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если ОА=3i+4j, OB=-3j+k,

OC=2j+5k.

2.25.Векторы а и b образуют угол φ=п/6; зная, что │а│=√3, │b│=1, вычислить угол между векторами p= a+b и q= a-b.

2.26.Даны три вектора p=(3,-2,1), q=(-1,1,-2), r= (2,1,-3). Найти положение вектора с=(11,-6,5) по базису p,q,r.

2.27.Даны │а│=3,│b│=26,│[a,b]│=72.Вычислить (a,b).

2.28.Установить, компланарны ли векторы а=(3,-2,1), b=(2,1,2), с=(3,-1,-2).

Если нет, определить ориентацию тройки векторов а, b, c и найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

2.29.Коллинеарны ли векторы с1 и с2, построенные по векторам

а=(1,-2,3) и b=(3,0,-1), с1 =2а+4b, с2=-a+3b?

2.30.Даны четыре вектора а=(4,1,-1), b=(3,-1,0-), с=(-1,1,1) и

d=(-1,3,4).Найти числа х, y, z такие, что ха+yb+zc+d=0.

Задача 3.

3.1.Даны вершины треугольника А =(1,1), В=(10,13), С=(13,6) а) составить уравнения биссектрисы угла А;

б) составить уравнение серединного перпендикуляра к стороне АВ.

3.2.Даны уравнения высот треугольника АВС: х+y-2=0; 9х-3y-4=0 и координаты вершины А=(2,2). Составить уравнения сторон треугольника.

3.3Даны вершины треугольника А=(4,6), В=(-4,0) и С=(-1,-4). Составить уравнения:

а) медианы, проведенной из вершины С; б) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

3.4.Точка А=(1,2) является серединой одного из оснований прямоугольной трапеции, а точка В=(3,-1) - серединой средней линии. Боковая сторона, перпендикулярная основаниям лежит на прямой (х+1)/3=(y-2)/4. Составить уравнения остальных сторон.

3.5.Вершинами треугольника являются точки А=(20,15), В=(-16,0), С=(-8,-6). Найти длину радиуса и координаты центра описанной окружности.

3.6.Составить уравнение сторон треугольника, зная его вершину С=(4,-1),

а также уравнение высоты 2х-3y+12=0 и медианы 2х+3y=0, проведенных из одной вершины.

3.7.Точки К=(1,3) и L=(-1,1) являются серединами оснований равнобедренной трапеции, а точки Р=(3,0) и Q=(-3,5) лежат на ее боковых сторонах. Составить уравнение сторон трапеции.

3.8.Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В=(2,-7), а также уравнение высоты 3х+y+11=0 и медианы х+2y+7=0, проведенных из различных вершин.

3.9.Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из Его вершин А=(1,3) и уравнения двух медиан х-2y+1=0 и y-1=0.

3.10.Точка Е=(1,-1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х-2y+12=0. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата.

3.11.Даны вершины треугольника А=(1,-1), В=(-2,1) и С=(3,5). Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из вершины А на Медиану, проведенную из вершины В, и найти длину перпендикуляра.

3.12.Найти точку М1, симметричную точке М2=(8,-9) относительно прямой, проходящей через точки А=(3,-4) и В=(-1,-2).

3.13Даны вершины треугольника А=(2,-2), В=(3,-5) и С=(5,7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.

3.14Даны уравнения двух сторон прямоугольника: 5х+2y-7=0, 5х+2y36=0 и уравнение его диагонали 3х+7y-10=0. Составить уравнения остальных сторон и диагонали этого прямоугольника.

3.15Точка А=(-4,5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х-y+8=0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

3.16Даны две вершины А=(3,-1) и В=(5,7) прямоугольника АВС и точка N=(4,-1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

3.17Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С=(4,3), а также уравнения биссектрисы х+2y-5=0 и медианы 4х+13-10=0, проведенных из одной вершины.

3.18Точка А=(3,2) является вершиной квадрата, а М=(1,1)- точка пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон квадрата.

3.19Длина сторон ромба с острым углом 60° равна 2. Диагонали ромба пересекаются в точке М=(1,2), причем большая диагональ параллельна оси абсцисс. Составить уравнения сторон ромба.

3.20Вершинами треугольника являются точки А=(20,15), В=(-16,0), С=(-8,-6). Найти длину радиуса и координаты центра вписанной окружности.

3.21Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на прямой 2х+y-2=0, а точка С=(3,-2) является вершиной прямого угла. Составить уравнения прямых на которых лежат катеты.

3.22Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину А=(3,-1), а также уравнения биссектрисы х-4y+10=0 и медианы 6х+10y-59=0, проведенных из различных вершин.

3.23Даны две вершины треугольника А=(2,-3), В=(5,1), уравнения стороны ВС: х+2y-7=0 и медианы АМ: 5х-y-13=0. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и вычислить ее длину.

3.24Через точку Р=(0,1) провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между двумя данными прямыми х-3y+10=0 и 2х+y-8=0, делился в точке Р пополам.

3.25Треугольник АВС задан вершинами А=(1,2), В=(2,-2),С=(6,1). Найти угол между высотой СD и медианой ВМ.

3.26Через точку пересечения прямых 2х-5y-1=0 и х+4y-7=0 провести:

а) прямую, делящую отрезок между точками А=(4,-3) и В=(-1,2) в отношении х=2/3; б) прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через точки А и В.

3.27Найти центр вписанного круга в равнобедренный треугольник, если заданы уравнения боковых сторон треугольника 7х-y-9=0, 5х+5y+35=0 и точка М=(3,-8), лежащая на его основании.

3.28Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А=(2,-4) и уравнения биссектрис двух его углов х+y-2=0 и х-3y-6=0.

3.29Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого служат точки А=(2,3), В=(0,-3) и С=(5,-2).

3.30Даны вершины треугольника А=(-6,-3), В=(-4,3), С=(9,2). На внутреннй биссектрисе угла А найти такую точку М, чтобы четырехугольник АВМС оказался трапецией.

Задача 4. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями и построить их.

Варианты 11-20 Вершина параболы, проходящей через точку М=(х1,у1), совпадает с центром

окружности х²+у²-ах-bу-с=0. Составить уравнение этой параболы, если ее ось параллельна оси Ох в четных вариантах, и оси Оу в нечетных вариантах.

Варианты 21-30 Вычислить кратчайшее расстояние от точки М1=(х1,у1) до окружности

х²+у²+ах+bу+с=0. Сделать чертеж.

Задача 7 .

1.Найти точку А’, симметричную точке А относительно плоскости α.

7.1.А=(2,-1,15) , α : 2x+3y-4z+1=0 .

Задача 8 . Пусть x={ x1 , x2 , x3 }, Ax={ x2 - x3 , x1 + x3 x3 }, Bx={ x2 ,2 x3 , x1 }.

Найти :