ТЭЦ - DC / 04 Лекция - Методы конт. токов, узл. напряжений / Circuit Example 2.4 - Mesh Analysis

Анализ электрической цепи при помощи метода контурных токов

Возьмем для примера ту же самую цепь.

(В электрической цепи, изображенной на рисунке E₁= 50 В, E₂= 10 В, R₁ = 3 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 2 Ом, R_int1 = 0,4 Ом, R_int2 = 1 Ом. Требуется определить токи в ветвях.)

Решение. В цепи имеется три ветви. Следовательно, необходимо составить три независимых уравнения. Поскольку в цепи имеется два узла, можно составить одно уравнение в соответствии с законом токов Кирхгофа (ЗТК). Оставшихся два уравнения составим по закону Кирхгофа для напряжений (ЗНК).

Обозначим на схеме электрической цепи узлы, стрелками обозначим направление токов в ветвях. Выберем два независимых контура и стрелками обозначим направление обхода. В данном случае выберем направление I₂ так, чтобы оно совпадало с направлением обхода контура.

Составим уравнение одно уравнение для узла 1 в соответствии с ЗТК и два уравнения для показанных на рисунке контуров. При этом получим систему (как было показано ранее):

Или, перенеся источники в правую часть,

В полученной системе уравнений исключим первое уравнение, для этого исключим переменную – ток I₃. Подставим значение тока, определенное из первого уравнения в остальные, при этом получим систему второго порядка относительно токов I₁, I₂:

(**)

Заметим, что сопротивления в скобках представляют собой сумму всех сопротивлений в соответствующем контуре. Обозначим эти сопротивления, которые назовем собственными сопротивлениями контуров, R₁₁ и R₂₂ для I и II контуров, соответственно.

Сопротивление R₃, которое входит как в I, так и во II контур, назовем взаимным (или смежным) сопротивлением и обозначим R₁₂ для первого уравнения и R₂₁ – для второго (R₁₂ = R₂₁ = - R₃). Тогда система уравнений приобретет вид:

Обозначено также E11 = E1, E22 = - E2 (так называемые контурные ЭДС).

Подставим численные значения и решим систему.

R₁₁ = R₁ + R_int1 + R₃ = 3 + 0,4 +2 = 5,4 (Ом);

R₂₂ = R₂ + R_int2 + R₃ = 2 + 1 +2 = 5,0 (Ом);

R₁₂ = R₂₁ = 2 (Ом).

Исключим одну переменную, умножив первое уравнение на 2,5 и сложив со вторым, получаем:

2,5 (5,4I₁ - 2 I₂) - 2I₁ +5I₂ = 2,5·50 - 10, приведя подобные получаем:

11,5I₁ = 115,

т.е.

I₁ = 10 (А).

Из второго уравнения системы (**) определяем ток I₂:

5,4I₁ – 2I₂ = 50, откуда I₂ = 2 (А).

В данном случае оба тока получены со знаком «+»; это означает, что в действительности направления этих токов совпадают с теми, которые указаны на схеме цепи.

Полученные токи, которые представляют собой воображаемые токи, протекающие по контурам, называются контурными токами. Зная контурные токи, можно определить токи в ветвях. Если в ветви проходит только один ток, то он равен контурному току. Если по ветви проходит два контурных тока, то ток в этой ветви равен алгебраической сумме этих токов.

В данном случае ток в третьей ветви равен:

I₃ = I₁ - I₂ = 10 – 2 = 8 (А)

Если заданная электрическая цепь содержит n независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается n контурных уравнений:

(***)

Собственные сопротивления r_ii входят в уравнения (***) со знаком «+», поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного тока I_ii. Взаимные сопротивления r_ik войдут в уравнения со знаком «-», когда токи I_i и I_k направлены в них встречно.

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, определяется по формуле:

N_ур=B- (N -1)_.

где B – число ветвей электрической цепи;

N – число узлов;

Число уравнений равно числу контурных токов и, соответственно, числу независимых контуров рассматриваемой электрической цепи.

Таким образом, при расчете цепей методом контурных токов целесообразно придерживаться следующего порядка.

1. Определить число независимых контуров электрической цепи и произвольно задаться направлением контурных токов; при этом все контурные токи должны быть направлены в одну сторону – либо по часовой стрелке, либо против.

2. Вычислить собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные ЭДС.

3. Составить систему уравнений для контурных токов в соответствии с ЗНК.

4. Решить систему полученных линейных уравнений одним из известных методов, например, подстановки, с помощью определителей, метода исключения.

5. Определить токи в ветвях.

Составление системы уравнения может быть формализовано. А именно:

• для составления матрицы левой части системы уравнений (***) необходимо: сложить все сопротивления в каждом контуре (контуре i). Полученные собственные сопротивления контуров записываются в матрицу по главной диагонали – элемента R_ii. Взаимные сопротивления контуров R_ik = R_ki (i≠k), равные сопротивлению смежной ветви двух контуров, записываются симметрично относительно главной диагонали со знаком «-». Матрица левой части для цепи, в которой нет зависимых источников (тока или напряжения) является симметричной.

• Для формирования вектора правой части системы уравнений (***) необходимо суммировать напряжения (эдс) источников, входящих в данный контур i. При этом напряжения источников, совпадающие с направление обхода контура берутся со знаком «+», а напряжения, противоположные обходу берутся со знаком «-».

Предполагалось, что источники энергии заданы в виде источников ЭДС (напряжения). Если же заданы источники тока, их необходимо предварительно преобразовать в источники ЭДС.

Преимущества метода контурных токов: наглядность, что позволяет эффективно использовать метод при «ручном» расчете и анализе цепей.

Недостатки метода контурных токов:

• Метод применим только к планарным схемам (цепям), т.е. цепям, которые можно изобразить на плоскости без пересечения ветвей.

• Результаты обычно плохо интерпретируются с инженерной точки зрения, поскольку собственно контурные токи являются «воображаемыми» понятиями.

• Метод относительно сложен для алгоритмизации в связи с необходимостью выделения контуров.